第9专题 与相似有关的辅助线作法(练册)-初中数学一点通之几何

色●卧● 第九专题与相似有关的辅助线作法人 第九专题 与相似有关的辅助线作法 1.如图，在△ABC中，E、D分别是AC、BC上的点，连接AD、BE,交于点G,已知 AG:GD=4:1,BD:DC=2:3,求AE:EC的值. 2.如图，在锐角三角形ABC中，D为BC的中点，F为射线AB上的一点，连接CF 交射线AD于E,已知EC=CF. (1)求点F此时的位置. (2)求 AB的值. 2 初中数学重难点问题一点通 ●●号●● 3.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB,若 AD=2,BD=3,求AC的长度. 4.如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC,DC⊥AC,过点B作⊙O 的切线交AD的延长线于点E (1)求证：直线CD是⊙O的切线. (2)求证：CD·BE=AD·DE D δ 24 色是卧● 第九专题与相似有关的辅助线作法 5.如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F. (1)求证：△ADE∽△BEF. (2)设正方形的边长为4，AE=x,BF=y.请用x的代数式表示y. 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC上移动（点D不与点B、C重合），满足 ∠EDF=∠B,且点E、F分别在AB、AC上. (1)求证：△BDEc∽△CFD. (2)当点D移动到BC的中点时，求证：点E关于直线DF的对称点在直线AC上. D 25 初中数学重难点问题一点通 语●号●● 7.如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，且△CDE∽△CAB. (1)求证：△CADC∽△CBE. (2)求证：EB⊥AB 8.如图，已知四边形ABCD和四边形BEFG是正方形. (1)求证：AG=CE. D (2)求AG 的值。 26>初中数学重难点问题一点通 ●●●●● ,△ABC是等边三角形， ∴.∠CAF=∠CBA=∠BAC=60°， 第九专题 与相似有关的 ∴.∠EAF=120° 辅助线作法 ,∠DBE=120°， : 1.【解析】解：如图，过点D作DF∥CA交BE ∴.∠EAF=∠DBE. ,∠EAF+∠ECF=120°+60°=180°， 于点F ∴A、E、C、F四点共圆， DF∥CE, ∴.∠AEF=∠ACF 肥 .ED=EC, ,BD:DC=2:3, .∠D=∠BCE DF 2 又，∠BCE=∠ACF, CE-5' ∴∠D=∠AEF, ∴.△EDB≌△FEA, C-Dr. ∴.BD=AE, DF∥AE, ∴.AB=AE+BE=BD十AF. 7【解析】证明：如图，延长CB交DE于H, ,∠ABC+∠ABH=180°，∠ABC=∠ADH, AG:GD=4:1, ∴.∠ADH+∠ABH=180°， ∴.∠DAB+∠DHB=180°. ∴.AE=4DF, ,∠DAB=90°， 4DF 8 ∴.∠DHB=∠HCG=90°， EC 5 ∴.DE∥CG, F ∴∠EDO=∠G. DE=BC=CG,∠DOE=∠GOC, ∴.△DOE≌△GOC(AAS), ∴.D0=OG 2【解析】解：(1)点F在AB的延长线上，且 BF=2AB 如图，过点E作EG∥AF交BC于点G, '.△BCF△GCE,△ABDP△EGD, 54 色图色香后 参考答案 FB BC AB BD BGCG'EG DG ∴AC=10. 4.【解析】证明：(1)如图，连接OD. ,D为BC的中点，EC= CF. 4 AD平分∠BAC, ÷BD=CD,CG=1BC, ∴.∠CAD=∠BAD .OA=OD, DG-BD. ∴.∠BAD=∠ADO, .∠CAD=∠ADO, ∴.BF=4GE,AB=2GE, ∴.AC∥OD .BF=2AB. CD⊥AC, (2)AF=AB+BF=6GE, AF_6GE .CD⊥OD, AB 2GE =3. ∴.