第5专题 函数与几何综合(练册)-初中数学一点通之函数系列

第五专题 函数与几何综合 第五专题 函数与几何综台 (1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标 (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小?若存 在,求出此时P点坐标;若不存在,请说明理由 .翻 初中数学重难点问题一点通 。8。 2.如图,抛物线y一 (1)求点A、点B的坐标。 (2)若点P是x轴上任意一点,求证:PA一PB<AB (3)当PA一PB最大时,求点P的坐标。 第五专题 函数与几何综合 于点C(0,一2),连接AC.点P是x轴上的动点 (1)求抛物线的表达式 (2)过点P作x轴的垂线,交线段AC于点D,E为v轴上一点,连接AE、BE,当 AD一BE时,求AD士AE的最小值 ) 初中数学重难点问题一点通 。。8 4.如图,已知直线AB与抛物线y=ax{}十2x十c相交于点A(-1,0)和B(2,3)两点. (1)求抛物线函数表达式 (2)在抛物线的对称轴上是否存在定点F,使抛物线上任意一点P到点F的距离 等于到直线y一 7 第五专题 函数与几何综合 5.如图,已知抛物线v=ax②}十bx十5经过A(-5,0),B(-4,-3)两点,与x轴的 另一个交点为C. (1)求该抛物线的表达式 (2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为m.当点 P在直线BC的下方运动时,求入PBC的面积的最大值。 初中数学重难点问题一点通 。。8。 B(4,0)两点,交v轴于点C,点P是第四象限内抛物线上的一个动点。 (1)求二次函数的解析式 15 (2)如图甲,连接AC、PA、PC,若SpAc= (3)如图乙,过A、B、P三点作M,过点P作PE|x轴,垂足为D,交M于点 E.点P在运动过程中线段DE的长是否变化,若有变化,求出DE的取值范围 若不变,求DE的长 y V 甲 乙 第五专题 函数与几何综合 (点B在点A右侧),与v轴交于点C. (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标 (2)如图,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否 存在点P,使四边形PBOC的面积最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC 面积的最大值;若不存在,请说明理由 V& ,-3 初中数学重难点问题一点通 。。8 8.如图,抛物线y=ax{}十2x十c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左 侧,点B在原点的右侧),与v轴交于点C,OB=OC=3 (1)求该抛物线的函数解析式. (2)如图,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD、CD,OD交BC 于点F,当S。co:Sco=3:2时,求点D的坐标. 1 第五专题 函数与几何综合 9.如图,已知抛物线y一 3 x十3与x轴交于A、B两点(点A在点B左 侧),与v轴交于点C,点E的坐标为(2,0),将线段OE绕点O逆时针旋转得到 CE'的最小值 初中数学重难点问题一点通 。。 10.已知抛物线v=ax{}十bx十c(a:0)过点A(1,0)、B(3,0)两点,与v轴交于点 C,OC-3. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标 (2)过点A作AM BC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形 (3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求点 P的坐标. 求出这个最小值;若不存在,请说明理由香是卧香香 参考答案人 象上， ∴BC与对称轴的交点即为所求的点P, ∴.k=2X2=4, 此时PA十PC=BC, 反比例函数的解析式为y=; .