类型3 两定点或三定点确定平行四边形(讲册)-初中数学一点通之几何

初中数学重难点问题一点通 ' NPC= MBP$ 'P.NC△BMP. .NMCN:P" .PM} MB -m . -3-17 7或-317 .m-二 2 (舍去). .点 P。坐标为(1.-3-17). (1.-3-17) ]时,△PBC为直角三角形. 类型三 两定点或三定点确定平行四边形 方法技巧 1.两定点确定平行四边形.如果已知两个定点,一般 是把两个定点确定的一条线段按照边或对角线分为两种 情况讨论。 如图,平面上有两个定点A、B,确定两点C、D,使以 A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,可连接AB,以 线段,AB,为边或对角线作平行四边形 ) -_ 学习笔记 要点诠释: 1.平行四边形的判定方法:①一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形;②两组对边分别相等的四边形是平 第七专题 与确定特殊图形有关的辅助线作法 行四边形;③对角线互相平分的四边形是平行四边形; ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形, 2.两定两动型平行四边形存在性问题的解决方法,一 般可分为三个步骤:①分析定点、动点;②连接定线段,这 时往往要分两种情况,若定线段是乎行四边形的边,则通 过平移确定点的坐标,若定线段是平行四边形的对角线, 则定线段绕中点旋转,利用中点坐标公式确定点的坐标: ③结合图形进行验证. 2.三定点确定平行四边形,如果已知三个定点,探寻 平行四边形的第四个顶点,符合条件的有3个点:以已知 三个定点为三角形的顶点,过每个点画对边的平行线,三 条直线两两相交,产生3个交点 如图,已知平面上的三个点A、B、C,确定一点D,使 以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形.连接AB. BC、CA,过点A、B、C分别作对边的平行线,从而确定点 D的位置. 要点诠释: 1.两直线的位置关系与一次项系数k的关系:在同一 乎面直角坐标系中,有不重合的两条直线/:y一kx $b ,l:y=k。x十b(bb),当k,=k,时,两直线平行; 当k去k。时,两直线相交;当k,k。一一1时,两直线垂直. 2.三定一动型平行四边形存在性问题的解决方法,一 般分为三个步骤:①分析定点、动点;②确定顶点位置,求 学习笔记 出点的坐标,在求点的坐标时,注意应用两直线平行时,一 次项系数k相等;③结合图形进行验证 初中数学重难点问题一点通 精题精讲 5.如图,抛物线v-ax^{*}+bx一3与x轴交于A、B 两点(点A在点B左侧).A(-1.0),B(3,0),直线/与抛 物线交于A.C两点,其中点C的横坐标为2 (1)求抛物线的函数解析式. (2)P是线段AC上的一个动点,过点P作v轴的平 行线交抛物线于点E,求线段PE长度的最大值 (3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F. 使以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形?如果存 在,求出所有满足条件的点F坐标;如果不存在,请说明 理由. 【解析】解;(1)·抛物线v二ax十bx-3与x轴交于 A(-1,0),B(3.0). a-b-3-0, . a-1, 解得 9a+3b-3-0. b--2. .'.抛物线的函数解析式为v一x{-2x-3. (2).点C在抛物线上,且点C的横坐标为2; .y-4-4-3--3. ·点C的坐标为(2,一3) 设直线/的解析式为v一kx士b,将A,C坐标代入解 学习笔记 析式: -k十b-0. k--1. 可得 解得{ 2k十b--3. b--1, 第七专题 。。 与确定特殊图形有关的辅助线作法 ..直线/的解析式为v--x-1. 设点P的横坐标为x(-1 x乏2),则P、E的坐标分 别为P(x,-x-1),E(x,x-2x-3) .点P在点E的上方; ..PE-(-x-1)-(x-2x-3) --xr2十x十2 -(#-){}# .-1<0,开口向下,-1<x<2. (3)如使以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边 形,可分别以AC为边或对角线作平行四边形,分以下四 种情况讨论: ①如图1.四边形AFGC是平行四边形,此时CG/AF. ..AF-CG-2. '点F的坐标为(-3,0); ##### 图 图2 ②如图2.四边形AGCF是平行四边形,此时CG/FA; ..AF-CG-2. .点A的坐标为(-1,0). .点F的坐标为(1,0); ③如图3,四边形ACFG是平行四边形,此时AC/ GF,C、G两点的纵坐标互为相反数,故点G的纵坐标为 学习笔记 3.且点G在抛物线上 .r2-2x-3-3. 77 初中数学重难点问题一点通 解得x=1+/7,x。=1-7(舍去) ·点G的坐标为(1十/7,3) .GF/AC, ..设直线GF的解析式为y=一x+h. ·-(1十/7)+h-3,解得h-4十/7. ..直线GF的解析式为v=-x+4十/7, ..直线GF与x轴的交点F的坐标为(4十/7,0); 图3 图4 ④如图4.四边形ACFG是平行四边形,此时AC/ GF,C、G两点的纵坐标互为相反数,故点G的纵坐标为 3.且点G在抛物线上. ..x-2x-3-3. 解得x=1+/7(舍去),x。-1-/7. ·点G的坐标为(1-/7,3) .GF/AC, .'