第1专题 与中点有关的辅助线作法(练册)-初中数学一点通之几何

色是卧● 第一专题与中点有关的辅助线作法人 第一专题 与中点有关的辅助线作法 1.如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC,垂足为点D.求证：∠BAC=2∠DBC. 2.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且BE=AF.试说明：DE=DF, D 3.如图，在△ABC中，若∠B=2∠C,AD⊥BC,E为BC边的中点.求证：AB= 2DE. D 初中数学重难点问题一点通 ●●号●● 4.如图，在△ABC中，AD是BC的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F, AF=EF.求证：AC=BE. 5.如图，在△ABC中，AB=BC,AD为BC的中线，延长BC至点E,使CE=BC, 连接AE.求证：∠DAC=∠CAE. 6.如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=4,D为AB的中点，DC⊥BC,求△ABC 的面积。 02 色●卧●0 第一专题与中点有关的辅助线作法人 7.如图，△ABC的中线AD与高CE交于点F,AE=EF,FD=2,S△ACr=24,求AB 的长度 8.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的 延长线交MN的延长线于E、F.求证：∠DEN=∠F. 03初中数学重难点问题一点通 ●●●●● 参考答案 : .∠B=∠DAC. 第一专题 与中点有关的 又，BE=AF, 辅助线作法 ∴.△BDE≌△ADF(SAS). .DE=DF. 1.【解析】证明：如图，作∠BAC的角平分线 AE交BC于点E,则∠1=∠2-2∠BAC. 又，AB=AC, D ,AE⊥BC, 3【解析】证明：如图，取AC的中点F,连接 .∠2+∠ACB=90°. ,BD⊥AC, EF、DF.由中位线定理得：EF=2AB,∠B= ∴.∠DBC+∠ACB=90°， ∠CEF=2∠C. .∠2=∠DBC, 'DF为Rt△ADC斜边上的中线， .∠BAC=2∠DBC. ∴.DF=CF, ∴.∠CDF=∠C 又，∠DFE十∠FDE=∠CEF, D 即∠C+∠DFE=2∠C, .∠DFE=∠C=∠EDF, 2.【解析】证明：如图，连接AD DE-EF-TAB, ,AB=AC,D为BC的中点， ∴.AB=2DE ∴.AD⊥BC, ∴.∠ADB=90°， 1 ∴∠BAD=∠DAC=Z∠BAC D AB=AC,∠BAC=90°， 4.【解析】证明：如图，延长ED到点G,使DG= ∴∠B=∠C=45. DE,连接CG. ,在△ABD中，∠BAD=45°， 点D是BC的中点， ∴∠B=∠BAD, ∴.BD=CD .BD=AD 又'∠BDE=∠CDG, ∠DAC=45, ∴.△BED≌△CGD(SAS), 36 色图色香后 参考答案 ∴.∠BED=∠G,BE=CG. DC⊥BC, AF=EF, ∴.∠BCD=90°. ∴.∠FAE=∠AEF=∠BEG, 又，∠ACB=120°， ∴.∠G=∠EAF, ∴.∠ACD=30°. ∴.AC=GC=BE :D为AB的中点， .AD=BD 又"，∠ADH=∠BDC, ∴.△ADH2△BDC(SAS), D ∴.AH=BC=4,∠H=∠BCD=90°. ∠ACH=30°， 5.【解析】证明：如图，延长AD到点F,使DF .AC=8,CH=4√5， =AD,连接CF. : ∴.CD=25, ,AD=DF,∠ADB=∠FDC,DB=DC, ×4×23=85. 1 ∴.S△Ae=2S△cD=2X ∴.△ADB≌△FDC(SAS), ∴.AB=CF,∠B=∠DCF. BA=BC,CE=BC. ∴.∠BAC=∠BCA,CE=CF ,∠ACE=∠B+∠BAC,∠ACF=∠DCF+ :7.【解析】解：如图，取CE的中点G,连接DG. ∠ACB, DG是△BEC的中位线， ∴.∠ACE=∠ACF 又，AC=AC, .BE=2DG,AB∥DG, ∴.△ACE≌△ACF(SAS), ∴.∠AEF=∠DGF=90°. AE=EF, ∴.∠DAC=∠CAE. ∴.∠EAF=∠AFE. :∠DFG=∠AFE,∠FDG=∠EAF, ∴.∠DFG=∠FDG, ∴.DG=GF=2, ∴.BE=2√2. 6.【解析】解：如图，延长CD到H,使DH=CD 设AE=EF=x,则CF=x十2W2. 初中数学重难点问题一点通 ●●●●● 足为点E. S△Ag=2CF·AE, ,∠C=∠DEA=90°，∠1=∠2，AD=AD, 1 ∴2(x+22)x=24,解得x=42. ∴.△ACD≌△AED, .AB=AE+BE=6√2. .'CD=DE,AC=AE. DE⊥BE,∠B=45°， ∴.△DEB为等腰直角三角形， ∴.DE=CD=BE, D ∴.AB=AE十BE=AC+CD 8.【解析】证明：如图，连接AC,取AC的中点： P,连接PM、PN, 在△CDA中，N、P为CD、AC的中点， .PN-AD,PN//AD. 2.【解析】证明：如图，过点C作CE⊥AB交AB ∴.∠PNM=∠DEN. 的延长线于点E,作CF⊥AD,垂足为点F. ,在△ACB中，P、M为AC、AB的中点， ,∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠EBC= ∴PM=号BC,PM/BC, 180°， ∴.∠PMN=∠F. .∠EBC=∠D .AD=BC, 又，BC=CD, .PM=PN, .△CBE≌△CDF, ∴.∠PNM=∠PMN, ..CE=CF, ∴.∠DEN=∠F. 故AC平分∠BAD. B 3.【解析】证明：如图，在AC上取一点E,使 第二专题与角平分线有关的 AE=AB,连接DE :∠1=∠2，AD=AD,AE=AB, 辅助线作法 '.△ADB≌△ADE(SAS), 1.【解析】证明：如图，过点D作DE⊥AB,垂 .BD=DE,∠B=∠AED. 38