第6专题 与垂直有关的辅助线作法(练册)-初中数学一点通之几何

初中数学重难点问题一点通 每●●●● 第六专题 与垂直有关的辅助线作法 1.如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE,F是AC上一点，FH⊥ AE,垂足为点H,FG⊥CD,垂足为点G.求证：FH+FG=AD EG HA F 2.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC,P是BC上的任意 一点（不与B、C重合），过P作PE⊥BD,PF⊥AC,E、F为垂足.求证：PE+ PF=AB. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点P是BC延长线上的一点，过点P分别作AB、 AC的垂线，垂足分别为M、N,过点C作AB的垂线，垂足为点G.求证：PM= CG+PN. G C 4 色是卧色 第六专题与垂直有关的辅助线作法人 4.如图，过△ABC的边AC的垂直平分线MN上的点M作△ABC另外两边BA、 BC所在直线的垂线，垂足分别为D、E,AD=CE,作射线BM.求证：BM平分 ∠ABC. D 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，BC=6cm,AB的垂直平分线交BC 于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,求MN的 长度 6.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2, BE与AF相交于点G,点H为BF的中点，连接GH.求GH的长度， G 15 初中数学重难点问题一点通 ●●号●● 7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,若A、B两点的坐标分别是A(0,4)、 B(一2,0)，求点C的坐标. 8.已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为点M,分别过点A、D作BC 的垂线，垂足分别为点B、C,AD的延长线与BC相交于点E, (1)求证：△ABM∽△MCD. (2)若AD=8,AB=5,求ME的长. 16初中数学重难点问题一点通 。 CE=BC,连接BE, .. CEB=CBE,CDB=CBD,DE= AC, 6.【解析】解:如图,延长AB到D,使BD= BC,连接CD,则D=BCD,D+ .CBE十CBD=CEB十 CDB BCD= ABC. 90{}即 EBD-90{。 “ ABC-2A. :BCD=CEB+CBE-2CEB,$ .D-A. BCA-2 A. .△ACD是等腰三角形 .CEB=乙A, 过点C作CE上AB,垂足为点E. ..BE-BA. 则E为AD的中点; 又.DE=CA, E- A. 1 '.△BED△BAC. ..BD-BC. '.BE=AB-AE=、③ BE③ 又·BC-CD, '.在Rt△BCE中,cosEBC= BC 2, ..△BCD为等边三角形. ' EBC-30*. .A- 2EBC=15°.。 5.【解析】证明:如图,以A为圆心、AC长为半 径画张,圆孤交BC于点E,连接AE 第六专题 与垂直有关的 .AE=AC,AD IEC. 辅助线作法 ' AED= C,DE=DC ' C-2 B.$AED= B+$BAE$ 1.【解析】证明:.四边形ABCD为矩形, .ADICD, '.B+ BAE-2 B .SACr一 ..B- BAE, ..BE一AE, 如图,连接EF *.BD=BE+ED=AE+ED=AC+CD ·FHI.AE,垂足为点H,FG ICD,垂足为 参考答案 点G, :4.【解析】证明:如图,连接AM、MC. '.S△AcE-S△rAr+S△rcr= -FHXAE+ .M在AC的垂直平分线上 2 .MA-MC. _ FGXCE. .' MD I AB,ME BC, '.ADM-90*, MEC=90{$.$ .'AE-CE, 在Rt△AMD和Rt△CME中, '.AD=FH+FG. :AD=CE,MA-MC, '△AMD△CME. ..MD-ME. B 又.MDLAB,ME BC, 2.【解析】证明:如图,连接PD .'.BM平分ABC "Spon+SPcp-S△aco. .:CD-BD. .'. PE+PF=AB 5.【解析】解:如图,连接AM、AN. “'AB=AC, BAC=120$ ' B- C-30* 3.【解析】证明:如图,连接AP, .EM垂直平分AB. 则SAB-S4Bc+SAc '.MB-MA, 1 '. MAB- B-30*$$$ .:AB-AC, 'AMN-60*. '. PM=CG+PN 同理可得 ANM-60{,AN-CN.$ '.△AMN是等边三角形, ..AM-AN-MN. *.BM-CN-MN. ..MN= 初中数学重难点问题一点通 。 6.【解析】解:'AE-DF,BA=AD. BAE 乙ADF, 8.【解析】(1)证明::AD为⊙O的直径; '.△BAE2△ADF, . AMD-90*. .'.ABE= DAF “.BMC-180*. . DAF+ BAG=90*, 'AMB+ CMD=90*。 '.ABE+ BAG=90*$ : ABM- MCD-90{, AGB-90*。 '. AMB+BAM-90$. ..DF-2, ._BAM=CMD. .CF-3. .△ABMo△MCD. 'BF=CF{}+BC=③+5^{=34, (2)解:如图,连接OM. “:BC为O的切线 2. ..OMIBC. 7.【解析】解:如图,过C作CM|OA,垂足为 .ABIBC, 点M,则 AMC-90* . sin E-ABOM AEOE' BAC= AOB-90{* 即AB OM * BAO+ CAM=90{,BAO+ABO=$ AO+OEOE: 900, .AD-8,AB-5. :ABO-CAM .. 4 又: AOB= CMA,AB=AC “4+OE0,解得OE=16. .△ABO△CAM 根据勾股定理得 ..MC-AO,AM-BO ME=OE*-0M- 16^*-4=4 15 $ “.A(0,4),B(-2,0). .AO-4,BO-2 *.MC-4,AM-2,MO-AO-AM-2 .点C的坐标为(4,2).