第11专题 与圆有关的辅助线作法(练册)-初中数学一点通之几何

初中数学重难点问题一点通 倍●号量● 第十一专题与圆有关的铺助线作法 1.如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD为互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB= CD=8,求OP的长度. D 2.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB,垂足 为点D,CD交AE于点F,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G. (1)求证：CG是⊙O的切线. (2)求证：AF=CF (3)若∠EAB=30°，CF=2,求GA的长. F DO 30> 香●卧●色 第十一专题与圆有关的辅助线作法人 3.如图，PA与⊙O相切于点A,过点A作AB⊥OP,垂足为C,AB交⊙O于点B. 连接PB,AO并延长AO交⊙O于点D,AO的延长线与PB的延长线交于点E. 求证：PB是⊙O的切线， 4.如图，在三角形ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D 作DE垂直AC于点E,连接AD. (1)求证：DE是⊙O的切线 (2)若AB=10,AD=5,求DE的长. 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O,过点C作直线CD交 AB的延长线于点D,使∠BCD=∠A. (1)求证：CD为⊙O的切线 (2)若DE平分∠ADC,且DE分别交AC、BC于点E、F,当CE=2时，求EF的长 3 初中数学重难点问题一点通 语●号●● 6.如图，在△ABC中，BC=3,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若D是AC的中 点，∠ABC=120°. (1)求∠ACB的度数. D (2)求点A到直线BC的距离. 7.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，AC平 分∠FAB交⊙O于点C,过点C作CE⊥DF,垂足为点E. (1)求证：CE是⊙O的切线， (2)若AE=1,CE=2,求⊙O的半径. 8.如图，点P在⊙O的弦AB上，点C在⊙O上，PC⊥OP,若BP=2,AP=6,求 CP的长度. 2 色是卧鱼。 第十一专题与圆有关的辅助线作法 9.如图，D是直径AB延长线上一点，C是⊙O上一点且CO⊥AB,连接CB、DE 与⊙O相切于E,CE与AB相交于F,连接AE, (1)若BC=4√2，CF=√17，求BF的长. (2)在(1)的条件下，求DE的长. 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点 E,连接BE,BE是△DEC外接圆的切线. (1)求∠C. (2)若CD=2,求BE的长. 3色香色香后 参考答案 交弦AB于点D,且OC⊥OA,OA=23, ..OF=PE=3. ∴.∠AOD=90°，∠BOC=30°，OA=OB, 在Rt△OPE中， .∠OAB=∠OBA=30°， OE=3,PE=3, 0D=0A·tan30=25X =2,AD= ∴.OP=√2OE=32. 3 4,AB=2AF=2X23×5=6,0F=月， 2 .BD=2 ∴.S翻影部分=S△AOD十S扇系O一S△BD0 :2.【解析】(1)证明：如图，连接OC _25×2+30m×(23)2_2× 2 360 2 :C是劣弧AE的中点， =√3+十π. ∴.OC⊥AE. ,CG∥AE, F D ∴.CG⊥OC, .CG是⊙O的切线. (2)证明：连接AC,BC. 第十一专题 与圆有关的 ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， 辅助线作法 ∴.∠ACD+∠BCD=90 1.【解析】解：如图，作OE⊥AB,垂足为点E, .∠ABC+∠BCD=90°， OF⊥CD,垂足为点F,连接OB、OD .∠ACD=∠ABC .AB=CD=8, ,C是劣弧AE的中点， AE-BE-ZAB-4.DF-CF-CD-4. ..AC-CE, ∴.∠CAF=∠ABC, 在Rt△BOE中， ∴.∠CAF=∠ACD, ,OB=5,BE=4, .AF=CF. ∴.OE=√/OB2-BE2=3. (3)解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA= 同理可得OF=3. FC=2, ,AB⊥CD,OF⊥CD,OE⊥AB, 1 ∴.四边形OEPF为矩形 DF=- AF=1, 59 初中数学重难点问题一点通 ●●●●● ∴AD=√5DF=5. ∴.∠C=∠B=∠ODB. .AF∥CG, DE⊥AC, ∴.DA:DG=DF:DC,即3：DG=1:3, ∴.∠EDC+∠C=90°， ∴.∠EDC+∠ODB=90°， ∴.DG=33, ∠ODE=90°，即OD⊥DE, ∴.AG=DG-AD=2√5. ∴.DE是⊙O的切线， (2)解：，AB是⊙O的直径， AD⊥BC, .AB=AC, D是BC的中点，即BD=CD 3.