类型1 将军饮马(讲册)-初中数学一点通之几何

初中数学重难点问题一点通 5●s●● 第四专题 与线段和、差最值有关的 辅助线作法 学习目标〈◆ ①“将军饮马”构造轴对称求最值. ②“造桥选址”作平移求最值 ③“胡不归”作垂线求最值 类型梳理〈◆ 区类型一 将军饮马 01 方法技巧 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人 李颀《古从军行》里的一句诗.由此引申出的一系列非常有 趣的数学问题称为“将军饮马”问题.解决此类问题的方法 是通过轴对称“化折为直”，把两条线段的和或差转化为一 条线段的长，利用两点之间线段最短的性质解决和、差最 值问题，具体包括以下几种类型的辅助线作法： 问题 作法 图形 原理 PA十PB的最 B 小值为AB的 连接AB 学习笔记 在1上找一点P, B 长度，两点之 使PA十PB最小 间线段最短 30 ●●非●● 第四专题 与线段和、差最值有关的铺助线作法凸 (续表) 问题 作法 图形 原理 作点A关于直线 4 AP+BP的 1的对称点A',连 最小值为AB 在1上找一点 接A'B,A'B与直 的长度，两点 P,使AP+BP 线1的交点即为 之间线段最短 最小 点P P 分别作点P关于 PM+MN+ P 两直线的对称点 PN的最小 在直线11、12上 P、p,连接Pp 值为p'p的 分别作点M、N, P'p与两直线的 长度，两点之 使△PMN的周 交点即为点M,N 间线段最短 长最小 h 分别作点P关于 PO+PM+ 直线1的对称点 .0 MN+NQ的 P',点Q关于直 在直线11、1：上 最小值为 线12的对称点 分别作点M、N, PQ+PQ'的 Q',连接PQ', 使四边形PMNQ 长度，两点之 PQ与两直线的 的周长最小 间线段最短 交点即为点M、N P PC+CD的 04 过点P作OB的 最小值为PD 点P是∠AOB 垂线，垂线与OA P 的长度，点P 外的一点，在 的交点为点C,垂 D 到OB的线 OA上作一点 0 足为点D 段中，垂线段 C,在OB上作 最短 学习笔记 点D,使PC+ CD最小 初中数学重难点问题一点通 每●s●● (续表) 问题 作法 图形 原理 作点P关于OB P PD+CD的最 的对称点P',过点 点P是∠AOB 小值为P'C的 P作OA的垂线， 内的一点，在OB 长度.点P到 垂线与OB的交 0 B 上作一点D,在 OA的线段中， 点为点D,垂足为 OA上作一点C, 垂线段最短 点C 使PD+CD最小 AP一BP|的 连接BA并延长， 最大值为AB 在1上找一点P, 与直线1的交点 的长度，三角 使IAP一BP 即为点P 形任意两边之 最大 差小于第三边 作点B关于直线 AP-BP|的 I的对称点B',连 B 最大值为AB B 接AB并延长，直 的长度，三角 在1上找一点P, 线AB与直线I B 形任意两边之 使|AP一BP最大 的交点即为点P 差小于第三边 B PA-PB|的 连接AB,作AB 最小值为0，垂 的中垂线，中垂线 在1上找一点P, 直平分线上的 与1的交点即为 使IPA-PB 点与线段两端 点P 最小 点距离相等 学习笔记 要点涂释： 1.对称轴的性质：如果两个图形关于某条直线对称， 那么对称轴是对称点连线的垂直平分线， 初中数学重难点问题一点通 每●每●● PA=PA' ∴.PA十PB=BA'时距离和最小. 在Rt△A'AB中，，AA'=2h=4,AB=4, ∴.A'B=4+4=4√2 故选D @2.如图，∠AOB=30,点P为∠AOB内一点， OP=8.若点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的 最小值。 【解析】解：如图，分别作点P关于OA、OB的对称点 P1、P2,连接P1P:交OA于点M,交OB于点N,连接 OP1、OP2. 由轴对称图形的性质可得OP1=OP=OP2,∠P1OA= ∠POA,∠POB=∠P2OB,MP=P1M,PN=P2N, .△PMN周长的最小值为PP. ∠P1OP2=2∠AOB=60°，OP1=OP2, .△OPP2是等边三角形， .PP2=OP=OP2=OP-8, 即△PMN周长的最小值为8. 学习笔记 例3.如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分 线交AC于点N,交AB于点M,AB=12,△BMC的周长 是20，若点P在直线MN上，求PA-PB的最大值 34 ●●非●● 第四专题与线段和、差最值有关的辅助线作法凸 【解析】解：.'MN垂直平分AC, ∴.MA=MC .'CAmK =BM+MC+BC=20.BM+MA=AB=12, ..BC=20-12=8. 如图，在MN上取点P,连接PA,PB,PC. ,MN垂直平分AC, .'.PA=PC, ∴.PA-PB=PC-PB ·在△PBC中，PC-PB<BC, ∴.当P、B、C三点共线，即点P在P'位置时，PC一PB 有最大值， 此时P'C一P'B=BC=8,即PA一PB的最大值是8. 区类型二造桥选址 01) 方法技巧 “造桥选址”问题原意是指两个村庄A,B之间有一条 河阻碍了两个村庄之间的交通，要求我们修建一座桥（与 河岸垂直)，使从村庄A到B(或B到A)的总路程最小.人 学习笔记 们把这个实际问题转化为数学模型即为“造桥选址”问题， 它相当于“将军饮马”问题的加强版.我们通过平移与对称 35