类型2 共角共边模型(讲册)-初中数学一点通之几何

初中数学重难点问题一点通 5●s●● '.△CFD≌△BMD, ∴.CF=BM, ..ANAC_BM_AB-AM AN AM AM YAC-AC_AB-xAB YAC xAB ,即 =2 x y (3)解：猜想成立.理由如下： G G M C N 图① ..N 图② I.如图①，过D作MN∥M'N'交AB于M,交AC的 延长线于N,则AMM-AGAN AM AD AN' t =n= ,即x= 1+1=2, 由(2)知， x v Ⅱ，如图②，过点D作M1N1∥M'N'交AB的延长线 于M,交AC于N,同理可得+J=2 区类型二 共角共边模型 01方法技巧 1.子母型.如图，△ABC和△ACD有公共边AC和公 共角∠A,且AC2=AD·AB,根据两边对应成比例且夹 角相等的两个三角形相似，可得△ABCD△ACD 学习笔记 2.射影定理.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边上的 高，根据两角相等的两个三角形相似，可得△ABCC∽ △ACDO△CBD,AC2=AD·AB,BC2=BD·BA, 100 ●●●● 第九专题与相似有关的铺助线作法凸 CD2=AD·BD. B D 子母型 射影定理 要点诊释： 当题目中含有ab=cd这类线段积相等的条件时，一 般转化成比的形式，同时使比的前项和后项中的两条线段 分别在同一个三角形中，再确定这两个三角形是否相似 02 精题精阴 @3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC 内切圆的圆心，连接BE并延长交AC于点F,交⊙O于点 D,连接AD,过点D作直线DN,使∠ADN=∠DBC. (I)求证：直线DN是⊙O的切线 (2)若DF=1,BF=3,求AD的长. O.E 【解析】(1)证明：如图，连接OD :点E是△ABC的内心， ∴.∠ABD=∠CBD, 学习笔记 ..AD=CD. .OD⊥AC. 1o例 初中数学重难点问题一点通 5●s●● ,∠ADN=∠DBC,∠DBC=∠DAC, .∠ADN=∠DAC, ∴.AC∥DN, ∴.OD⊥DN. ,OD为⊙O的半径， 直线DN是⊙O的切线. (2)解：：AD=CD, ∴.∠DAF=∠DBA. ,∠ADF=∠ADB, .△DAF△DBA, ÷8-80pDA-DF,B .DF=1,BF=3, ..DB=DF+BF=4. .DA2=DF·DB=4, .DA=2 @4.如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且 BF=2BE,连接OE、AF,过点B作⊙O的切线分别与 OE,AF的延长线交于点C、D (1)求证：∠COB=∠A. (2)若AB=6,CB=4,求线段FD的长， 【解析】(1)证明：如图，取BF的中点M,连接OM、 OF、BF. 学习笔记 02 年80●● 第九专题与相似有关的辅助线作法凸 .BF=2BE. ∴.BM=MF=BE, ∴∠cOB=∠BOM=∠MOF=2∠BOF, :∠A-号∠BOF, ∴.∠COB=∠A. (2)解：CD是⊙O的切线 ∴.∠OBC=∠ABD=90°. .∠COB=∠A, ∴.△OBCC∽△ABD, ÷沿所即高解得即-8 在Rt△ABD中，AD=/AB+BD=√G2+82=10. ,AB是⊙O的直径， ∴.∠AFB=∠BFD=90°. ,∠BDF=∠ADB, .Rt△DBF∽Rt△DAB, 7810,解得Dr=32 889即8 1 区类型三一线三垂直（等角）模型 O①方法技巧 1.一线三垂直模型.如图，已知∠ACE=90°，AB、ED 分别垂直于BD,可知∠ACB十∠ECD=90°，又因为 ∠ACB+∠BAC=90°，可知∠ECD=∠BAC,所以 △ABC△CDE. 2.一线三等角模型.如图，已知∠B=∠D=∠ACE, 学习笔记 根据∠ACD=∠B十∠A,可知∠A=∠ECD,所以 △ABCC∽△CDE. 103