第8专题 与旋转有关的辅助线作法(练册)-初中数学一点通之几何

初中数学重难点问题一点通 ●●●●● 设点P(m,n),其中n=- 8m2+3 + 根据旋转的性质可得CP=CP',∠PCP'= 60°， 3,点Q(1,5), ∴.△PP'C是等边三角形. ①当AM是平行四边形的边时，点A先向： .∠AP'C=∠BPC=150°， 右平移4个单位长度再向上平移个单位 .∠AP'P=150°-60°=90° 长度得到点M, .PP'=PC=5,AP'=BP=12, 则点Q(P)先向右平移4个单位长度再向上 ∴.在Rt△APP'中，PA=JAP+PPF=13 平移个单位长度得到点P(Q). 故m=1+4=5或m=1-4=-3, 故点P为6，-)或(-3，-》： ②当AM是平行四边形的对角线时， 2.【解析】证明：如图，将△BAD绕点D逆时针 由中点公式得一2+2=m十1， 旋转60°得△ECD,连接BE 解得m=-1,故点P为-1，）。 ,∠DCE+∠DCB=∠A+∠DCB=360°- ∠ADC-∠ABC=270°， 综上，点P的坐标为(，-贺)或(-3， .∴∠BCE=360°-（∠DCE+∠DCB)=90°， ）或(-1，）) .BC2+CE2=BE2. 由旋转的性质可得BD=ED,∠BDE=60°， △BDE是等边三角形， ∴.BE=BD .CE=AB,BE=BD, H ∴.BD2=AB2+BC2 第八专题 与旋转有关的 辅助线作法 1.【解析】解：如图，将△BPC绕点C顺时针旋 转60得△AP'C,连接PP', 52 色图色香后 参考答案 3.【解析】解：如图，在AC上截取CM=AB,连： (3):△BPQ是等腰直角三角形， 接OM,设OB与AC交于点N, ∴.PQ=√2PB. ,∠AB0=90°-∠ANB,∠MC0=90°- .AP=CO, ∠CNO,∠ANB=∠CNO, .PO2=PC2+CO2=PA2+PC2, ∴.∠ABO=∠MCO ∴.2PB2=PA2+PC2 又.AB=CM,OB=OC, 5.【解析】解：(1)，△ABC和△DEC均是等腰 ∴.△ABO≌△MCO, 直角三角形， ∴.∠BOA=∠COM, ∴.AC=BC,CE=CD,∠ABC=∠DEC= ∴.∠AOM=∠BOC=90°. 45°=∠CDE .A0=MO=6√2， ,∠ACB=∠DCE=90°， ∴.AM=JAO+MO=12. ∴.∠ACD=∠BCE, MC=AB=4, 又，AC=BC,CD=CE, ∴.AC=MC+AM=16. ∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.∠ADC=∠BEC=45°， M ∴.∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°， ,.AD⊥BD (2)如图，过点C作CF⊥AD,垂足为点F. 4.【解析】(1)解：由题意知，△ABP≌△CBQ, ∠ADC=45°，CF⊥AD,CD=√2， ∴.∠A=∠ACB=∠BCQ=∠45°，∠ABP= ∴.DF=CF=1, ∠CBQ,AP=CQ,PB=QB, ∴.AF=√AC2-CF2=3, ∴.∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°. .AD=AF+DF=4. (2)解：由(1)知，∠ABP+∠PBC=∠CBQ+ ∠PBC=90°， .△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直： 角三角形， 当AB=4,AP:PC=1:3时，AC=4√2， 6.【解析】证明：，△BCE绕点C顺时针旋转 AP=√2，PC=3√2， 60得△ACF, ∴.PQ=√PC2+CQ=2w5. ∴.∠ECF=60°，BE=AF,∠CAF=∠CBA. 53 初中数学重难点问题一点通 ●●●●● ,△ABC是等边三角形， ∴.∠CAF=∠CBA=∠BAC=60°， 第九专题 与相似有关的 ∴.∠EAF=120° 辅助线作法 ,∠DBE=120°， : 1.【解析】解：如图，过点D作DF∥CA交BE ∴.∠EAF=∠DBE. ,∠EAF+∠ECF=120°+60°=180°， 于点F ∴A、E、C、F四点共圆， DF∥CE, ∴.∠AEF=∠ACF 肥 .ED=EC, ,BD:DC=2:3, .∠D=∠BCE DF 2 又，∠BCE=∠ACF, CE-5' ∴∠D=∠AEF, ∴.△EDB≌△FEA, C-Dr. ∴.BD=AE, DF∥AE, ∴.AB=AE+BE=BD十AF. 7【解析】证明：如图，延长CB交DE于H, ,∠ABC+∠ABH=180°，∠ABC=∠ADH, AG:GD=4:1, ∴.∠ADH+∠ABH=180°， ∴.∠DAB+∠DHB=180°. ∴.AE=4DF, ,∠DAB=90°， 4DF 8 ∴.∠DHB=∠HCG=90°， EC 5 ∴.DE∥CG, F ∴∠EDO=∠G. DE=BC=CG,∠DOE=∠GOC, ∴.△DOE≌△GOC(AAS), ∴.D0=OG 2【解析】解：(1)点F在AB的延长线上，且 BF=2AB 如图，过点E作EG∥AF交BC于点G, '.△BCF△GCE,△ABDP△EGD, 54初中数学重难点问题一点通 ●●0量● 第八专题 与旋转有关的辅助线作法 1.如图，P为等边三角形ABC内一点，∠BPC=150°，PC=5,PB=12,求PA的长. 2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD.求证：BD2= AB2+BC2. B 3.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC同侧作正方形BCEF,设正方形的 中心为O,连接AO,如果AB=4,AO=62,求AC的长 ●●●0 第八专题与旋转有关的辅助线作法 4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点 B顺时针旋转90°后得到△CBQ. (1)求∠PCQ的度数 (2)当AB=4,AP：PC=1:3时，求PQ的大小 (3)当点P在线段AC上运动(P不与A重合)时，求证：2PB2=PA2十PC2. 5.如图，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、 E在同一直线上，连接AD、BD (1)探究AD与BD之间的位置关系. (2)若AC=BC=I0,DC=CE=2,求线段AD的长度. 20 初中数学重难点问题一点通 0●0量● 6.如图，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED EC,将△BCE绕点C顺时针旋转60得到△ACF,连接EF.求证：AB=DB+AF. 7.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,将BC绕点C顺时针旋转 90°得CG,连接DG、CE交于点O.求证：DO=OG. 0 22