第4专题 与线段和、差最值有关的辅助线作法(练册)-初中数学一点通之几何

色●卧● 第四专题与线段和、差最值有关的辅助线作法 第四专题 与线段和、差最值有关的辅助线作法 1.如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P,若使PD十PE的和最小，则这个最小值为(). A.8 B.3 C.4 D.√32 2.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为8，BD平分∠ABC.若 M、N是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是(). M A.2 B.4 C.6 D.8 3.如图，在平面直角坐标系中，已知A(3,6),B(一2,2)，在x轴上取两点C、D(点 C在点D左侧)，且始终保持CD=1,线段CD在x轴上平移，当AD+BC的值 最小时，点C的坐标为 09 初中数学重难点问题一点通 ●●号●● 4.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点， 点C的纵坐标为1，且CA=CB,在y轴上取一点D,连接AC、BC、AD、BD,使 四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 5.如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB,DA=6,∠ABC十∠C=150°，CD与BA的 延长线交于点E,A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，求 BP+PQ的最小值. D 6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，点E、F分别是线段 BC、DC上的动点，当△AEF的周长最短时，求∠EAF的度数. 0> 色每卧色 第四专题与线段和、差最值有关的辅助线作法 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=15°，AB=10,P是AC上一动点，求 PB+PA的最小值。 8.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6,BC=2,P为CD上的一动 点，求PB+PD的最小值： 9.如图，AC是圆O的直径，AC=4,BA所对的圆心角为120°，点D是弦AB上的 -个动点，求OD+号BD的最小值. D 0初中数学重难点问题一点通 ●●●●● 设∠BAC=a°，则∠ADF=∠ABC=2180- 即PD+PE的和最小为4. a),∠DAE=180°-a°. DE=AD, ∴.∠ADE=180°-2∠DAE=180°-2(180°- a)=2a°-180° 2.【答案】B ,∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°， 【解析】如图，过点C作CE⊥AB,垂足为点 ∴2(180°-a)+(2a-180)=60 E,CE交BD于点M',过点M'作M'N'⊥ 解得a=100 BC,垂足为点N',则M'E=M'N', ∴.∠BAC=100°. ∴.CM+MN=CM'+M'E=CE时最小. SAAC=8,AB=4, 号×4·CE=8 .CE=4, ∴.CM+MN最小值是4. 第四专题 与线段间和、差最值 有关的辅助线作法 1.【答案】c. 【解析】如图，设BE与AC交于P',连接 BD、DP' 3.【答案】(-1,0) ,点B与D关于AC对称， 【解析】如图，把A(3,6)向左平移1个单位 ∴P'D=P'B, 长度得A'(2,6), ..PD+PE=P'D+P'E=P'B+P'E=BE 作点B关于x轴的对称点B',连接B'A'交x 时最小 轴于C,在x轴上取点D(点C在点D左 ,正方形ABCD的面积为16， 侧)，使CD=1,连接AD, ∴AB=4, 则此时AD+BC的值最小. 又，△ABE是等边三角形， 设直线B'A'的解析式为y=kx十b, .BE=AB=4, 将A'、B坐标代入可得y=2x+2, 42 色@色垂 参考答案 故点C的坐标为（一1,0）， ∴.BP+QP=FP+PQ, ∴.