四边形PAOC的周长最小值为OC+十 OA+BC, (2),AB=2OA,点E恰为AB的中点， A(1,0),B(4,0),C(0,3), ∴.OA=AE, 设直线BC解析式为y=kx十n, ,Rt△ABC中，∠ACB=90°， 4k+n=0, ∴.CE=AE=BE, 把B、C两点坐标代入可得 n=3, ∴.∠AOE=∠AEO,∠ECB=∠EBC, 3 k=- ,∠AEO=∠ECB+∠EBC=2∠EBC, 解得 4 ,BC∥x轴， n=3, ∴.∠EOD=∠ECB, ·直线BC的解析式为y=- 4x+3, ∴.∠AOE=2∠EOD, 2时，y= 5 ,∠AOD=45°， 当x= 4t+3=9 , ∴.∠E0D=15°. 故点P的坐标为（受，号》， 第五专题 函数与几何综合 1.【解析】解：(1)由抛物线表达式知，函数的对： 称输为一名， ,点A坐标为(1,0)， 根据点的对称性，B点横坐标：1+2×：2.【解析1(1)解：抛物线y=-x2-x+2与 (停--4， y轴交于点B,令x=0得y=2. .B点坐标为(0,2) ∴.点B的坐标为(4,0)： (2)存在.理由如下： y=- x+2=-（x+2+3 1 抛物线经过点A(1,0),B(4,0), .A点坐标为（一2,3） A、B两点关于对称轴对称， (2)证明：当点P是AB的延长线与x轴交 连接BC, 点时，PA一PB=AB. 初中数学重难点问题一点通 每●●●● 当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴： .当A、E、B三点共线时，BE十AE最小， 的交点时，在点P、A、B构成的三角形中， 最小值为AB的长， PA-PB<AB ∴.当AD=BE时，AD十AE的最小值为 综合上述：PA一PB≤AB AB=1-(-3)=4. (3)解：作直线AB交x轴于点P,由(2)可：4.【解析】(1)解：把点A(-1,0)和点B(2,3) 知：当PA一PB最大时，点P是所求的点. 代入抛物线， 作AH⊥OP,垂足为点H. a-2+c=0, a=-1, 可得 解得 BO⊥OP, 4a+4+c=3, c=3, .△BOP∽△AHP, 故抛物线解析式：y=一x2十2x十3. 船哪 (2)存在点F.理由如下： 由(1)知：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2, 当点P在抛物线顶点时， ∴.OP=4,故P点坐标为(4,0). 点P坐标为(1,4)， “点P到直线y号的距离为， 又：点P到点F的距离也为， ∴点F坐标为1，)或1，）， 3.【解析】解：(1)将A(一3,0)，C(0,一2)代入 若点F的坐标为1，》。 y=ax2+3x+c,可得 设点P的坐标为(m,n), 9a+4 2 ×(-3)+c=0, a= 解得 3 过P点作PQL直线y-子，垂足为Q,则 c=-2, c=-2, 一抛物线的表达式为y= 3x2+ 3t-2: PQ-n-,F=m-)+a-, ,点P在抛物线上， (2)令y= 4 3x2+号x-2=0, .n=-m8十2m+3=-(m-1)2十4， 解得x=-3或1， 即(m-1)2=4-n, 点B的坐标为(1,0)， 当AD=BE时，AD十AE=BE十AE, m-1)+(a- 42 香是卧色香 参考答案 =4-+a-7 .BC所在直线的解析式为y=x+1,B、C 两点水平距离为3. --T 设P点坐标为(m,m2十6m十5)， 则点Q(m,m十1)，则PQ=-m2-5m一4， 1 Sax=2×3X(-m2-5m-4) ∴.PF=PQ 若点F的坐标为1，）， (m+}+g 经检验PF≠PQ, 当m=- 5时，△PBC面积最大，最大值为 综上，当点F坐标为1，）时，点P在抛物 27 线任意位置均满足PF等于点P到直线y=: 的距离。 17 y=1 4 6.【解析]解：)：二次函数y=?x+bx+c 5.