类型3 胡不归(讲册)-初中数学一点通之几何

第四专题 。营。 与线段和、差最值有关的辅助线作法 【解析】解:如图,作点C关于OB的对称点C,点D 关于OA的对称点D',连接CD'. :CF+EF+DE=C'F+EF+D'E ..当C'、F、E、D四点共线时,CF十EF十DE=C'D 最短. 根据轴对称图形的性质和勾股定理 :D'OC'=3 /AOB=90{*OD'=12,C'=5 $ ..CD'-12+52-13 即CF十EF士DE的最小值为13. 类型三 胡不归 方法技巧 “胡不归”是一个经典的最值问题,话说,从前有一小 伙子外出务工,某天他不幸得知老父亲病危,便立即赶路 回家,小伙子略懂数学常识,考虑到“两点之间线段最短' 的知识,就走了布满矿石的直线路径,而忽视了走折线虽 然路程多但速度快的实际情况,当他赶到家时,老人则哦 了气,小伙子追悔莫及,失声痛哭,邻居告诉小伙子,老人 弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归......” 这个问题引起了人们的思索,小伙子能否节省路上的 时间提前到家?如果可以,他应该选择一条怎样的路线 呢?这就是“胡不归”问题 学习笔记 如图,A是出发点,B是目的地,AC是一条驿道,而 驿道靠目的地一侧全是沙土.为了选择合适的路线,根据 初中数学重难点问题一点通 不同路面的速度不同(驿道速度为am/s,矿土速度为 bm/s),小伙子需要在AC上选取一点D,再转向至B.他需 要的时间是ADDB ?D,对式子做变形处理,得(AD+DB), 因为b、a为定值,所求问题即转化为求(AD+DB)的 作DELAM,则AD DE 。 过点B做AM的垂线与AC交点D.,D. 即为转向点 2B 要点诠释: 1.点到直线的连线中,垂线段最短 2.“胡不归”问题的典型特质是求AP十k·BP的形 式,这里一般考虑将k·BP进行转化,构造一个角a,令 sina一k,再做垂线构造直角三角形,角a的对边即为 k·BP,进而求解最值。 3.特殊角的三角函数值 sina cosa tana a cota #1~p&~ s~和一~ {{” 30{ 3 学习笔记 过二 45。 1 60{ ) 40 第四专题 。。 与线段和、差最值有关的辅助线作法 精题精讲 7.如图,在△ABC中,AB=AC=10,tanA=2; BE IAC,垂足为点E,D是线段BE上的一个动点,求 BD的最小值 【解析】解:如图,作DH AB,垂足为H,CM AB. 垂足为M. .BEIAC. .. AEB-90”, taA-2. BE 设AE-a,BE-2a,则有10{}=a{+4a^{}$$ .a-20. 'a-2/5或-2/(舍去). *.BE-2a-4/5. AB=AC,BE AC,CM AB ..CM-BE-4/5. : DBH= ABE, BHD= BEA '△DBHo△ABE. 学习笔记 ..sin DBH- DH AE 5 BDAB5' 41 初中数学重难点问题一点通 #.CD# 5 BD=CD+DH .CD+DH三CM BD>4/5, :CD 5 BD的最小值为4/5 8.如图,P为正方形ABCD对角线BD上一动点 若AB-2,求AP十BP十CP的最小值. 【解析】解:·P为正方形ABCD对角线BD上一动点 ..AP-CP, . AP+BP+CP-2(AP+Br). 如图,连接AC,交BD于点O,以点B为顶点作 DBF=30{*,BF交AC于点F,过点P作PE | BF,垂足为 点E. :在Rt△PBE中, PBE-30”,PE-PB, 学习笔记 第四专题 。句 与线段和、差最值有关的辅助线作法 小,即AE的长 “.AB-2, $BD=2+^22,B0=,BF-OB cos 300= #22# 1 3 3 #2#) BO·AF 6+2 .AE- BF 2/6 2 3 '.AP+BP+CP的最小值为2AE=6士② 9.如图,在平面直角坐标系中,二次函数v一x^- 2x+c的图象与x轴交于A、C两点,与v轴交于点B(0 一3).若P是x轴上一个动点,点D(0,1)在v轴上,连接 PD.求②PD士PC的最小值 【解析】解:·点B坐标为(0,一3). ..代入二次函数y-x2-2x十c,可得c=-3. '.二次函数的解析式为y-x2-2x-3. .当=0时,x-2x-3-0,解得x=-1,x-3 ..点A坐标为(-1,0),点C坐标为(3,0) .OB-OC, 学习笔记 ..OCB-/OBC-45*. 如图,过点P作PH BC,在Rt△PHC中 初中数学重难点问题一点通 .'sin 45*- PH PC' “$V2 PD+PC=>(P+ P), ·/②PD+PC=②(PD+PH), .当P、D、H三点共线且DHIBC时,PD+PH最 小,即为DH. 在Rt△DBH中,'' DBH=45* .HDB-45*, .点D(0.1)、点B(0.-3). .DB-4. *DH-sin45*·DB-2/② '②PD+PC-②DH=②x2②=4.即为最小值$ 学习笔记