第7专题 与确定特殊图形有关的辅助线作法(练册)-初中数学一点通之几何

●00● 第七专题与确定特殊图形有关的辅助线作法 第七专题 与确定特殊图形有关的辅助线作法 1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(3,4)，点P是x轴上一个动点，当 △AOP为等腰三角形时，点P的坐标为 2.如图，已知点A(一1,0)和点B(1,2),在y轴正半轴上确定点P,使△ABP为直 角三角形，则满足条件的点P的坐标为 3.如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为(4,0)，(0,3). (1)求AB的长度 (2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由. VA 17 初中数学重难点问题一点通 0●0量● 4.在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为(4,0)、(4,4)、(0,4)，点P在x 轴上，点D在直线AB上，DA=1,CP⊥DP,垂足为点P,求点P的坐标. 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点.点P以 每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动：点Q同时以每秒3 个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点Q停止运动时，点P也随 之停止运动.当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行 四边形？ 18 色00●0 第七专题与确定特殊图形有关的辅助线作法 6.如图，已知A1,2),B(5,3),C(3,5),在平面直角坐标系内确定一点D,使以A、 B、C、D为顶点的四边形是平行四边形. 7.如图，直线y=-3 +3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+ x十C经过BC两点. (1)若点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点 E的坐标和△BEC面积的最大值 (2)在(1)的条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,点Q是抛物线对 称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,使以P、Q、A、M为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标：如果不存在，请说明理由. 、19色色香香 参考答案 2.【答案】(0,3)或(0,1+√2) 第七专题 与确定特殊图形 【解析】如图，设AB与y轴交于点C,过点B 有关的辅助线作法 作BP1⊥AB交y轴于P1,过点B作BD⊥ CP1,垂足为点D,连接AP1,则∠ABP1= 1.【答案1-5,0)成（臣.0）或6,0成6,0. 90°，BD=1. 【解析】如图，分别以点A和O为圆心、OA: 点A(-1,0)和点B(1,2), 为半径画圆A和圆O,两圆和x轴的交点： ∴.直线AB的表达式为y=x十1. P2、Pa、P,为所求的点P(与点O重合的除： 令x=0,则y=1, 外)：作线段OA的垂直平分线与x轴交于： .C(0,1),即OC=OA=1, 点P,点P为所求的点P ∴.△AOC为等腰直角三角形， ,点A坐标为(3,4)， ∴.∠ACO=∠BCP1=45°， ∴.0A=/32+4=5. .△BCP1是等腰直角三角形， ①当OA=OP时，P,坐标为(-5,0)，P2 ∴.CP1=2BD=2, 坐标为(5,0)： .OP1=1+2=3, ②当OA=AP时，P,坐标为(6,0)： ∴.P1(0,3) ③当OP=AP时，作AA1⊥x轴， 以AB为直径作圆与y轴正半轴交于点P, ,△OQP,∽△OA1A, 连接AP2,则∠AP2B=90°. 0e_0A 点A(-1,0),点B(1,2),点C(0,1), OPOA' ∴.C为AB的中点，AB=2√2， ÷0p,=00X0A_2.5×52 OA 3 CP:-7AB- P坐标为臣。 .OP2=1+√2， 综上所述，点P的坐标为（一5,0）或 ∴.P2(0,1+√2). 0)或5,0或6,0。 综上，点P的坐标为(0,3)或(0,1十√2). B 49 初中数学重难点问题一点通 ●●●●● 3.【解析】解：(1)，A(4,0),B(0,3), 90°， .OA=4,OB=3, ∴.∠CPO-∠PDA, ∴.