第8章 平面向量 单元知识梳理+综合检测-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

第8章 平面向量 单元综合讲义 一、平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)． (2)有向线段：指定了方向的线段。把表示向量的有向线段称为向量. (3)数量：仅仅有数值而没有方向的量称为数量，又称为“标量” (4)零向量：长度为0的向量，记作0． (5)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (6)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行． (7)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (8)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 温馨提示： 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 二、平面向量的数量积 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3．平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e. 4．数量投影 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 6．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ 温馨提示： 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b. (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 三、平面向量的基本定理与坐标运算 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 温馨提示： 1.线段的定比分点坐标公式： 若点，，为实数且≠-1，，则点的坐标为（），我们称为点P分所成的比； 2.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 平面向量 单元综合检测 一、填空题 1．化简向量运算： ． 2．若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 3．已知点，O为坐标原点，则与向量同方向的单位向量为 ． 4．已知向量，．若，则实数m= ． 5．已知向量，，则在的方向上的数量投影为 ． 6．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 7．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 8．已知平面向量的夹角为，则 9．如图，在中，D是BC的中点，，则= ． 10．如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位） 11．点是三角形内一点，若，则 . 12．已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为 . 二、单选题 13．若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 14．设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（    ）    A． B． C． D． 16．已知有两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中： ①有3个不同的值； ②若，则与无关； ③若，则与无关； ④若，，则与的夹角为. 正确的个数是 （  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 三、解答题 17．已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 18．已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 19．如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），，四边形的面积为． (1)求的最大值及此时的值； (2)设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值． 20．如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． (1)请用、表示和； (2)设，，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 21．对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 平面向量 单元综合检测 一、填空题 1．化简向量运算： ． 【答案】 【分析】根据向量加法的运算法则即可求解. 【解析】. 故答案为：. 2．若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 【答案】 【分析】利用向量运算法则进行求解即可. 【解析】，所以对应的位置向量的终点坐标是. 故答案为： 3．已知点，O为坐标原点，则与向量同方向的单位向量为 ． 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，再求出的坐标即可得解. 【解析】依题意，， 所以与同方向的单位向量为. 故答案为： 4．已知向量，．若，则实数m= ． 【答案】3 【分析】由向量垂直对应坐标形式的数量积为零，即可求解出的值. 【解析】因为，所以，解得. 故答案为： 5．已知向量，，则在的方向上的数量投影为 ． 【答案】/ 【分析】利用数量投影的定义可求答案. 【解析】向量，，在的方向上的数量投影为. 故答案为： 6．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 【答案】/ 【分析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 【解析】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 7．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可. 【解析】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 8．已知平面向量的夹角为，则 【答案】 【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案. 【解析】， 所以． 故答案为：. 9．如图，在中，D是BC的中点，，则= ． 【答案】1 【分析】由题可转化为求解. 【解析】因为D是BC的中点，，又， 所以. 故答案为：1. 10．如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位） 【答案】 【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案. 【解析】由题意知三力平衡得，化简得， 两边同平方得，即， 即，解得. 故答案为：. 11．点是三角形内一点，若，则 . 【答案】 【分析】设为的中点，由题意知为的重心，可得，同理，进而得出的值. 【解析】设为的中点，由题意知为的重心，则 ,所以， 同理.而， 故. 故答案为： 12．已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为 . 【答案】 【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可. 【解析】因为， 所以向量、、分别看作以为起点，以为终点， 且是边长为2的正三角形，为正三角形的中心，    又因为， 所以向量、、则是以为起点，正三角形各边中点为终点， 因为，当时，的值为， 故答案为：. 二、单选题 13．若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项． 【解析】对于A，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误； 对于B，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确； 对于D，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错误； 故选：C． 14．设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【解析】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 15．如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由平面向量的线性运算可得出关于的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于实数、的方程组，解之即可. 【解析】在中，为线段上靠近点的三等分点，则， 因为为线段上一点，设， 即，整理得 ， 又因为，、不共线， 所以，，解得. 故选：D. 16．已知有两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中： ①有3个不同的值； ②若，则与无关； ③若，则与无关； ④若，，则与的夹角为. 正确的个数是 （  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】排列出所有三种情况得到，根据向量的性质和运算依次判断每个选项得到答案. 【解析】可能有三个结果： ； ； ； ， 当且仅当时所有等号成立. 故，故③错误，①、②正确； 设与的夹角为， ，， ，④错误； 所以正确的个数为个. 故答案为：C 【点睛】本题利用了两类不等式，一个是基本不等式，（当时等号成立），一个是数量积有关的不等式：（原因是，同向时等号成立.） 三、解答题 17．已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据数量积的定义和坐标运算即可求得； （2）根据求得，再根据投影向量的定义即可求得. 【解析】（1）因为，则，，， 若与的夹角为，则由， 可得：，解的：或， 则实数的取值为或. （2），因为，则， 则，可得：，，， 则在方向上的投影向量为：. 18．已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，；；（2）. 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间； （2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的取值范围. 【解析】（1）因为 所以函数的最小正周期； 因为函数的单调增区间为，， 所以，， 解得，， 所以函数的单调增区间为，； （2）不等式有解，即； 因为，所以，又， 故当，即时， 取得最小值，且最小值为， 所以. 19．如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），，四边形的面积为． (1)求的最大值及此时的值； (2)设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)最大值是，此时. (2) 【分析】（1）根据三角函数定义可得点坐标，根据向量数量积可得，根据向量加法几何意义得四边形为平行四边形，可得求解析式，根据配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最大值以及对应自变量； （2）由三角函数定义可得的正切值，结合两角和的正切公式可得． 【解析】（1）由题意知的坐标分别为，． ， . 由题意可知. ，. 所以，故时， 的最大值是，此时. （2），， . . 20．如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． (1)请用、表示和； (2)设，，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出、关于的表达式； （2）由、、三点共线可设，根据向量线性运算求出、，即可求解； （3）由余弦定理可求出、，计算，利用基本不等式求最值即可. 【解析】（1）因为是中点，， 因为，则. （2）因为、、三点共线，故存在实数，使得， 即，整理得， 由（1）知，， 根据平面向量基本定理，则. （3）因为是边长为的等边三角形，故，， 在中，由余弦定理，， 在中，同法可得， 故， 由（2）知，得， 故， 由基本不等式，，， 当且仅当，即，时，取最小值， 故的取值范围是． 21．对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“长向量”的定义，列不等式，求的取值范围即可得； （2）由题意可得，亦可得，故只需使，计入计算即可得； （3）首先由，，均是向量组，，的“长向量”，变形得到，设,由条件列式，变形为，转化为求的最小值. 【解析】（1）由题意可得：，则，解得：； （2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下： 由题意可得， 若存在“长向量”，只需使， 又， 故只需使 ，即，即， 当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，； （3）由题意，得，，即， 即，同理， ， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由得：， 设，则依题意得：， 得， 故， ， 所以， ， 当且仅当时等号成立， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解“长向量”的定义，前两问均是利用定义解题，第三问注意转化关系，关键是转化为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$