当F、P、Q在同一直线上且FQ⊥EB时， BP+PQ的最小值为FQ的长， 此时，Q为EB的中点，故与A重合 ,DA⊥AB, 在Rt△EAD中，DA=6,∠DEA=30°， ∴.ED=12, 4.【答案】4+2w5 根据勾股定理可得AE=6√3， 【解析】根据角平分线的性质得∠BAC= ∴.在Rt△QEF中，EF=12W,AF= 45°，∠C=90°，AC=BC=2 EF2-EA2=18, 如图，作B关于y轴的对称点E,连接AE ∴.BP+PQ最小值为18. 交y轴于D,则此时四边形ACBD的周长最 小，这个最小周长的值=AC十BC十AE. 过E作EF⊥AC交CA的延长线于F, 根据勾股定理得 D(P) AE=√EF+AF=√2+4=2√5， A(O ∴.最小周长的值=AC十BC+AE=4十2W5. 6.【解析】解：如图，作A关于BC对称点A1, 关于CD对称点A2连接AA2交CB于 E1,交CD于F1 D 当E、F与E:、F重合，即AE:+E1F1十 0 AF1=A1E1+E1F1+A2F1时，△AEF周 5.【解析】解：如图，作点B关于CE的对称点： 长最短 F,连接BF、EF,则EB=EF. 根据对称图形的性质得∠A1=∠BAE1, ,∠ABC+∠C=150°， ∠A2=∠DAF1,在△AA1A2中，∠A1+ ∴.∠BEC=30°， ∠A2=180°-130°=50°， ∴.∠BEF=60°， ∴.∠E1AF1=130°-50°=80°， ∴，△BEF是等边三角形 即当△AEF周长最短时，∠EAF的度数是 连接BP、PF、PQ,则BP=FP, 80 43 初中数学重难点问题一点通 ●●●●● :A2 ∴.PQ=PD·sin∠QDP= 2 ÷PB+5PD=BP+PQ, 2 当点B、P、Q三点共线且与AD垂直时， 7.【解析】解：如图，在AC的下方作∠CAD= DB+号PD有最小值，即AB·in60° 30°，过点P作PE⊥AD,垂足为点E,则 PE-PA. 3√5 ∴PB+PA=PB+PE. 当B、P、E三点共线且与AD垂直时，PB+ PE有最小值，过点B作BF⊥AD,垂足为点 F,BF即为所求 9.【解析】解：，BA所对的圆心角为120°， ∠CAB=15°，∠CAD=30°， ∴.∠C=60°. .∠BAF=45°， AC是直径， ∴.△ABF是等腰直角三角形， .∠ABC=90°， ∴.BF=AB·sin45°=5√2， ∴.∠A=30°. PB+2PA的最小值是5E. 如图，作BK∥CA,DE⊥BK,垂足为点E, OM⊥BK,垂足为点M,连接OB B ,BK∥AC, ∴∠DBE=∠BAC=30°. E 在READBE中，DE=BD, D.--. ∴.OD+ 2 BD=OD+DE. 8.【解析】解：如图，过点P作PQ⊥AD,垂足 根据垂线段最短可知，当点E与M重合时， 为Q 四边形ABCD是平行四边形， OD+2BD的值最小，最小值为OM. .DC//AB, ,∠BAO=∠ABO=30°， .∠QDP=∠DAB=60°， ∠OBM=60°， 色图色香后 参考答案 ∴.OM=OB·sin60°=√3， .AD=AG,∠BAD=∠CAG,∠ABD= 1 ∠ACG=45°. OD+2BD的最小值为3. ∠DAE=45°， E M ∴.∠BAD+∠EAC=∠CAG+∠EAC=45°， D .∠DAE=∠GAE, ∴.△DAE≌△GAE(SAS), .DE=GE 在Rt△GCE中，CE2+CG2=GE, 第五专题与角有关的 .BD=CG,DE=EG, 辅助线作法 ∴.BD2+CE2=DE2, 1.【解析】证明：如图，将△ADF顺时针旋转得 到△ABG,使AD与AB重合. 根据旋转的性质可得△ADF≌△ABG, ∴.∠DAF=∠BAG,AF=AG,DF=GB :3.【解析】证明：如图，过点A作AE⊥BC,垂足 :∠EAF=∠BAD, 为点E, .∠EAC+∠C=90°. ∴∠EAF=∠EAG, ,BD⊥AC, 又，AE=AE, ∴.∠DBC+∠C=90°， ∴，△EAG≌△EAF, ∴.∠DBC=∠EAC. ∴，GE=EF ,AB=AC,AE⊥BC, ,GE=GB十BE=DF+BE, ∴.EF=BE+FD F2∠BAC, ∠EAC= .∠DBC= 2∠BAC. GB 2.【解析】证明：如图，将△ABD绕点A逆时针 D 旋转90°得到△ACG,连接EG 由旋转的性质可知，△ABD≌△ACG, 4.【解析】证明：如图，延长AC至点E,使 45