直线CD是⊙O的切线. (2)连接BD ,BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴.∠ABE=∠BDE=90°. 又，∠E=∠E, .'.△ABEC∽△BDE ,CD⊥AC, ∴.∠C=∠ABE=90°. 3.【解析】解：，BC的垂直平分线MN交AB: 又，∠CAD=∠BAE, 于点D, .△ACDn△ABE, ∴.CD=BD=3, .△ACD∽△BDE, ∴.∠B=∠DCB,AB=AD+BD=5. CD AD DE-BE' ,CD平分∠ACB, 即CD·BE=AD·DE ∴.∠ACD=∠DCB=∠B 又∠A=∠A, D ∴.△ACD∽△ABC, ..AC_AD AB AC' 0 ∴.AC2=AD·AB=2X5=10, 55 初中数学重难点问题一点通 ●●●●● 5.【解析】(1)证明：在正方形ABCD中，∠A=: .点E关于直线DF的对称点在直线AC上. ∠B=90° EF⊥DE, ∴.∠AED+∠BEF=90°. ∠ADE+∠AED=90°， ∴.∠ADE=∠BEF, ∴.△ADE∽△BEF. :7.【解析】证明：(1)，△CDEc∽△CAB, (2)解：：正方形ABCD的边长是4，AE=x, .CD:CA=CE:CB,∠DCE=∠ACB, .BE=4-x. ∴.∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, ,△ADE∽△BEF, ∴.∠ACD=∠BCE, ∴，△CAD∽△CBE (2),△CAD∽△CBE, 小y=-有+x ∴.∠CAD=∠CBE 6.【解析】证明：(1)，AB=AC, ,∠ACB=90°，∠CAD+∠CBA=90°， ∴.∠B=∠C ∴.∠CBE+∠CBA=90°， ,∠BED=180°-∠B-∠BDE,∠CDF= ∴.EB⊥AB 18O°-∠EDF-∠BDE,∠EDF=∠B, :8.【解析】(1)证明：四边形ABCD和四边形 ∴.∠BED=∠CDF, BEFG是正方形， ∴.△BDE∽△CFD. ∴.∠ABC=∠GBE=90°，AB=BC,BG= (2)如图，连接EF. BE, .△BDE∽△CFD, .∠ABG=∠CBE, .BD CF=DE:FD, ∴.△ABG≌△CBE, ,点D是BC的中点 ..AG=CE. .BD=CD, (2)解：如图，连接BD,BF ∴.CD:CF=DE:FD BDBF BC BE =2,∠DBC=∠FBE=45°， 又，∠EDF=∠C, ∴.∠DBF=∠CBE, ∴.△DEF∽△CDF, .△DBFC∽△CBE, ∴.∠DFE=∠CFD, DF BD ∴.FD平分∠EFC, =√2 569 色色香香 参考答案 AG=CE, 所以空白区域的面积为(3x一2b)(2y 2a)cm2,(6xy-6ax-4by+4ab)cm2. 3.【解析】解：如图，设B'C'与CD的交点为E, 连接AE 在Rt△AB'E和Rt△ADE中， 第十专题与求不规则图形面积 .AE=AE,AB'=AD, .Rt△ABE≌Rt△ADE, 有关的辅助线作法 ∴.∠B'AE=∠DAE. 1.【答案】2 .旋转角为30°， 【解析】如图，连接AB、A'B',可知四边形： ∴.∠DAB'=60°， ABBA'是平行四边形，且面积为8， ∠DAE- -×60°=30°， 又，AA'=2, .5-m=4, DE-1x3_ 33 .m=1, ∴.A(1,2), s=1x1-2x号1×）=1- ∴.k=1×2=2. o 4.【解析】解：如图，连接CD 2.【解析】解：如图，将彩条平移到长方形的两 ,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 侧，将9个小长方形组成一个大的空白长方 2√2， 形，则该长方形的面积就是空白区域的面： ∴.△ACB是等腰直角三角形. 积，而这个长方形的长为(3x一2b)cm,宽为 ,BC是半圆的直径， (2y-2a)cm, ∴.CD⊥AB,