类型3 弦图模型(讲册)-初中数学一点通之几何

第六专题 。。 与垂直有关的辅助线作法 .EF是AD的垂直平分线 .AE-DE, :. EDA=EAD=EAC十CAD .AD是/BAC的角平分线, .CAD-DAB " ADE= /ABD十 /DAB .ABD-EAC. .' AEB- CEA: ..△ABEC△CAE. '.AE-BE·CE, ..DE=BE·CE. 类型三 弦图模型 方法技巧 “弦图”是指我国古人赵爽在注释《周牌算经》时给出 的一种直观证明勾股定理的方法,即通过图形的切割、拼 接,巧妙地利用面积关系证明勾股定理.人们称它为“赵爽 弦图”,我们可根据“弦图”的结构和性质,运用作辅助线构 造“弦图”的方法,实现轻松解题的目的 如图,在△ABC中, ABC=90{*,点B在直线1上, AB一BC,过点A、C分别作直线/的垂线,垂足分别为D E,所以 ADB= $CEB=90{*}.因为 ABC=90{*},所以$$ $ABD+ $CBE=90{*,又因为 ABD十 BAD=90*,所$ 以 BAD= CBE.又因为AB=BC,所以△ABD △BCE(AAS). C 学习笔记 初中数学重难点问题一点通 要点诠释: 1.在直角三角形中,较短的直角边称为勾,较长的直 角边称为股,斜边则为弦 2.在直角三角形中,直角边a,b的平方和等于斜边 的平方,即a{}十b一c②。 3.弦图由四个全等的直角三角形的斜边拼成一个正 方形,我们可把弦图分为内弦图和外弦图 内弦图 外弦图 精题精讲 5.如图,分别以△ABC的边AC,BC为一边在 △ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点 求证:点P到AB的距离是AB长度的一半 【解析】证明:如图,过点E、P、C、F分别作EE'|AB PP' | AB,CC'AB,FF'AB,垂足为点E'P'C'、F' -*_F 学习笔记 在△EEA和△ACC中. . EAE'+ CAC'-90*CAC'+ ACC'-90* .EAE'-ACC'. 60 第六专题 .。 与垂直有关的辅助线作法 .EA=AC,EE'A=AC'C=90 '.△EE'A△AC'C. ..EE-AC'. 同理,△CC'B2△BFF,可得FF'=BC' 'AB-E'E+FF'. . PE=PF,EE'AB,FF'AB,PP'$AB &.F'P'-F'P', 即点P到AB的距离是AB长度的一半 6.如图,在直角梯形ABCD中,AD/BC,ADC 90{*}.I是AD的垂直平分线,交AD于点M.以腰AB为边 作正方形ABFE,EP II于点P.求证:2EP十AD-2CD 【解析】证明:如图,作AH BC,垂足为H,延长EP 交AH干点G .1是AD的垂直平分线, .AM-MD- -2AD,1/AH. 学习笔记 .四边形ABCD是直角梯形, .C- D-90*. 初中数学重难点问题一点通 '.四边形AHCD是矩形 ..AH-CD. “.PEI. ..EGIAH, '.四边形AGPM是矩形 “.AHB- EGA-90*, ..ABH+ BAH-90{ 在正方形ABFE中,AB=AE,BAE=90^{* ..BAH+ EAG-90* . ABH= EAG 在△ABH和△EAG中. AHB= EGA, ABH- EAG, AB-EA. .△ABH△EAG. .AH-FG, .CD-AH-EG, 即2CD=AD+2PE. 7.如图,以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连接AO 已知AB=2,AO-2②,求AC的长度 学习笔记 62 第六专题 。营。 与垂直有关的辅助线作法 【解析】解:如图,过点E作EGIAC,垂足为点G,连 接OG. . ECG+ B[CA=90”$ECG+$$CEG=90*,$ .. BCA-CEG. 在△CGE和△BAC中. (BAC- CGE. BCA- CEG, BC-CE, ..△CGE△BAC. ' ABC-GCE,CG-BA-2 .点Q是正方形BCEF的中心; :.BO=CO,OBC=OCE-45* ABC= ABO+OBC,GCE=GCO+ OCE: . ABO- GCO 在△ABO和△GCO中. [BO-CO, 3ABO- GCO BA-CG, .△ABO-/△GCO '. A=OG-2 ②.AOB= GO$C$$$ . BOC=$GOC+$GOB=90{*$$$ . AOG= AOB十 GOB=90*$$ 即△AOG是等腰直角三角形 学习笔记 'AG=AO+OG^{}-(2V②)+(2②)=4 '.AC=AG+CG-4+2-6.