精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年八年级下学期学科素养（一）数学试题

2024－2025学年度第二学期八年级学科素养（一） 数学科试题 （考试时间100分钟，满分120分） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A中，是最简二次根式，故选项符合题意； B中，，被开方数含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故选项不符合题意； C中，被开方数含分母，故不是最简二次根式，故选项不符合题意； D中，被开方数是小数，故不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，分母有理化，二次根式的加法计算，理解运算法则是解答关键． 利用分母有理化来判定A，利用同类根式的定义来判定B，利用二次根式的除法来计算求解C，利用二次根式的乘法来计算求解D． 【详解】解：A．，此项计算错误，故此项不符合题意； B． 与不同类根式，不能进行加法计算，故此项不符合题意； C．，此项计算错误，故此项不符合题意； D．，此项计算正确，故此项符合题意． 故选：D． 3. 若二次根式有意义，则x的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据二次根式有意义求出的取值范围，然后判断即可．熟知被开方数为非负数是解题的关键． 【详解】解：若二次根式有意义， 则， 解得， 所以的值不可能是， 故选：A． 4. 若点、在直线图像上，则（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据可知将随的增大而减小，根据函数的增减性和已知条件即可得出结论．解题的关键是根据函数增减性确定自变量大小． 【详解】解：， 将随的增大而减小， ， ． 故选：A． 5. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度为（　　） A. 5m B. 7m C. 8m D. 9m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为，由题意和勾股定理，得：， ∴木杆折断之前的高度为； 故选C． 6. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得，，，根据角平分线的性质，则，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，是的中位线，作的垂直平分线与交于点，连接，则四边形的形状一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定； 根据三角形中位线定理可得，，由已知可得，然后根据平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵的垂直平分线与交于点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选：A． 8. 如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 9. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（ ） A. 60 B. 75 C. 30 D. 78 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明这块沙田是直角三角形，从而得出直角边为5，12，斜边为13，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为5，12，13， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形， 直角边为5，12，斜边为13， ∴这块沙田的面积为 故选：C． 10. 如图，第14届国际数学教育大会会标来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，根据题意可得，，设，则，，利用勾股定理求出 ，据此可得答案． 【详解】解：由全等三角形的性质可得， 由正方形的性质可得， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将点的坐标代入求得的值，观察图像，直接写出直线在直线y的下方对应的自变量范围即可． 【详解】解：过点， ， 解得， ， 的解集为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题及不等式，求得交点坐标，数形结合是解决此题的关键． 12. 两人分别骑自行车、摩托车沿相同路线，先后由地抵达地，、两地相距．请结合图象判断下列结论，其中错误的是（ ） A. 摩托车的平均速度是 B. 自行车比摩托车早出发2小时 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出一次函数解析式，借助函数图象来求解是解答关键．从函数图象可求出摩托车的速度，可判断A；从函数图象可知自行车比摩托车早出发两小时来求解，可判断B；先求出摩托车的解析式和自行车的解析式，再求出它们的交点横坐标即可求解，可判断C、D． 【详解】解：A．由图象可知，摩托车的速度是，故此项不符合题意； B．由图像可知，自行车比摩托车早出发2小时，故此项不符合题意； C．设摩托车的解析式为， 将点和代入得， 解得， 设自行车的解析式为， 将点代入得， 所以自知行车的解析式为， 由题意可知，当摩托车与自行车相遇时：， 解得：， 则，故此项符合题意； D．由上可知，故此项正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 计算：__________，__________，＝__________． 【答案】 ①. ## ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，根据二次根式的性质化简二次根式即可；先计算算术平方根，再计算减法即可；先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加法即可． 【详解】解：；；． 故答案为：；；． 14. 计算：__________． __________． 分解因式：__________． 【答案】 ①. ## ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，单项式除以单项式和单项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以单项式的计算法则即可求出第一空的答案；根据单项式除以单项式的计算法则即可求出第二空的答案；先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可得到第三空答案． 【详解】解：； ； ； 故答案为：；；． 15. 如图，在中，，，，点D是边上一点，连接，在的左侧作等边，连接，则的值为______，周长的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得到的长，进而利用勾股定理可得的长；如图，取的中点H，连接，．证明，推出，过点A关于直线的对称点M，连接，当M、D、H三点共线时，有最小值为．根据含30度的直角三角形，勾股定理求解即可． 【详解】解；∵在中，，，， ∴， ∴； 如图，取的中点H，连接，，则． 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点A关于直线的对称点M，连接， ∴， ∵， ∴， 当M、D、H三点共线时，有最小值，最小值为的长， 过点H作，过点M作交于点K， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 此时的周长最小值为：， 故答案为：；． