第四章 命题点5 等腰三角形的性质与判定（基础知识训练册）-【一战成名】2023贵州贵阳中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·贵阳数学 命题点５　等腰三角形的性质与判定（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） ２０２２版课标要求 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高 线、中线及顶角平分线重合．探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于６０°．探索等边三角形的判定定理：三个角都相 等的三角形（或有一个角是６０°的等腰三角形）是等边三角形． 要点归纳 １．等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定 名称 等腰三角形 （△ＡＢＣ，ＢＣ为底边，ＡＤ为高线） 等边三角形 （△ＡＢＣ，ＡＤ为高线） 图形 （ＡＤ＝ｈ，ＢＣ＝ａ） （ＡＤ＝ｈ，ＢＣ＝ａ） 性质 （１）两腰　　　　，两底角　　　　（等 边对等角），即ＡＢ＝　　　　，∠Ｂ＝ 　　　　； （２）顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高　　　　（三线合一），即 ＡＤ 是　　　　的平分线，也是ＢＣ边的 　　　　； （３）是轴对称图形，有　　条对称轴 （１）三条边　 　，即ＡＢ　 　ＢＣ　　ＡＣ； （２）三个内角　　，且每个内角都等于 　　； （３）是轴对称图形，有　　　　条对称轴 判定 （１）有两条边　　　　的三角形是等腰 三角形（定义）； （２）有两个角　　　　的三角形是等腰 三角形（等角对等边） （１）三条边都　　　　的三角形是等边三 角形（定义）； （２）三个角都　　　　的三角形是等边三 角形； （３）有一个角是　　　　的等腰三角形是 等边三角形 面积 Ｓ＝１２ａｈ Ｓ＝ １ ２ａｈ＝ 槡３ ４ａ ２（ｈ＝槡３２ａ） ５６ 一战成名·贵阳数学 【核心归纳６】“三线合一”的应用 （１）利用“三线合一”求角 （人教八上Ｐ８２Ｔ４改编）如图①，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝１００°，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，ＡＢ＝ＡＣ， 求∠Ｂ，∠Ｃ，∠ＢＡＤ，∠ＣＡＤ的度数． 【自主解答】 图① （２）利用“三线合一”求线段的长 （人教八上Ｐ８２Ｔ７改编）如图②，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＢＤ，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，若ＢＣ＝ １０，且△ＢＤＣ的周长为２４，求ＡＥ的长． 【自主解答】 图② （３）利用“三线合一”证线段、角相等 ①如图③，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＣＥ⊥ＡＥ于点Ｅ，ＣＥ＝１２ＢＣ，Ｅ在△ＡＢＣ外． 求证：∠ＡＣＥ＝∠Ｂ． 【自主解答】 图③ ②（人教八上Ｐ９３Ｔ１１改编）如图④，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ的中点，Ｅ， Ｆ分别是ＡＢ，ＡＣ上的点，且ＢＥ＝ＡＦ． 图④ 求证：ＤＥ＝ＤＦ． 【自主解答】 ６６ 一战成名·贵阳数学 （４）利用“三线合一”证垂直 如图⑤，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝２ＡＢ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，Ｅ是ＡＤ上一点，且ＥＡ＝ＥＣ． 求证：ＥＢ⊥ＡＢ． 【自主解答】 图⑤ （５）利用“三线合一”证角的倍分关系 （人教八上Ｐ７９练习Ｔ１改编）如图⑥，已知ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ． 求证：∠ＤＢＣ＝１２∠Ａ． 图⑥ 【自主解答】 （６）利用“三线合一”证线段的倍分关系 如图⑦，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，ＢＦ平分∠ＡＢＣ，ＣＤ⊥ＢＦ交ＢＦ 的延长线于点Ｄ．求证：ＢＦ＝２ＣＤ． 【自主解答】 图⑦ （７）利用“三线合一”证线段的和差关系 如图⑧，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，且∠Ｂ＝２∠Ｃ．求证：ＣＤ＝ＡＢ＋ＢＤ． 【自主解答】 图⑧ ７６ 一战成名·贵阳数学 【核心归纳７】等腰三角形中的分类讨论 （１）腰、底边不明求周长时：结合“三角形两边之和大于第三边”进行分类讨论； 例１　若等腰三角形的两边长分别是５和６，则这个等腰三角形的周长是　　　　． 【思路点拨】当底边长为５，腰长为６时，５＋６＞６，能构成三角形；当底边长为６，腰长为５ 时，５＋６＞５，能构成三角形． （２）顶角、底角不明求角度时：结合“三角形的内角和为１８０°”进行分类讨论； 例２　若等腰三角形有一个角为１００°，则这个等腰三角形的底角是　　　　． 【思路点拨】若顶角为１００°，则底角是４０°时，满足三角形的内角和是１８０°；若底角为１００° 时，则不满足三角形的内角和是１８０°，此情况舍去． ２．黄金三角形———顶角为３６°的等腰三角形性质（人教八上Ｐ７９练习Ｔ１） 如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３６°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于点Ｄ，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，以Ｂ为 圆心，ＢＣ长为半径画弧交ＡＢ于点Ｆ，连接ＤＦ． （１）角的关系：∠Ａ＝∠ＡＤＦ＝∠Ａ