类型3 “四点共圆”型(讲册)-初中数学一点通之几何

●0●●0 第十二专题辅助圆凸 由(2②)知0A=0B=0C-号，0G=AG=BG-》 .MA-CG-NB-1,EM-AG-FN- 2 ∴.E'F'=MN=MA+AB+NB=2CG+AB=√2+ 2,EE'=FF'=1. 在Rt△E'FF'中，E'F=√EF2十FF =√/（√2+2）2+12 =√7+42， 因此，EP+FP的最小值为√7+4√2. 区类型三“四点共圆”型 01方法技巧 圆内接四边形对角互补，反之，四边形对角互补，四边 形有外接圆， 1,对角互补.如图所示，在四边形ABCD中，∠A十 ∠C=180°，则四边形ABCD有外接圆，把这种类型简称 为“对角互补，四点共圆” 2.同弦等角.如图所示，线段BC所对的两个角∠A, ∠D相等，则A、B、C、D四点在同一圆上，把这种类型简 称为“同弦等角，四点共圆” 学习笔记 53 初中数学重难点问题一点通 参参海香通 要点诊释： 1.不是所有的四边形都有外接圆，对角互补的四边形 才有外接圆. 2.圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角. 02 精题精讲 例5.如图，△ABC是等边三角形，D、E、M分别是 BC、AB、AC边上的点，∠ADE=60°，∠ADM=60°，求证： BE=CM. 【解析】证明：.△ABC是等边三角形， .∠BAC=60° ,∠ADE=∠ADM=60°， .∠EAM+∠EDM=∠BAC+∠ADE+∠ADM=180°. .A,E,D,M四点共圆，构造外接圆圆O,连接EM. ,∠ADE是AE所对的圆周角，∠AME是AE所对 的圆周角， .∠ADE=∠AME=60°. ,∠EAM=60°， 学习笔记 ∴.∠AEM=60°， 故△AEM是等边三角形， ..AE=AM. 0154 ●00●0 第十二专题 辅助圆凸 .AB=AC, ∴.AB-AE=AC-AM,即BE=CM. 例6.如图1，在平面直角坐标系中，△A0C为等边 三角形，AD=AO,连接OD,交AC于N,连接CD (1)求∠ODC的度数 (2)如图2，CA的延长线交y轴于P点，连接PD,延 长OA交PD于K,连接KN,PK=7,求NK的值. D C 图1 图2 【解析】解：(1)，△AOC为等边三角形， ∴.AO=AC,∠OAC=60°. .AD=AO, ..AO=AC=AD. 点O,C,D在以A为圆心，以OA长为半径的圆 上，如图1， ∴∠0DC=2∠0AC=30. N 0----C 图1 图2 (2)如图2，以A为圆心，以AO长为半径作⊙A. 学习笔记 ,△AOC为等边三角形， ∴.∠ACO=∠AOC=60°， 55 初中数学重难点问题一点通 香色传香每 ∴.∠POA=30°，∠OPC=30°， .∠POA=∠OPC, .'.PA=OA, 点P在⊙A上， .∠PDO=∠PCO=60°. :∠KAN+∠OAC=180° ∴.∠KAN+∠KDN=180°， A,K,D,N四点共圆， .∠KDA=∠KNA AP=AD, ∴.∠APK=∠KDA, .∠APK=∠KNA, ..KN=PK=7. 学习笔记 ③6