类型2 截取等线段构造全等三角形(讲册)-初中数学一点通之几何

●年●。 第二专题与角平分线有关的辅助线作法凸 点F是△ABC的两条角平分线的交点， ∴BF也是角平分线 ,FM⊥AB,FN⊥BC, ∴.MF=FN,∠DNF=∠EMF=90. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°， .∠BAC=30°， ∠DAC=2∠BAC=15, .∠CDA=75° .'∠NFC=45°，∠MFN=120° ∴.∠MFE=180°-∠NFC-∠MFN=15°， ∴.∠MEF=75°=∠NDF 在△DNF和△EMF中， ∠NDF=∠MEF, ∠DNF=∠EMF, NF=MF. .△DNF≌△EMF(AAS), ..FE=FD. 区类型二截取等长线段构造全等三角形 O①方法技巧 以角平分线为轴，将图形对折，在角平分线两侧构造 全等三角形，使已知条件与结论发生关系出现新的条件， 如图，BD是∠ABC的角平分线，如取BF=BE,并连 接DF,则有△EBD≌△FBD 学习笔记 13 初中数学重难点问题一点通 5●s●● 要点途释： 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对 称轴。 2.轴对称图形的特征：对称轴两边的部分沿对称轴折 叠后能完全重合，即对应的角相等，对应的线段相等 02 精题精讲 @3.如图，AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分 ∠BCD,点E在AD上.求证：BC=AB十CD. 【解析】证明：如图，在BC上截取BF=AB,连接EF. 在△ABE和△FBE中， AB=FB. ∠ABE=∠FBE, BE=BE, .△ABE≌△FBE, ∴.∠BEF=∠BEA. ,'∠EFC=∠EBF+∠BEF,∠EBF=∠EBA, ∴.∠EFC=∠EBA+∠BEA=18O°-∠BAE. ,AB∥CD, 学习笔记 .∠EDC+∠BAE=180°， ∠EDC=180°-∠BAE, '.∠EDC=∠EFC. ●年●。 第二专题与角平分线有关的辅助线作法凸 在△ECF和△ECD中， ∠EDC=∠EFC, ∠ECF=∠ECD, EC=EC, ∴.△ECF≌△ECD, ..FC=CD, ∴.BC=BF+FC=AB+CD. @4.如图，AD为△ABC的中线，DE、DF分别是 ∠ADB和∠ADC的角平分线.求证：BE十CF>EF. 【解析证明：，AD为△ABC的中线， .BD=CD. 如图，在AD上截取DN=DB=DC. ,'DE,DF分别为∠ADB,∠ADC的角平分线. ∴.∠1=∠2，∠3=∠4. 在△BDE和△NDE中， DN=DB. ∠1=∠2， DE=DE, ∴.△BDE≌△NDE(SAS). 学习笔记 ,∴.BE=NE 在△DCF和△DNF中， 15 初中数学重难点问题一点通 每●s●● DN=DC. ∠3=∠4， DF=DF. .△DCF2△DNF(SAS), ..CF=NF. ,在△EFN中，NE+NF>EF, .'BE+CF>EF. 区类型三延长垂线构造全等三角形 01 方法技巧 在角的内部，角平分线与一条线段垂直，可延长这条 线段与角的边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的 “三线合一”性质证题. 如图，BD是∠ABC的角平分线，E是AB上的一点， ED⊥BD,延长ED,交BC于点F,可知△EBF是等腰三 角形. 要点诊释： 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的 高相互重合 02 精题精讲 @5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, 学习笔记 ∠ABC的角平分线交AC于点E,AD⊥BE,垂足为点D. 求证：AD-2BE. 16