利用勾股定理可得AB=5. ∴.△COP△PAD, (2)如图，设P(a,0). -器 A(4,0),B(0,3), 4 OP .PA=|a-4|,PB2=a2+9,AB=5. ①当PA=AB时，|a-4|=5, .OP=2, .a=-1或9， ∴.点P坐标为(2,0) ∴.P的坐标为（一1,0）或(9,0)： 如图2，当点D坐标为(4，一1)时， ②当PA=PB时，(a-4)2=a2+9, CP⊥PD, 7 .a=8 .∠CPD=90°， 同上可得△COP∽△PAD, P的坐标为侣o: .OC_OP ”PA AD' ③当PB=AB时，a2+9=25, 4OP ∴.a=4(舍)或a=-4, 即PA=了 ∴.P的坐标为（一4,0）. ∴.当点P在y轴右侧时，OP=2+2√2， 综上，点P的坐标为（一1,0）或（一4,0）或 当点P在y轴左侧时，OP=2√2-2， (9,0或（日o) ∴点P的坐标为(2+2√2,0)或(2一2√2,0). 综上，点P的坐标为(2,0)或(2+2√2,0)或 (2-2√2,0). 4.【解析】解：如图1，当点D坐标为(4,1)时， 图1 图2 CP⊥PD, 5.【解析】解：如图，，E是BC的中点， ∴.∠CPD=90° .∠CPO+∠DPA=9O°，∠DPA+∠PDA= ·BE=CE=2BC=8. 50 色图色香后 参考答案 ①若Q运动到E和C之间， 则B向左平移2个单位长度再向下平移3 则EQ=8-31,PD=6-t, 个单位长度得到D3, .当8一3t=6一t时，四边形PEQD是平行： 故m=5-2=3,n=3-3=0, 四边形，解得t=1; 故点D3为(3,0)； ②若Q运动到E和B之间， 综上所述，点D的坐标为(7,6)或（一1,4） 则EQ=3t-8,PD=6-t, 或(3,0). .当3t一8=6一t时，四边形PQED是平行： D 四边形，解得t=3.5. D 因此，当运动时间t为1s或3.5s时，以点 P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形 0 P'D 7.【解析】解：1~直线y=-子x十3与x轴 交于点C,与y轴交于点B, B ∴.点B、C的坐标分别为(0,3)、(4,0)， 6.【解析】解：如图，设点D坐标为(m,n). ①以BC为对角线时，点A向右平移4个单 六抛物线的表达式为y=一骨+x十3。 位长度再向上平移1个单位长度得到B, 如图，过点E作y轴的平行线交BC于点H 则C向右平移4个单位长度再向上平移1： 设点E(,+x+3, 个单位长度得到D1, 故m=3+4=7,n=5+1=6, 则点H(,-子x+3): 故点D1为(7,6)： aSam-7oc·EH=号×4x(-x+ ②以AC为对角线时，点B向左平移4个单： x+3+x-3）=-2+3x=- 3 位长度再向下平移1个单位长度得到A, (x 则C向左平移4个单位长度再向下平移1： 2)2+3, 个单位长度得到D2, ∴.S△c有最大值3，此时点E为(2,3). 故m=3-4=一1，n=5-1=4, (2)存在.理由如下： 故点D2为(-1,4)： 由题意得抛物线的对称轴为直线x=1, ③以AB为对角线时，点C向左平移2个单 位长度再向下平移3个单位长度得到A, 点A(-2.0),点M2,, 初中数学重难点问题一点通 ●●●●● 设点P(m,n),其中n=- 8m2+3 + 根据旋转的性质可得CP=CP',∠PCP'= 60°， 3,点Q(1,5), ∴.△PP'C是等边三角形. ①当AM是平行四边形的边时，点A先向： .∠AP'C=∠BPC=150°， 右平移4个单位长度再向上平移个单位 .∠AP'P=150°-60°=90° 长度得到点M, .PP'=PC=5,AP'=BP=12, 则点Q(P)先向右平移4个单位长度再向上 ∴.在Rt△APP'中，PA=JAP+PPF=13 平移个单位长度得到点P(Q). 故m=1+4=5或m=1-4=-3, 故点P为6，-)或(-3，-》： ②当AM是平行四边形的对角线时， 2.【解析】证明：如图，将△BAD绕点D逆时针 由中点公式得一2+2=m十1， 旋转60°得△ECD,连接BE 解得m=-1,故点P为-1，）。 ,∠DCE+∠DCB=∠A+∠DCB=360°- ∠ADC-∠ABC=270°， 综上，点P的坐标为(，-贺)或(-3， .∴∠BCE=360°-（∠DCE+∠DCB)=90°， ）或(-1，）) .BC2+CE2=BE2. 由旋转的性质可得BD=ED,∠BDE=60°， △BDE是等边三角形， ∴.BE=BD .CE=AB,BE=BD, H ∴.BD2=AB2+BC2 第八专题 与旋转有关的 辅助线作法 1.【解析】解：如图，将△BPC绕点C顺时针旋 转60得△AP'C,连接PP', 52