【解析】证明：如图，连接OB 在Rt△ABD中，BD=√AB-AD=55, PO⊥AB, ∴.AC=BC, .CD=BD=53,AC=AB=10. ∴.PA=PB 在△DEC和△ADC中， 在△PAO和△PBO中， ,'DE⊥AC,AD⊥BC, PA=PB, ∴.∠DEC=∠ADC=90°. AO=BO, ,∠C+∠CDE=90°，∠C+∠DAC=90°， PO=PO, ∴.∠CDE=∠DAC, ∴.△PAO≌△PBO, .△DEC∽△ADC, .∠OBP=∠OAP=90°， AD ,即DE53 DE_DC 510 .PB是⊙O的切线. .DE= 55 2 4.【解析】(1)证明：如图，连接OD 5.【解析】(1)证明：如图，连接OC. .OD=OB, ,AB为⊙O的直径， ∴.∠ODB=∠B ∴.∠ACB=90°， .AB=AC, ∴∠A+∠ABC=90°. 60 色色香香 参考答案 .OC=OB, 点E. ∴.∠ABC=∠OCB. BC=3,∠ACB=30°，∠BDC=90°， ,∠BCD=∠A, ∴cos30°= CD CD BC 31 ∴.∠BCD+∠OCB=90°， ∴.∠OCD=90 CD=3 2 OC是圆O的半径， AD=CD, ∴.CD是⊙O的切线， .AC=35. (2)解：DE平分∠ADC, .在Rt△AEC中，∠ACE=30°，sin30° AE ∴.∠CDE=∠ADE AC, ,'∠BCD=∠A, AE=2X35=3y 2 ∴.∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF, 即∠CEF=∠CFE D ,∠ACB=90°，CE=2, ∴.CE=CF=2, E ∴.EF=√CE2+CF2=22 7.【解析】(1)证明：如图，连接CO .0A=OC, ∴.∠OCA=∠OAC. ,AC平分∠FAB, 6.【解析】解：(1)如图，连接BD ∴.∠OCA=∠CAE, :以BC为直径的⊙O交AC于点D, ∴.OC∥FD ∴.∠BDC=90°. CE⊥DF, ,D是AC的中点， ∴.OC⊥CE, .BD是AC的垂直平分线， ∴.CE是⊙O的切线. ..AB=BC, (2)解：连接BC .∠ACB=∠BAC. 在Rt△ACE中，AC=√AE+CE=√5. ,∠ABC=120°， AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠BAC=30 ∴.∠BCA=90°， (2)过点A作AE⊥BC交CB的延长线于 ∴.∠BCA=∠CEA, 初中数学重难点问题一点通 ●●●●● 又，∠CAE=∠CAB, ∴.BF=OB-OF=3. .△ABC△ACE. (2)如图，连接OE、BE. .CA_EA ,DE与⊙O相切于E, AB AC' ∴.∠OED=90°， 唱清 ∴.∠OEC+∠CED=90°. .OE=OC, ∴.AB=5, .∠OEC=∠OCE, ∴.A0=2.5, ,∠OCF+∠OFC=90°，∠OFC=∠DFE, 故⊙0的半径为2.5. '.∠DFE=∠DEF, .'DF=DE ,'∠BED+∠OEB=90°，∠AEO+∠OEB= FE D 90°，∠AE0=∠A, 8.【解析】解：如图，延长CP交⊙O于点D,连： ∴.∠BED=∠A, 接AD、BC. 又∠D=∠D, ∠APD=∠CPB,∠DAP=∠BCP, .△BDED△EDA, ∴.△ADP∽△CBP, .DE2=DB·DA, 邵-0 即DE2=(DE-3)(DE+5), 解得DE=7.5. ∴.DP·CP=BP·AP=2X6=12 ,OP⊥CD .CP=DP, ∴.CP=12=25. 10.【解析】解：(1)如图，连接OE. ,BE是△DEC外接圆的切线， ∴.∠BE0=90°. ,∠ABC=90°，E是AC的中点， 9.【解析】解：(1)·C0⊥AB, :.BE-AE-EC-7AC, 在Rt△COB中，0C=OB=号BC=4 .∠EBC=∠ECB ∴.在Rt△C0F中，OF=√CF-OC2=1, OE=OC, 62 色色香香 参考答案 ∴.∠OEC=∠OCE, :2.【解析】解：如图，连接PC. .∠BOE=2∠OCE, :BA=BC,M为AC的中点， 即∠BOE=2∠EBC, ∴.PA=PC, ∴.∠EBC=30°， .PA=PO=PC, .∠C=30° A、C、Q在以P为圆心、PA长为半径的 (2)CD=2, 圆上， ∴.OE=OD=OC=1. 1 ∴∠ACQ=2∠APQ=a, 在△BEO中，∠EB0O=30°，∠BEO= 90°， ∴.∠D=90°-a. ..BE=OE tan30=3. 3.【解析】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O,过 第十二专题 辅助圆 点O作OD⊥BC,垂足为点D,过点A作 AE⊥BC,垂足为点E,连接OA、OB、OC. 1.【解析】解：如图，以A为圆心、AB长为半径 ∠BAC=60, 画圆，则点C、D在圆上，延长BA交圆于点： ∴.∠B0C=120°. E,连接ED .OB=OC, :DC∥AB, .∠OBC=∠OCB=30°，BD=CD= :DE=CB, :.DE=CB=1. 2BC-3, ,EB是⊙A的直径， ·0D= 3BD=5,OB=23. ∴.∠EDB=90°，EB=2+2=4, .OA+OD≥AE, ∴.BD=√BE-ED=√/4'-17=√/I5. ∴.当A、O、D三点共线时，AE取得最大 值，最大值为OA十OD的值， ∴.AE大=OA+OD=3√3， ,S△ABC最大= 2×6X33=93. 63