【解析】(1)：抛物线y=ax2+bx十5经过： 与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点， A(-5,0)、B(-4,-3)两点， 2-2b+c=0, b=-1, 可得 解得 25a-5b+5=0, a=1, 8+4b+c=0, c=-4, 可得 解得 16a-4b+5=-3, b=6, 二次函数解析式为y=名-一4 ∴.抛物线的表达式为y=x2+6x十5. (2)如图甲中，连接OP (2)取BC两点之间的水平距离为水平宽， 过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q,则 1 设P点坐标(m,2m2-m-4小， PQ即为铅垂高 由题意得A(一2,0)，C(0,一4)， ,C点在抛物线上， S△PaC=S△Aoc+S△ome-S△AoP, .C点坐标为(-1,0) B点坐标为（一4，一3）， -×2x4+×4×m×2× 43 初中数学重难点问题一点通 语后号最● (m+m+4, 2)(m- 0-(分m-m-4=2, 整理得，m2+2m-15=0, .DE=2, 解得m=3或-5（舍去）， ∴.点P在运动过程中线段DE的长是定值2. 点P坐标为，-）》 (3)结论：点P在运动过程中线段DE的长 是定值，DE-2. 理由：如图乙中，连接AM、PM、EM, :A(-2,0),B(4,0),且MA=MB, ∴.M点横坐标为1， b 7.【解析】(1)，抛物线的对称轴x=3= 可设M点坐标(1，t), 2a P点坐标(m,m-m-4小， 心 2 2a, E点坐标(m,n). 由题意A(一2,0)，AM=PM, ∴.a= AM=3+r,P=(m-1D+(m2 勒物线的解析式为y=一+ 2x+4」 m-4-)月， 当y=0时，即- +x+4=0, 即3+=(m-1+(号m2-m-4-)月 解得x1=一2，x2=8, 化简9+=(m-1)+[2(m+2(m一 ∴.点A坐标为（一2,0），点B坐标为(8,0) (2)存在点P使四边形PBOC的面积最大. 理由如下： ,点C坐标为(0,4)， 解得：t=1+子(m+2)(m-40, ∴.SAoc= 2×8×4=16, ,ME=PM,PE⊥AB, ntim-m- 设P点坐标为m,-子m+号m+4小， ,t= 2 B(8,0),C(0,4), =21-(合m-m-=21+子（m+ ·BC所在直线解析式为y= 2x+4, 色●卧鱼 参考答案 过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q, 与抛物线交点即为所求D点， 则Q点坐标为(m,一2m十4小， .OF:FD=OC:CE=32. E点坐标(0,5)，G点坐标(5,0)， 放PQ=m+2m+4-(m+ .直线EG解析式为y=一x十5， 、 4m2+2m ∴.与抛物线联立方程得一x2+2x十3=一x十 5,解得x=1或2， 1 =-4(m-4)+4, .点D坐标为(1,4)或(2,3). 当m=4时，PQ取到最大值4，此时△BPC 面积最大， Sa=2×P0x0B=号X8X4=16, ∴.Sw边形Pa0c=S△0c十S△℃=32， 即为四边形PBOC面积的最大值，此时P 点坐标为(4,6) 3 X=3 9.【解析】解：抛物线的解析式为y=一 2+ 9 x+3, .B(4,0),C(0,3), ,点E坐标为(2,0)， ∴点E运动迹为以原点O为圆心，2为半 8.【解析】(1)OB=OC=3, B点坐标为(3,0)，C点坐标(0,3)， 径的圆在第一象限内的一段圆弧 将B、C两点坐标代入抛物线解析式， 如图在y轴上取一点M0,) 0=9a+6+c, a=-1, 可得 解得 连接OE'、E'M、BM, 3=c, c=3, ∴.该抛物线解析式为y=一x2+2x+3. 则0E'=2,0C=3,0M= 3 (2),△COF和△CDF共高， OE'OM 2 .OF:DF=SACOF SACDE=3:2, 0C-0E3 在y轴上取点E(0,5), 又，∠E'OM=∠COE', 过点E作BC的平行线交x轴于G点，EG: '.△E'OM∽△COE', 初中数学重难点问题一点通 倍●号量● -号即EM=号cE, E'M 2 .AD=BD=√2， ∴.AM=MB=AD=BD, ·BE'+ 3 CE'=BE'+E'M, ∴.