类型1 “A”字模型和“X“字模型(讲册)-初中数学一点通之几何

初中数学重难点问题一点通 香色传卷每 第九专题 与相似有关的辅助线作法 学习目标〈中 ①学会利用辅助线构造相似模型，利用相似模型结论去 引导解题思路， ©掌握常见的相似模型的图形结构并能灵活地运用 类型梳理 区类型一“A”字模型和“X”字模型 01 方法技巧 如图，过三角形一边上的点或一边延长线上的点作某 一边的平行线，得到“A”字模型或“X”字模型，根据“平行 于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得 的对应线段成比例”，此时△ABC∽△ADE -△=☒ A”字模型 ”字模型 如图，过三角形一边上的点或一边延长线上的点作相 学习笔记 等的角或成比例的线段，得到倒“A”字模型和倒“X”字模 型，根据“两角对应相等或两边对应成比例且夹角相等，两 三角形相似”，此时△ABCC∽△AED 96 ●0●●0 第九专题与相似有关的辅助线作法凸 1A人-风 倒“A”字模型 倒“X”字模型 要点诊释： 若题目中有比例条件且条件中线段和所求相关线段 能尽可能地放在“A”字模型或“X”字模型中，则可借助比 例端点作平行线构造“A”字模型或“X”字模型 02 精题精讲 例1.如图，已知△ABC,延长BC到D,使CD=BC. 取AB的中点F,连接FD交AC于点E. (a求C的值。 (2)若AB=a,FB=EC,求AC的长. 【解析】解：(1)如图，过点F作FM∥AC,交BC于 点M. ,F为AB的中点且FM∥AC, .BM-CM.FM-ZAC. CD=BC, ∴CM=2CD, 学习笔记 97 初中数学重难点问题一点通 香色传香每 .FM∥AC, ∴∠CED=∠MFD,∠ECD=∠FMD, '.△FMD∽△ECD, ·EC_DC2 FMDM 3' E=号FM-=号xAC=AC 能-4Cc4c-c 2 AC AC 3 (2)AB=a, B-号AB=a FB=EC, a. -AC ∴AC=-3BC-=20. 例2.已知线段AD是△ABC的中线，将BC所在的 直线绕点D顺时针旋转α角，旋转后的直线交AB于 点M,交射线AC于点N,设AM=xAB,AN=yAC(x, y≠0). (1)如图1，当△ABC为等边三角形且a=30°时，求 证：△AMNO△DMA. (2)如图2，求证：+ x'y =2. (3)如图3，当G是AD上任意一点时（点G不与点A 重合)，过点G的直线交AB于点M,交射线AC于点N', 学习笔记 设AG=nAD,AM'=xAB,AN'=yAC(x',y'≠0)，猜 想安十一号是香皮立？请说明理由。 98 ●0色●0 第九专题与相似有关的辅助线作法凸 图1 图2 M G D 图3 【解析】(1)证明：在△AMD中，，'AD是等边△ABC 的中线， .AD⊥BC,∠MAD=30°. .'a=∠BDM=30°， ∴.∠MDA=60°， ∴.∠AMD=90°. 在△AMN中，，∠AMN=90°，∠MAN=60°， ∴.∠AMN=∠DMA=90°，∠MAN=∠MDA, △AMN∽△DMA. (2)证明：如图，过点C作CF∥AB交MN于点F, 则△CFNP△AMN. 恶 ,CF∥BM, ∴.∠B=∠DCF. 在△CFD和△BMD中， ∠DCF=∠B, 学习笔记 CD=BD, ∠CDF=∠BDM, 99 初中数学重难点问题一点通 香色传香每 ∴.△CFD≌△BMD, .'.CF=BM, AN-AC_BM_AB-AM AN AM AM .YAC-AC_AB-xAB yAC +1=2 xAB ,即 x y (3)解：猜想成立，理由如下： G G M D N .....N 图① 图② I.如图①，过D作MN∥M'N'交AB于M,交AC的 延长线于N,则AM-AGAW AM AD AN =n= X y ny= 即x= 由(2)知，1+1 =2, x y Ⅱ，如图②，过点D作M1N1∥M'N交AB的延长线 于M,交AC于N,同理可得时+了一品 区类型二 共角共边模型 ①方法技巧 1.子母型.如图，△ABC和△ACD有公共边AC和公 共角∠A,且AC2=AD·AB,根据两边对应成比例且夹 角相等的两个三角形相似，可得△ABCc∽△ACD 学习笔记 2.射影定理.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边上的 高，根据两角相等的两个三角形相似，可得△ABC∽ △ACD△CBD,AC2=AD·AB,BC2=BD·BA, 100