第6章 命题点2 垂径定理及其推论（基础知识训练册）-【一战成名】2023福建中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·福建数学 ２．弦、弧、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等， 即若∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，则 ) ＡＢ＝ ) ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ 推论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 　， 所对的弦　相等　，即若 ) ＡＢ＝ ) ＣＤ，则∠ＡＯＢ＝　∠ＣＯＤ　，ＡＢ＝ 　ＣＤ　 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 　， 所对的优弧和劣弧分别　相等　，即若 ＡＢ＝ＣＤ，则∠ＡＯＢ＝ 　∠ＣＯＤ　， ) ＡＢ＝ ) ＣＤ 命题点２　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 垂径定理及其推论 ２０２２版课标要求 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 要点归纳 １．定理：垂直于弦的直径　平分　弦，并且　平分　弦所对的两条弧． ２．推论：平分弦（不是直径）的直径　垂直于　弦，并且平分弦所对的两条弧． ３．根据圆的对称性，如图，有以下五个结论 （１） ) ＡＣ＝ ) ＢＣ； （２） ) ＡＤ＝　 ) ＢＤ　； （３）ＡＥ＝　ＢＥ　； （４）ＡＢ⊥　ＣＤ　； （５）ＣＤ是⊙Ｏ的直径．只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三． ４．应用 （１）过圆心作弦（非直径）的垂线，连接圆心和弦的一个端点（即半径），构造直 角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行相关计算； （２）已知圆心到两条平行弦的距离，求两条平行弦的距离时需要分情况讨论： 已知弦ＡＢ和弦ＣＤ的长，⊙Ｏ的半径长，若ＡＢ∥ＣＤ，求两条弦之间的距离ｄ 情况一：当两条弦位于圆心同侧时 情况二：当两条弦位于圆心异侧时 ６９ 一战成名·福建数学 续表 利用勾股定理，在 Ｒｔ△ＯＢＥ中求出 ＯＥ，在 Ｒｔ△ＯＤＦ中求出ＯＦ，ｄ＝ＯＦ－ＯＥ 利用勾股定理，在Ｒｔ△ＯＢＥ中求出ＯＥ，在 Ｒｔ△ＯＤＦ中求出ＯＦ，ｄ＝ＯＦ＋ＯＥ 随堂练习 １．如图，⊙Ｏ的半径为４，点Ａ为⊙Ｏ上一点，ＯＡ的垂直平分线分别交⊙Ｏ于点Ｂ，Ｃ，则ＢＣ的长 为 （　Ｄ　） Ａ．３　　　　　　　　Ｂ．４　　　　　　　　Ｃ．２槡３　　　　　　　　Ｄ．４槡３ 第１题图 　　　　　　　　　 第２题图 ２．（人教九上Ｐ８３练习Ｔ２改编）如图，在⊙Ｏ中，ＡＢ，ＡＣ为互相垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ， ＯＥ⊥ＡＣ，垂足分别为Ｄ，Ｅ，若ＡＢ＝４，则⊙Ｏ的半径为　２槡２　． 变式　如图，⊙Ｏ的两条弦ＡＢ，ＣＤ互相垂直，垂足为Ｅ，且ＡＢ＝ＣＤ． （１）求证：ＡＣ＝ＢＤ； （２）若ＯＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，ＯＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，问：四边形ＯＦＥＧ是何特殊四边形？并说明理由． 变式题图 （１）证明：∵ＡＢ＝ＣＤ，∴劣弧 ) ＡＢ＝劣弧 ) ＣＤ， ∴ ) ＡＢ－ ) ＢＣ＝ ) ＣＤ－ ) ＢＣ，即 ) ＡＣ＝ ) ＢＤ，∴ＡＣ＝ＢＤ； （２）解：四边形ＯＦＥＧ是正方形． 理由：如解图，连接ＯＡ，ＯＤ． ∵ＡＢ⊥ＣＤ，ＯＦ⊥ＣＤ，ＯＧ⊥ＡＢ，∴四边形ＯＦＥＧ是矩形． ∵ＯＦ⊥ＣＤ，ＯＧ⊥ＡＢ，∴ＤＦ＝１２ＣＤ，ＡＧ＝ １ ２ＡＢ， ∵ＡＢ＝ＣＤ，∴ＤＦ＝ＡＧ． ∵ＯＤ＝ＯＡ，∴Ｒｔ△ＯＦＤ≌Ｒｔ△ＯＧＡ（ＨＬ）， ∴ＯＦ＝ＯＧ，∴矩形ＯＦＥＧ是正方形． ３．（华师九下Ｐ４０练习改编）已知⊙Ｏ的直径为１０ｃｍ，弦ＡＢ∥弦ＣＤ，ＡＢ＝８ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，则 ＡＢ和ＣＤ的距离是　１或７　ｃｍ． 变式　已知⊙Ｏ的直径ＣＤ＝１００ｃｍ，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｍ，且ＡＢ＝９６ｃｍ，则ＡＣ 的长为　６０ｃｍ或８０ｃｍ　． ７９ 一战成名·福建数学 基 础 知 识 训 练 册 命题点３　矩形的性质与判定 要点归纳　直角　平行　相等　直角（９０°）　平分　相等 两　直角　相等　直角　＝　＝　＝　＝ 随堂练习　１．４　变式 槡３３　２．槡１７　３．５　变式 １　５ 变式２　Ｂ　４．证明略 命题点４　菱形的性质与判定 要点归纳　相等　平行　相等　相等　垂直平分　两　相等 垂直　相等　垂直平分　＝　＝　＝　＝ 随堂练习　１．（１）５，２０，２４；（２）３，２４５， ２４ ７　变式 ３　（３） １２ ５　 变式　（６，槡２３）　２．Ｄ　３．证明略 命题点５　正方形的性质与判定 要点归纳　平行四边形　平行　相等　直角（９０°）　相等 垂直平分　四　直角　相等　垂直且相等　相等　垂直　直 角　相等　＝　＝　＝　＝ 随堂练习　１．Ｄ　２．Ｂ　３．Ａ　４．证明略 命题点６　特殊四边形之间的关系与中点四边形 随堂练习　１．Ｂ　２．Ｂ　变式　Ｃ ３．（１）平行四边形；（２）①∠ＢＡＣ＝１５０°；②ＡＢ＝ＡＣ≠ＢＣ；