四边形ADBM为菱形， ∴.当B、E'、M三点共线时BE'十E'M值最： 又：∠AMB=90°， 小，即为BM长。 ,∴.四边形ADBM为正方形； (3)设直线BC解析式为y=mx十n(m≠ :BM=√OM+OB +4 0),将B(3,0),C(0,3)代人， 4√10 3m十n=0, m=一1， 3 可得 解得 n=3, n=3, ∴.当E'为BM与圆弧的交点时，BE'十 .直线BC的表达式为y=一x十3， 号cE有最小值为 过点P作y轴的平行线交BC于点H, 设点P(x,x2-4x+3), 则点H(x,一x+3), 则SA应三名OB·PH 一3，(-x+3-x2+4x-3) 10.【解析】解：(1)：抛物线y=ax2+bx十c: =引-》+贸 (a≠0)过点A(1,0)、B(3,0)两点， 当x=时，Sa有最大值，此时点P .函数表达式为y=a(x一1)(x-3)= ax2-4ax+3a,即3a=3, 坐标为（侵，-》 解得a=1, (4)存在. 故抛物线表达式为y=x2一4x十3， 理由如下：过点C作与y轴夹角为30°的直 则顶点D(2,一1)： 线CF交x轴于点F,过点A作AH⊥CH, (2)A(1,0),B(3,0),C(0,3), 垂足为H,交y轴于点Q, ..OA=1,0B=OC=3, 此时H0-号cQ, .∠OBC=∠OCB=45°， AM=MB=ABsin45°=√2， 则AQ+2QC最小值为AH, D(2,-1), ,在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FCO= 46 香是卧香香 参考答案 30°，OC=3,tan∠FC0= FO 2m-5,整理得at2+(4a+1)1=0, C0' 4a十1 .OF=5, 解得t1=0(舍去)，t2=一 a ∴.点F坐标为（一√3,0） .S△ABc= 2AB·CD= 8a+2 .在Rt△AHF中，∠AHF=90°，∠AFH= (3),△ABC面积为2， ∠CF0=60°，AF=OA+OF=1+√3， 8a+2 六AH=AF·sin∠AFH=3+ a 2,解得a=-1 2， 即AQ+2Qc最小值为3+3 ·抛物线的解析式为y= 5(x-m)+ 2 2m-5. 分三种情况考虑： ①当m>2m-2,即m<2时， H 有号2m-2-m)+2m-5=2 D 整理得m2-14m+39=0, 11.【解析】解：(1)，y=ax2一2amx十am2十 解得：m1=7一√10（舍去）， 2m-5=a(x-m)2+2m-5, m2=7十√10（舍去）： ∴.抛物线的顶点坐标为(m,2m一5) ②当2m-5≤m≤2m-2, (2)过点C作直线AB的垂线，交线段AB: 即2≤m≤5时， 的延长线于点D, ,AB∥x轴，且AB=4, 有2m-5=2,解得：m=2 ∴.点B的坐标(m十2,4a十2m-5). ③当m<2m-5,即m>5时， ,'∠ABC=135°， 有- 5(2m-5-m)2+2m-5=2, .设BD=t,则CD=t, ∴.点C的坐标为(m十2+t,4a+2m一 整理得m2-20m十60=0， 5-1). 解得：m3=10-210(舍去)， :点C在抛物线y=a(x-m)2+2m- m,=10+2√10. 5上， .4a+2m-5-t=a(m+2+t-m)2+ 综上所述：m的值为号或10+2,0。 初中数学重难点问题一点通 ●●号●● ∴.AC所在直线的解析式为y=x一4， 设C1H所在直线的解析式y=mx+n, D 又，C1H⊥AC, .k·m=-1,即m=-1, :C1坐标为(2，一4)， 12.【解析】解：(1)设抛物线的解析式为y= .C,H所在直线的解析式y=一x一2， ax2+bx+c, .H点横坐标为：x一4=一x一2， ,抛物线过点A(4,0)、B(一2,0)、C(0,一4)， 解得x=1,纵坐标为y=一3， 1 16a十4b+c=0, a= 21 即H点坐标为(1，一3)， ∴.