类型1 构造中线(讲册)-初中数学一点通之几何

●0●●0 第一专题与中点有关的辅助线作法凸 第一专题 与中点有关的辅助线作法 学习目标〈◆ ①利用等腰三角形底边上的中点或直角三角形斜边上的 中点构造中线， ②利用倍长中线法构造全等三角形或平行四边形. ③利用多个中点构造中位线， 类型梳理 区类型一构造中线 01方法技巧 1.等腰三角形底边上的中点.已知等腰三角形底边的 中点，可以考虑将其与顶点连接，用“三线合一” 如图，等腰三角形ABC中，M是底边BC的中点，连 接AM后，可得AM⊥BC,BM=CM,∠BAM=∠CAM. A-A 要点诊释 三线合一是指等腰三角形顶角的角平分线与底边上 的中线、底边上的高相互重合 学习笔记 2.直角三角形斜边上的中点.已知直角三角形斜边的 中点，可以考虑构造斜边中线，目的是得到三条相等的线 初中数学重难点问题一点通 参色香香通 段和两对等角 如图，直角三角形ABC中，D是斜边AC的中点，连 接BD后，可得AD=CD=BD=号AC,∠DBC=∠DCB, ∠DBA=∠DAB. 要点论释： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 02 精题精讲 ”票年中年中票票一产=”票” 例1.如图，点P是等腰直角三角形ABC底边BC上 一点，过点P作BA、AC的垂线，垂足分别为点E、F,设点 D为BC的中点.求证：△DEF是等腰直角三角形. 【解析】证明：如图，连接AD ,△ABC是等腰直角三角形， .∠B=∠C=45°. ,D是BC的中点， 学习笔记 ∴.∠DAB=∠DAC=45°（三线合一），AD=BD= DC. ,PE⊥AB,PF⊥AC 02 ●0000 第一专题与中点有关的辅助线作法凸 ∴.∠PEA=∠EAF=∠AFP=90°， .四边形AEPF是矩形， .'PE=AF. .∠PEA=90°，∠B=45°， ∴.∠BPE=∠B=45°， .BE=PE=AF. 在△BDE和△ADF中， BD=AD, ∠B=∠DAF, BE=AF, .△DBE≌DAF(SAS), ∴.DE=DF,∠BDE=∠ADF, ∴.∠BDA=∠EDF=90°， ∴.△DEF是等腰直角三角形， 例2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,P是BC 上的点，求证：PA2=AB2一PBX PC. 【解析证明：如图，过点A作BC的高AD 由勾股定理得AB2一PA2 =(BD2+AD2)-(PD2+AD2) =BD2-PD2 学习笔记 =(BD+PD)(BD-PD) =PB(BD十PD), 03 初中数学重难点问题一点通 香色传香每 ,AB=AC,AD⊥BC, .'BD=DC, ..BD+PD=DC+PD=PC, ∴.AB2-PA2=PBX PC, ..PA2=AB2-PBX PC. 例3.如图，钝角三角形ABC中，CD,BE分别是 AB,AC边上的高，M,N分别是线段BC,DE的中点.求 证：MN⊥DE. 【解析】证明：如图，连接DM,ME. ,CD,BE分别是AB,AC边上的高，M是BC的 中点， DM=号BC,ME=BC, :DM=ME. 又，N为DE的中点， .MN⊥DE. 例4.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，CF是 AB边上的中线，且DC=BF,DE⊥CF于E.求证：CE=EF. 学习笔记 【解析】证明：如图，连接DF. 04 ●0●e 第一专题与中点有关的辅助线作法凸 'AD是BC边上的高，CF是AB边上的中线， :.DF-BF-2AB. .DC=BF, .DC=DF. ,DE⊥CF, ∴.E是CF的中点，即CE=EF 区类型二构造全等三角形、平行四边形 01方法技巧 利用倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全 等三角形或平行四边形 如图1，D是BC的中点，将中线AD延长至E,使 AD=DE,连接BE,可得△ADC≌△EDB,再连接EC,可 得四边形ABEC是平行四边形.， 如图2，D是BC的中点，延长ED至F,使ED=FD, 连接CF,可得△EDB≌△FDC. D 要点诊释： 学习笔记 有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形 后，还需再证一次全等三角形，即“二次全等” 05