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等边三角形的性质与判定，含30度的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题（本大题满分75分） 16. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，分母有理化，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式去括号和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算二次根式除法和分母有理化，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，单项式乘以多项式的计算，分式的混合计算，数值相关计算法则是解题的关键． （1）先根据平方差公式，单项式乘以多项式计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解； ． 18. 如图，四边形是正方形， 和 都是直角，且 E，A，B三点共线，，求阴影部分的面积． 【答案】8 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质证明即可． 本题考查是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵和 都是直角， ∴， ， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； （2）当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元； （2）根据题意，可以得到利润与购进A种娃娃数量的函数关系，然后根据该商家计划用不超过元的资金购进A、B两种娃娃共个，可以求得购进A种娃娃数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得： 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则， 即． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 20. 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，正确分组分解得出是解题关键． （1）先将前三项进行完全平方公式因式分解，再进行平方差公式因式分解； （2）将原式进行分组和，然后利用平方差公式、提取公因式进行分解． 【小问1详解】 解 ； 【小问2详解】 解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下． 或 或 是等腰三角形或直角三角形． 21. 如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． （1）直接写出A、C的坐标； （2）写出直线的解析式； （3）若与的面积相等，求点E的坐标． 【答案】（1）、 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键． （1）根据，求解即可； （2）用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得： ∴ ∴． 22. 如图，在中，F是的中点，E是线段的延长线上一动点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，则在点E的运动过程中， ①当为何值时，四边形是菱形，说明理由． ②当为何值时，四边形是矩形，请直接写出结论． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是菱形，理由见解析；②当时，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关判定方法和性质是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）①根据菱形的性质，推出是等边三角形，即可得出结果；②根据四边形是矩形，推出，根据含30度角的直角三角形即可得出结果． 小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又，即， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：①当时，四边形是菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ②当时，四边形是矩形，理由如下： 当四边形是矩形时，． ∵， ∴． ∴． ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期八年级学科素养（一） 数学科试题 （考试时间100分钟，满分120分） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 若二次根式有意义，则x的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 2 4. 若点、在直线图像上，则（　　） A. B. C. D. 不能确定 5. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度为（　　） A. 5m B. 7m C. 8m D. 9m 6. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中位线，作的垂直平分线与交于点，连接，则四边形的形状一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8. 如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形面积分别为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（ ） A. 60 B. 75 C. 30 D. 78 10. 如图，第14届国际数学教育大会会标来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 12. 两人分别骑自行车、摩托车沿相同路线，先后由地抵达地，、两地相距．请结合图象判断下列结论，其中错误的是（ ） A. 摩托车的平均速度是 B. 自行车比摩托车早出发2小时 C. D. 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 计算：__________，__________，＝__________． 14. 计算：__________． __________． 分解因式：__________． 15. 如图，在中，，，，点D是边上一点，连接，在的左侧作等边，连接，则的值为______，周长的最小值为______． 三、解答题（本大题满分75分） 16. 计算 （1）； （2） 17. 计算 （1）； （2） 18. 如图，四边形是正方形， 和 都是直角，且 E，A，B三点共线，，求阴影部分的面积． 19. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 20. 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 21. 如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． （1）直接写出A、C的坐标； （2）写出直线解析式； （3）若与的面积相等，求点E的坐标． 22. 如图，在中，F是的中点，E是线段的延长线上一动点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接． （1）求证：四边形平行四边形． （2）若，则在点E的运动过程中， ①当为何值时，四边形是菱形，说明理由． ②当为何值时，四边形是矩形，请直接写出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$