类型1 两圆一线定等腰(讲册)-初中数学一点通之几何

初中数学重难点问题一点通 第七专题 与确定特殊图形有关的辅助线作法 学习目标 利用“两圆一线”法讨论等腰三角形存在性问题 利用“两线一圆”法讨论直角三角形存在性问题 根据“两定点”或“三定点”讨论平行四边形存在性 问题. 类型梳理 类型一 两同一线定等腰 方法技巧 等腰三角形是一种特殊的三角形,特殊在边有腰与底 之分,角有顶角与底角之分,因为有这种特殊性,所以解有 关等要三角形的问题往往需要按边或按角分类讨论,等腰 三角形的顶点一旦确定,特殊边、特殊角则随之确定,“两 圆一线”画图法可以轻松地解决等腰三角形的问题 如图,已知线段AB,在平面内找一点C,使△ABC为 等腰三角形,满足条件的点C是分别以A,B为圆心、AB 长为半径的两圆及线段AB的垂直平分线上的所有点(与 AB在同一直线上的点除外) 学习笔记 __B 第七专题 与确定特殊图形有关的辅助线作法 要点诠释: 1.“两圆一线”法的适用范围是已知两定点和一动点 确定等腰三角形. 2.由于等腰三角形的特殊性,故在确定何为腰时要进 行分类讨论,其讨论原则就是不重、不漏 精题精讲 1.如图,直线1:y三一x十2与x轴和y轴分别 交于A,B两点,点P(m,3)为直线L上一点,另一直线 l。:y2一 2十b过点P. 1 (1D)求点P坐标和b的值。 (2)若点C是直线/。与x轴的交点,动点O从点C 开始以每秒1个单位长度的速度沿着x轴正方向移动,设 点Q的运动时间为ts ①请写出点O在运动过程中,△APO的面积S与 的函数关系式. ②是否存在:的值,使△APO为等腰三角形?若存 在,请求出的值;若不存在,请说明理由。 【解析】解:(1):点P(m,3)在直线:y=-x十 2上. .-n+2-3. '.m=-1,即点P的坐标为(-1,3). :点P在直线l。:y:-2x十b上, 1 学习笔记 65 初中数学重难点问题一点通 各 (2)①·:b- #2 '.l:y2= 1. .点C是直线l。与x轴的交点 .点C坐标为(一7,0). .点A是直线/.与x轴的交点 .点A坐标为(2,0). ..AC-9. 分两种情况: (i)当0<t<9时,CO-1,AO-9- $ (ii)当t>9时,CO=t,AO=t-9. 3,27 2 综上,S- 3 27 ②存在. “:A(2,0),P(-1,3). 'AP-/3+3-3/②,PAO-45*。 当△APO为等腰三角形时,点O可能的位置如图 所示. 学习笔记 第七专题 。。 与确定特殊图形有关的辅助线作法 (i)当AP三AO时,Q可在点A左侧(Q)或者右侧 (),A-9-t-3/②. 't-9-3v2,t-9+3②; (ii)当PA三PO时,O只能在点A左侧(O). ·.A(2,0).P(-1.3). .A-9-1-6. .t-3; (iii)当OP一OA时,O只能在点A左侧(O) .A(2,0),P(-1,3),PAO-45*; .AQ-9-t-3. .-6. 综上,当1的值为9-3/2,9+32,3,6时,AP$C 为等腰三角形 2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-},o), 点C(0,3),点B是x轴上一点(位于点A的右侧,以AB 为直径的圆恰好经过点C). (1D)求证:△AOC△COB (2)已知抛物线y-ax{}十bx十3经过A、B两点,求抛 物线的解析式 (3)线段BC上是否存在点D,使△BOD为等腰三角 形?若存在,则求出所有符合条件的点D的坐标;若不存 在,请说明理由 学习笔记 【解析】(1)证明:.以AB为直径的圆恰好经过点C. 初中数学重难点问题一点通 '. ACB-90{$ ACO+ BCO=90{。$$ .AOC=BOC=90$$ .. BCO+CBO=90. .ACO= CBO. ..△AOC△COB. (2)解:.△AOC△COB ..OC-AO·OB. “点A(-}.o),点C(0,3), 9 9XOB 又:OC{=AO·OB,即9=$$ .OB-4. .点B(4,0). #1_# 3. 解得 16a+4b+3-0. 12' 12-r+3. (3)存在,点D可能的位置如图所示 学习笔记 第七专题 。。 与确定特殊图形有关的辅助线作法 ①当OD.=D.B时,D.在OB的垂直平分线上,过 D. 作DHLOB,垂足是H. .点D.(2). ②当BD。=BO时,过D。作D。G1OB,垂足是$G. .△BOCo△BGD。. 000 .QB-4.QC-3. .CB-5. . .BG 4 DG 4 # 3 ..BG- 16 .D.G12 5; .OG-BO-BG-4- 164 .点D。(12). 综上,当点D坐标为(2-)或(412) )时,△BOD为 等腰三角形 类型二 两线一圆定直角 方法技巧 如果已知两个定点A、B,要求在平面内求找一点C. 使A、B、C三点构成直角三角形,我们通常用到的方法是 “两线一圆”法. 如图,分别以A、B为垂足作线段AB的垂线,再以 学习笔记 AB为直径作圆,两垂线及圆上的任意点(线段AB的端点 除外)与A,B都可以构成直角三角形