.设直线GF的解析式为v一一x十h ·-(1-/7)+h-3,解得h-4-v7, ·直线GF的解析式为y=-x+4-/7. ..直线GF与x轴的交点F的坐标为(4一/7,0). 综上,点F分别是F.(1,0),F(-3,0),F。(4+/7 0).F(4-/7,0). 学习笔记 6.如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4:点D 为AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落 在OA上的点E处,分别以OC、OA所在的直线为x轴,y 第七专题 与确定特殊图形有关的辅助线作法 轴建立平面直角坐标系。 (1)求OE和AD的长 (2)求过O、C、D三点的抛物线的解析式 (3)若点N在(2)中抛物线的对称轴上,点M在抛物 线上,是否存在这样的点M与点N.使以M、N、C、E为项 点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的 坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】解:(1).CE=CB=OA-5,CO=AB-4 .在Rt△COE中,利用勾股定理可得OE-3. :OE-3. ..AE-5-3-2. 在Rt△ADE中,设AD=m,则DE=BD=4-m 由勾股定理得AD^{}十AE三DE^{}. 即m②+2{}-(4-m)②,解得m= 3 2 .D(5). (2):C(-4.0),D(-3.-5).0(0.0). 设过O,D,C三点的抛物线为y一ax{}+bx+c (16a-4b+c-0. 3. 16 学习笔记 可得 {一 b一 3) c-0. c-0. 初中数学重难点问题一点通 '抛物线的解析式为y一 16 3. (3)抛物线的对称轴为直线x三-2. '设N(-2,n).M(m.v). 又由题意可知C(一4,0),E(0,-3),如使以C、E M、N四点为顶点的四边形是平行四边形,可分以下几种 情况讨论: ①当EN为对角线,即四边形FCNM是平行四边形 .·EN、CM互相平分 .[_+(-4)]--1.解得m=2. 又.点M在抛物线上, 4 将。 ..M(2.16); 图 图2 ②当EM为对角线,即四边形ECMN是平行四边形 学习笔记 .·EM、CN互相平分. 第七专题 .... 与确定特殊图形有关的辅助线作法 -_m=-3,解得m--6. 又.点M在抛物线上; .M(-6,16); ③当CE为对角线,即四边形EMCN是平行四边形 时,如图3,则m-0=-4-(-2),解得m=-2. 当m=-2时,y- 3) 即M(-2.-1). 综上,存在满足条件的点M,其坐标为(2,16)或(一6, 16)或(-2.-). 7.如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的 两条直角边OA、OB分别在v轴和x轴上,OA、AB的长 分别是方程x^{}-9x十18-0的两根,动点P从点A出发在 线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动;同 时,动点O从点B出发在线段BA上以每秒2个单位长度 的速度向点A运动,设点P,O运动的时间为1s (1D)求A、B两点的坐标 (2)当!为何值时,△APO为直角三角形?求此时点 Q的坐标. (3)当一2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以 A、P、O、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出 点M的坐标;若不存在,请说明理由 学习笔记 初中数学重难点问题一点通 【解析】解:(1):方程x2-9x十18-0. 解得x.-3,x。-6. 'OA-3,AB-6 '$OB-AB^{*-OA=3③,$ '点A坐标为(0,3),点B坐标为(33,0). ($2):在Rt△AOB中,OA=3,AB=6.AOB-90^*$ .AO- B. .. ABO-30{}.BAO-60{. ①若APO-90{,则△APO△AOB 3 如图1,作QN1OB,垂足为点N. ..ABO-30*. 3③ 由幻股定理可得BN。 2 33 .ON-OB-BN- 2 .点的坐标为(3). ②若 AOP=90”,则△AOP△AOB, 2 3 5. 综合①②:可得。(2).(3.12). ) 学习笔记 图1 图2 第七专题 ..。 与确定特殊图形有关的辅助线作法 (3)如图2,当t-2时,AP-2,BO=4 ①过点O作OM1OB,垂足为点M 由 ABO=30*},可得OM=2-AP$ 又:QM/AP. '.此时四边形APM.O是平行四边形 在Rt△OM.B中,由勾股定理可得BM.-2/3. ..OM-OB-BM.=/3, .点M.的坐标为(3,0); ②延长MO至点M。.使OM。=OM-2,连接AM: 由①可知,OM/AP且QM-AP. '.四边形APOM。是平行四边形: 此时点M。的坐标为(3,4); ③:AP-2,BQ-4. '.AO-AB-BO-2-AP 又:BAO-60*, '.△APO是等边三角形, 将△APO沿AP翻折得到△APM。 易证此时四边形AOPM。是平行四边形. .点M.与点0关于y轴对称,点O的坐标为(3,2) '点M。的坐标为(一③,2) 综上所述,存在点M,使以点A、P、O、M为顶点的四 边形是平行四边形:点M的坐标分别为M(3,0)。 M.(/3,4).M.(-/3,2) 学习笔记