可得4a一2b+c=0,解得 b=-1, ∴.HC1=/+1下=√2，HA=√32+3 c=-4, c=-4, 3√2， 港物线的解析式为y=名-一4： ∴.tan∠CAC,= HC11 HA3' (2):抛物线y=2x-x一4的对称轴为 ,∠PAB=∠CAC1, x=1, tan∠PAB=g、 ∴.C1坐标为(2，-4)， 过点C1作CH⊥AC交AC于H点， 故直线PA系数k一号 即k士号 0当a一弓时， 设PA解析式为y= 3x+b, 设AC所在直线的解析式为y=kx十b, 将A.0)代人，得y=宁x-台 4 将点A(4,0),C(0,一4)代入解析式， 联立方程子-x一4 3x-3 4k十b=0, 可得 b=-4, 解得=4名=一膏 k=1, 解得 b=-4, 故P,坐标为子 48 香是卧香香 参考答案 ②当kA=一2时， (3)存在，理由如下，分两种情况讨论： 3 ①当点B在x轴上方时， 设PA解析式为y=一3x十b: 1 过点A作AE⊥x轴，垂足为点E, 过点B作BH⊥AE,垂足为点H, 3t+4 将A,0)代人，得y=- 3 作∠HAB的角平分线交BH于点M, 联立方程-一4= 4 3+ 过点M作MN⊥AB,垂足为点N, 3 过点B作BK⊥x轴，垂足为点K, 解得：x1=4,x2= 8 3 已知点A(1,2)、点B(2,k+2), 故P:坐标为(，) 则AH=-k,HB=1, 设：HM=MN=m, 综上，P点横坐标为-专或- 则BM=1一m, 3 则AN=AH=一k,AB=√k+1, NB=AB-AN=√Jk+1+k, 由勾股定理得：MB=MN+NB2, 即(1-m)2=m2+(/k+1+k)2, 解得：m=一k2一k√R+1, 13.【解析】解：(1)将二次函数与一次函数联立： 在△AHM中，tan∠HAM=HI=m 得：k(x-1)2+2=kx-k+2, 解得x=1和2， k+√k+1, 故点A、B的横坐标分别为1和2； 在△BEC中，tan∠BEC= BK EK =k+2, (2)由题意得A点坐标(1,2)，B点坐标： 当∠HAM=∠BEC时， (2,k+2), 即∠ODC=2∠BEC, 则OA=√2+1平=√5， 解得k=士√3， ①当OA=AB时，即：1+k2=5, 此时k十2>0，则一2<k<0,故舍去正值， 解得：k=土2（舍去2）； 故k=一√5； ②当OA=OB时，即：4+(k+2)2=5, ②当点B在x轴下方时，同理可得： 解得：k=一1或-3； 故k的值为一1或-2或-3； 在△AHM中，tan∠HAM==m AH-k- 49 初中数学重难点问题一点通 每●号量● k+√k+1, ∴.∠POQ=∠OPQ, BK ∴.PQ=0Q, 在△BEC中，tan∠BEC= EK =-(k+2), 设OD解析式为y=kx, 当∠HAM=∠BEC时， 即∠ODC=2∠BEC, 将D(3,4)代入，得k= 3 解得k=一4土7 3， :.OD的解析式为y=3x, 4 此时k+2<0,则k<一2， 设点P横坐标为t,则P(t,一12+3t十4)， 放含去4付万放k4, 3 Q(,号)E(1,0, 3 综上，k的值为-或47 3 0-+3+4-=-++4, 号=-+号+4 解得t1=2,t2=-2(舍去)， 1=2, ∴.-t2+3t+4=6, H- M. 点P的坐标为(2,6)： 8)存在，P3,4该P-)· 14.【解析】解：(1)：点B(4,0),点D(3,4)在： 将△AOC顺时针方向旋转90°至△A'OB, 抛物线y=一x2十bx+c上， 如图2所示， -16+4b+c=0, (b=3, 可得 解得 则A'O=AO=1,∠ACO=∠A'BO, 9+3b+c=4, c=4, .A'(0,1), ∴.该抛物线解析式为y=一x2+3x十4； 由题意知直线BP过点A', (2)作PE∥y轴，交OD于点Q,交x轴于 设直线BP的解析式为y=mx十n, 点E,如图1所示： 将B(4,0),A'(0,1)代入解析式， PE∥y轴， 1 .∠OPQ=∠POC, n=1, m=- 可得 解得 4 ,OP平分∠COD, 4m十n=0, n=1, ∴.∠POC=∠POQ, 1 又.∠POC=∠OPQ, ,直线BP的解析式为y=一 4x+1, 50