类型2 造桥选址(讲册)-初中数学一点通之几何

●00e 第四专题与线段和、差最值有关的辅助线作法凸 【解析】解：，MN垂直平分AC, ∴.MA=MC .'CAmC=BM+MC+BC=20,BM+MA=AB=12, ∴.BC=20-12=8. 如图，在MN上取点P,连接PA,PB,PC M P ,MN垂直平分AC, .PA=PC, ∴.PA-PB=PC-PB 在△PBC中，PC-PB<BC, ∴.当P、B、C三点共线，即点P在P'位置时，PC一PB 有最大值， 此时PC-P'B=BC=8,即PA一PB的最大值是8. 区类型二造桥选址 01 方法技巧 “造桥选址”问题原意是指两个村庄A,B之间有一条 河阻碍了两个村庄之间的交通，要求我们修建一座桥（与 河岸垂直)，使从村庄A到B(或B到A)的总路程最小.人 学习笔记 们把这个实际问题转化为数学模型即为“造桥选址”问题， 它相当于“将军饮马”问题的加强版.我们通过平移与对称 35 初中数学重难点问题一点通 参参香香色 的变换，可以将其转化为“将军饮马”，具体几种类型的辅 助线作法如下， 问题 作法 图形 原理 将点A向下平移 两点之间线段 B 得到A',使AA'= 最短 MN,连接A'B交 A 直线c∥d,在c, M AM+MN+ d上分别作点M, d于点N,过点N BN的最小值 N,使MN⊥c且 作NM⊥c,垂足为 为A'B+MN AM+MN +BN 点M 的值最小 将点A向右平移 a个单位长度得 B 两点之间线段 A',作A'关于I的 最短 在直线1上作两 对称点A",连接 AM+MN+ 点M、N,使MN= A"B交直线1于点 M N BW的最小值 a且AM+MN+ N,将点N向左平 为A"B+MN NB的值最小 移a个单位长度 得M 要点诊释： 1.两条平行直线间的距离是指某一直线上的一点到 另一条直线所作的垂线段的长 2.平行线间的距离处处相等. 02 精题精讲 学习笔记 例4.如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角 线BD上的两个动点，且EF=√2，连接AE、AF,求AE十 AF的最小值， 36 ●0色●0 第四专题与线段和、差最值有关的辅助线作法凸 【解析】解：如图，作AH∥BD,使AH=√2，连接CH 交BD于点F,作点E使EF=√2，连接AE、AF、AC. H ,AH=EF,AH∥EF, .四边形EFHA是平行四边形， .'EA=FH. 四边形ABCD是正方形，BD是对称轴， ∴.FA=FC, ∴.AE+AF=FH+CF=CH. 四边形ABCD是正方形， ∴.AC⊥BD. .AH∥BD, .AC⊥AH, .∠CAH=90° 在Rt△ABC中，AC=√32+32=32， 在Rt△CAH中，CH=√(32)2+(2)2=2√5， ∴.AE+AF的最小值为25. 学习笔记 @5.如图，已知A(0,2),B(6,4),E(a,0),F(a十 1,0),当四边形ABFE的周长最小时，求a的值. 初中数学重难点问题一点通 香色传香每 【解析】解：如图，将点B(6,4)向左平移1个单位长度 至B1(5,4),作B1关于x轴的对称点B2(5,一4)，连接 AB2交x轴于点E,取EF-1,连接AB、BF、OB2 .BB LEF, ,四边形B1EFB是平行四边形， ..BF=BE=B2E, ,当AE+BF=AB2时四边形ABFE的周长最小. 在△AOB2中，根据S△MOB,=S△AOE十S△0B' 可得2×2X5=2×0E×2+号×0E×4, 解得0E=号，即a-号 例6.如图，∠A0B=30°，0C=5,0D=12,点E、F 分别是射线OA、OB上的动点，求CF+EF+DE的最 小值. 学习笔记 38 ●000色 第四专题与线段和、差最值有关的辅助线作法凸 【解析】解：如图，作点C关于OB的对称点C',点D 关于OA的对称点D',连接CD' .CF+EF+DE=CF+EF+D'E, ∴.当C'、F、E、D'四点共线时，CF+EF+DE=C'D 最短。 根据轴对称图形的性质和勾股定理， .∠D'OC=3∠AOB=90°，OD'=12,OC'=5, ∴.CD'=√122+52=13， 即CF+EF十DE的最小值为13. 区类型三 胡不归 O1方法技巧 “胡不归”是一个经典的最值问题.话说，从前有一小 伙子外出务工，某天他不幸得知老父亲病危，便立即赶路 回家.小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短” 的知识，就走了布满砂石的直线路径，而忽视了走折线虽 然路程多但速度快的实际情况.当他赶到家时，老人刚咽 了气，小伙子追悔莫及，失声痛哭，邻居告诉小伙子，老人 弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归…” 这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上的 时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线 呢？这就是“胡不归”问题. 学习笔记 如图，A是出发点，B是目的地，AC是一条驿道，而 驿道靠目的地一侧全是砂土.为了选择合适的路线，根据 39