类型1 半角模型(讲册)-初中数学一点通之几何

年00● 第五专题 与角有关的辅助线作法凸 第五专题 与角有关的辅助线作法 学习目标〈 ①在半角模型中灵活运用旋转构造全等三角形 ②利用角平分线将三角形中的倍角折半构造等腰三角形， ③作倍角的外角构造等腰三角形 类型梳理 区类型一 半角模型 01 方法技巧 半角模型是指有公共顶点，较小角等于较大角的一 半，且较小角在较大角的内部，较大角的两边相等，通过旋 转，可将角进行等量转化，构造全等或相似三角形的几何 模型.解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转或翻 折到另一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后 证明与半角形成的三角形全等或相似，通过全等或相似的 性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题 如图，∠EOF=2∠AOB,OA=OB,连接FB,将 △FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接FE、FE,可得 OF=OF',∠F'OA=∠FOB,因为∠EOF= 2∠A0B,所 学习笔记 以∠EOF=∠AOE十∠FOB=∠AOE+∠F'OA= ∠F'OE,又因为OE=OE,所以△OEF'≌△OEF, 45 初中数学重难点问题一点通 每●s●● 要点诊释： 1.旋转的性质：旋转前后两图形全等：对应点到旋转 中心的距离相等：对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋 转角. 2.半角模型经常在正方形中出现，由于正方形的每个 内角都是90°且四边相等，故当出现45°角时可以考虑运用 旋转的方式构造全等三角形」 02 精题精讲 例1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、 CD上，∠EAF=45°.求证：EF=BE+DF 【解析】证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD且∠ABE+∠ADF=180°. 如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG, 此时点C、D、G三点共线，∠BAE=∠DAG,AE=AG. G 0 学习笔记 ∠EAF=45°， '.∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠GAF=45°， 46 年00●● 第五专题与角有关的辅助线作法凸 ∴.∠EAF=∠GAF. 又，AF=AF, ,∴.△EAF≌△GAF, ..EF=GF=DF+DG=DF+BE. 例2.如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°， AB=AD,E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+ FD=EF,求证：∠EAF=2∠BAD 【解析】证明：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转 ∠DAB的度数得到△ABG,AD旋转到AB,AF旋转 到AG. G 根据旋转的性质可得：AG=AF,BG=DF,∠ABG= ∠D,∠BAG=∠DAF ,∠B+∠D=180°， .∠B+∠ABG=180°， 点G、B、C三点共线 BE+FD=EF. ∴.BE+BG=GE=EF. 在△AEG与△AEF中， AG=AF, AE=AE, 学习笔记 EG=EF, .'.△AEG2△AEF, 40 初中数学重难点问题一点通 每●s●● ∴.∠EAG=∠EAF. 又∠BAG=∠DAF, .∠EAB+∠DAF=∠EAF, ∴∠EAF=2∠BAD, 区类型二 倍角折半 01 方法技巧 已知一个角是另一个角的倍数时，可作倍角的角平分 线，构造等腰三角形， 如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C.作∠ABC的角平 分线交AC于点D,则∠DBC=∠C,DB=DC,即△DBC 是等腰三角形. D 要点诊释： 角平分线的作法：①以O为圆心、任意长为半径作孤， 孤与∠AOB的两边交于点E,F:②分别以，点E,F为圆 心、大于2EF的长度为半径画孤，两孤交于∠AOB内一 ,点C:③作射线OC,射线OC即∠AOB的角平分线. 02 精题精讲 学习笔记 例3.如图，在△ABC中，∠C=2∠A,AC=2BC.求 证：∠B=90° 48