临考押题卷01-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（四川成都专用）

临考押题卷01（成都专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题：（本大题共8题，每题4分，共32分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．3和 B．3和 C．和 D．3和 2．2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，打破了好莱坞电影的垄断地位，展示了中华传统文化的魅力．影片截至2025年3月2日票房达到144.17亿元，数据144.17亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图中是中心对称图形的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．以上说法都不对 5．如图是一种少数民族刺绣“双正方形”图案，里面小正方形的四个顶点分别在外面大正方形各边的中点上，如果一个小球在该图案上自由滚动，停留在图案上每一个位置是随机的，那么小球停留在四个角上的三角形区域的概率约为（    ） A． B． C． D． 6．如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 8．如图，△ABC与△ADE是两个全等的等腰直角三角形，其中，点、、在同一条直线上，与相交于点，则以下判断错误的是（   ） A． B．为等边三角形 C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式： 10．若点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为 ． 11．代数式与代数的值相等，则 ． 12．已知矩形，，，点是直线上一点，若，则 ． 13．如图，平行四边形，，，，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为，为中点，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰巧也为，则 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（本小题满分12分，每题6分）计算： (1) (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 15．（本小题满分8分）某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 选项 占调查人数的百分比 A B C D E 解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务． (1)本次一共调查了_____名学生，统计表中，______，_____； (2)请补全条形统计图； (3)若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数； (4)小军要从以上五个数学游戏中任意选两个，请用列表或画树状图的方法求小军恰好选中B和E的概率． 16．（本小题满分8分）宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”（图1），图2是其示意图．为转动点，，与水平线的夹角，，，当点绕点旋转下落到上时，线段，旋转到线段，位置，那么点在竖直方向上上升了多少？ 17．（本小题满分10分）如图，是的切线，切点为，是的弦．过点作，交于点，连接，过点作，交于点．连接并延长交于点，交过点的直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 18．（本小题满分10分）一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，若点为线段上一点，且，连接，求； (3)直线与的图象交于点，与的图象交于，若点在直线的下方，且满足，求的取值范围． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．实数x、y满足，，，则 ． 20．在△ABC中，，P是△ABC所在平面内一点，则的最小值是 ． 21．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ． 22．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之差的绝对值为奇数的取法种数进行了探究．发现：当时，仅有一种取法，即；当时，有两种取法，即；当时，可得；若，则的值为 ；若，则的值为 ． 23．如图，矩形的顶点坐标分别为，，．二次函数（其中m为常数）的图象在矩形内（不含边界）的部分均为y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（本小题满分8分）某企业安排70名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利140元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排人生产乙产品． (1)根据信息填表（要求写出化简后的结果） 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多500元，求每天安排多少人生产甲产品； (3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一种产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值． 25．（本小题满分10分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为抛物线上一点，点到直线的距离与到直线的距离相等，求点的坐标； (3)如图2，过作直线和直线，分别交抛物线于两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求的值． 26．（本小题满分12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临考押题卷01（成都专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题：（本大题共8题，每题4分，共32分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．3和 B．3和 C．和 D．3和 【答案】B 【分析】此题考查相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，根据定义判断即可． 【详解】解：A.3和不是相反数，故该项不符合题意； B.3和是相反数，故该项符合题意； C.和不是相反数，故该项不符合题意； D.3和，不是相反数，故该项不符合题意； 故选：B． 2．2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，打破了好莱坞电影的垄断地位，展示了中华传统文化的魅力．影片截至2025年3月2日票房达到144.17亿元，数据144.17亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：144.17亿， 故选：C． 3．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，单项式除以单项式和合并同类项，根据相关计算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图中是中心对称图形的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键； 从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，根据中心对称图形的定义，即可求解； 【详解】解：主视图如图所示， 不是中心对称图形； 左视图如图所示， 不是中心对称图形； 俯视图如图所示， 是中心对称图形． 故选：C 5．如图是一种少数民族刺绣“双正方形”图案，里面小正方形的四个顶点分别在外面大正方形各边的中点上，如果一个小球在该图案上自由滚动，停留在图案上每一个位置是随机的，那么小球停留在四个角上的三角形区域的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何概率，只需要求出三角形区域的面积占外面大正方形面积的比值即可得到答案． 【详解】解：设外面大正方形的边长为，则四个等腰直角三角形的边长为， ∵， ∴小球停留在四个角上的三角形区域的概率约为， 故选：D． 6．如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．由等边三角形的性质结合条件可证明，由相似三角形的性质可求得． 【详解】解：等边三角形的边长为7， ，， ， ， 又，且， ， ， ，即， ， 故选：D． 7．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 依题意得， 故选：A． 8．如图，△ABC与△ADE是两个全等的等腰直角三角形，其中，点、、在同一条直线上，与相交于点，则以下判断错误的是（   ） A． B．为等边三角形 C． D． 【答案】D 【分析】过点作，三线合一，结合斜边上的中线以及全等三角形的性质，得到，进而得到，求出，进而求出，推出，证明为等边三角形，求出，证明，推出，作作，设，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出长，求出，即可． 【详解】解：∵△ABC与△ADE是两个全等的等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点作， 则：， 在中，， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形，故选项B正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；故选项C正确，不符合题意； 作，设， ∵， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式： 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．先提取公因式，进而根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10．若点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，判断出反比例函数所在的象限，再判断函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴的图象过一，三象限， ∵点和点在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴； 故答案为：． 11．代数式与代数的值相等，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先根据题意列出方程，再解分式方程，再检验即可． 【详解】解：由题意得，， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：7． 12．已知矩形，，，点是直线上一点，若，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用． 分类讨论：当点P在边上，根据矩形的性质有，，，，得 ，得到；当点P在边的延长线上， 得，得到． 【详解】解： 此题有两种可能： （1）点P在线段上时.   ∵矩形中，，，点是直线上一点，， ∴， ∵， ∴； （2）点P在的延长线上时，， ∴． 综上，或 ． 故答案为：或1． 13．如图，平行四边形，，，，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为，为中点，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰巧也为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，其中涉及勾股定理与折叠问题以及解直角三角形相关，考查学生的综合应用能力，有一定难度．本题先连接，延长交于点，得出和，由勾股定理得出，同时过作,交于点，结合平行四边形的性质以及，列方程得出，进一步即可得出． 【详解】解：连接，延长交于点， 为中点， ， 沿翻折得到， ， ， 沿翻折得到，，， ， 在中，由勾股定理可得：， ，， ,, 过作,交于点， 四边形是平行四边形，， ， 在中，由勾股定理可得：， 设,由,可得，即， 在中，，则有， 由,可得，解得，即， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（本小题满分12分，每题6分）计算： (1) (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】(1)1 (2)-2≤x＜1， 【分析】本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的意义以及有理数的乘方计算即可得到结果； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出所有整数解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为-2≤x＜1， ∴不等式组的整数解有、、0． 15．（本小题满分8分）某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 选项 占调查人数的百分比 A B C D E 解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务． (1)本次一共调查了_____名学生，统计表中，______，_____； (2)请补全条形统计图； (3)若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数； (4)小军要从以上五个数学游戏中任意选两个，请用列表或画树状图的方法求小军恰好选中B和E的概率． 【答案】(1)400，7.5，15(2)见解析(3)估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数150人 (4)小军恰好选中B和E的概率为 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、统计表、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以表格中的百分比可得共调查的学生人数；用的人数除以共调查的学生人数再乘以可得，用1分别减去，，，的百分比可得，进而可得，的值． （2）分别求出，选项的人数，补全条形统计图即可． （3）根据用样本估计总体，用1000乘以，即可得出答案． （4）列表可得出所有等可能的结果数以及小军恰好选中和的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次一共调查了（名学生． ，， ，． 故答案为：400；7.5；15． （2）解：选项的人数为（人，选项的人数为（人， 补全条形统计图如图所示． ； （3）解：（人， 估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数约150人． （4）解：列表如下： 共有20种等可能的结果，其中小军恰好选中和的结果有：，，共2种， 小军恰好选中和的概率为． 16．（本小题满分8分）宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”（图1），图2是其示意图．为转动点，，与水平线的夹角，，，当点绕点旋转下落到上时，线段，旋转到线段，位置，那么点在竖直方向上上升了多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得． 【详解】解：设上升的高度为， 连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形， ， ，， ， 于点，， ， ， ， ， ， ． ，即， ， ， ． ，， ． 答：点在竖直方向上上升了． 17．（本小题满分10分）如图，是的切线，切点为，是的弦．过点作，交于点，连接，过点作，交于点．连接并延长交于点，交过点的直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（）过点作直径，连接，由圆周角定理得，根据平行线的性质得，进而可得，即得，即可求证； （）由切线的性质得，即得，得到，，进而由勾股定理得，设的半径为，则，，在中，利用勾股定理可得，得到，，由三角形中位线性质得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 过点作直径，连接，如图， ∵为直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴与相切； （2）解：是的切线，切点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 设的半径为，则，， 在中，， 即， 解得， ∴，， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 18．（本小题满分10分）一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，若点为线段上一点，且，连接，求； (3)直线与的图象交于点，与的图象交于，若点在直线的下方，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)(2)3(3)或 【分析】（1）将代入，求得，再代入即可求解； （2）连接，令与轴交于点，由函数解析式得，利用，而，则，即可求解； （3）令于轴交于点，得，结合勾股定理可得，即，利用数形结合，考虑点从下方往上运动，找到相应临界位置求得对应的值即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：， ∴， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）将代入，得，即， 连接，令与轴交于点， 由一次函数的表达式知，当时，即，可得， ∴， 则， ， 则； （3）令于轴交于点， 当时，，解得：，即， 当时，，即在直线上， ∵，，， ∴，即， 当点与点重合时，，此时与重合，代入，得， 当点在点下方时，显然，符合题意，此时； 当点在点与点之间时，显然，故不符合题意； 当点与点重合时，代入，得，此时不存在，故不符合题意； 当时，此时，但此时与无交点，故不符合题意； 由此可知，当时，与交点在上方，故不符合题意； 当时，与交点在下方，符合题意； 综上，点在直线的下方，且满足时，或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．实数x、y满足，，，则 ． 【答案】 【分析】先用两式相减计算，然后两式相加得到，再根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可解题． 本题考查因式分解、解一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：∵实数x、y满足，，， ∴，即 ∵ ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 20．在△ABC中，，P是△ABC所在平面内一点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中的最小值，勾股定理、配方法的应用等知识，过作于D，过作于，延长交于，延长交于，设，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于D，过作于，延长交于，延长交于， ∵，，， ∴四边形是矩形， 设， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴，时，的值最小，最小值为． 21．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接，可证，得到，，利用三角函数可得，即得，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点为切点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之差的绝对值为奇数的取法种数进行了探究．发现：当时，仅有一种取法，即；当时，有两种取法，即；当时，可得；若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由定义可得若，有六种取法，即可解答①；根据前几个值所对应的值，可得当为偶数时，，当为奇数时，，进而即可解答②，找到数字的变化寻找规律是解题的关键． 【详解】解：若，有六种取法，即， 故答案为：； ∵当时，仅有一种取法，即； 当时，有两种取法，即； 当时，有四种取法，即； 当，有六种取法，即， ， ∴当为偶数时，；当为奇数时，， ∴当时，， 故答案为：． 23．如图，矩形的顶点坐标分别为，，．二次函数（其中m为常数）的图象在矩形内（不含边界）的部分均为y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得抛物线开口方向及顶点坐标，再确定临界点，当抛物线对称轴与重合时求出m的值，当抛物线经过点D时，可得解集；然后求出抛物线经过点C，B时m的值，可得答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线顶点在抛物线上， 由题意得点D坐标为， 如图，当抛物线对称轴与重合时符合题意， 此时， 解得， 将点代入得， 解得， 时符合题意． 将点代入得， 解得， 将点代入得， 解得， ，符合题意， 综上所述，或 故答案为：或 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（本小题满分8分）某企业安排70名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利140元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排人生产乙产品． (1)根据信息填表（要求写出化简后的结果） 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多500元，求每天安排多少人生产甲产品； (3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一种产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值． 【答案】(1)，；(2)每天安排60人生产甲产品； (3)安排31人生产乙产品时，可获得的最大利润为3898元． 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用； （1）根据题意列代数式即可； （2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可； （3）先确定安排生产丙产品人数是生产甲产品人数的2倍，再根据每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，共生产甲产品件，生产丙产品的有人，共生产丙产品件，用表示总利润利用二次函数性质讨论最值． 【详解】（1）解：由已知，每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，共生产甲产品件．在乙每件140元获利的基础上，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，则乙产品的每件利润为元． 产品种类 每天（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 故答案为：，； （2）（2）解：由题意， ∴ 解得，，（不合题意，舍去）， ∴， 答：每天安排60人生产甲产品． （3）解：由题意得，安排生产丙产品人数是生产甲产品人数的2倍，每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，生产丙产品的有人， ∴当时，最大，但此时生产甲产品人数为：，不符合题意， 当时，此时生产甲产品人数为； 当时，，不符合题意； ∴当时，最大，此时生产甲产品的有13人． 答：安排31人生产乙产品时，可获得的最大利润为3898元． 25．（本小题满分10分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为抛物线上一点，点到直线的距离与到直线的距离相等，求点的坐标； (3)如图2，过作直线和直线，分别交抛物线于两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得； （2）过点作平分，交抛物线于点，交轴于点，根据角平分线的性质定理可得点即为所求，先求出点的坐标，证出，根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立，解方程组即可得； （3）先根据二次函数与直线只有唯一一个公共点可得，，再将点代入两条直线的解析式可得，，从而可得是方程的两个实数根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点作平分，交抛物线于点，交轴于点， ∴点到直线的距离与到直线的距离相等，即为所求， 由（1）已得：， 当时，，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（即为点）， ∴点的坐标为． （3）解：联立得：， ∵抛物线与直线只有唯一一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式，即， 同理可得：， ∵点在直线和直线上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是方程，即的两个实数根， ∴． 26．（本小题满分12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）   （2）  （3）或 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$