第二章 平面向量及其应用（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

第二章平面向量及其应用章末测试卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）在中，已知，则角A的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 3．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川泸州·阶段练习）若，，与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·吉林·阶段练习）设和是互相垂直的单位向量，且，，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 6．（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，，D为所在平面内的动点，且，则最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则与的夹角为钝角 C．若为非零向量，则与同向 D．在等边三角形中，与的夹角为 10．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．已知为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是锐角 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，，则 B．若，则为钝角三角形 C．若是等边三角形，则，的夹角为 D．在中，若，则必是等腰直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量，写出一个在向量上的投影向量等于的向量的坐标 . 13．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知非零向量满足，则 . 14．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知向量. (1)若 ，求的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值； (3)求的最大值. 16．（15分）（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设. (1)用向量表示向量； (2)若，求. 17．（15分）（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求角； (2)已知，当取最小值时，求内切圆的半径． 18．（17分）（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 19．（17分）（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，. (1)若，的面积为，求； (2)若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章平面向量及其应用章末测试卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据基底的定义结合平面向量共线定理判断各个选项中两向量是否共线即可. 【详解】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意. 故选：C. 2．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）在中，已知，则角A的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得可得，可得， 由于，故或， 故选：B 3．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答. 【详解】因是钝角三角形，，且是最大边， 则由余弦定理得：， 于是得，，解得， 又有，即， 所以最大边的取值范围是：. 故选：D 4．（24-25高一下·四川泸州·阶段练习）若，，与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的定义求解即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以，故D正确. 故选：D 5．（24-25高一下·吉林·阶段练习）设和是互相垂直的单位向量，且，，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 6．（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算以及的坐标，根据向量平行的坐标运算公式代入计算可求出结果. 【详解】解：因为向量，所以， ， 若，则，即. 故选：B 7．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求得答案. 【详解】由，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：A 8．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，，D为所在平面内的动点，且，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得则，进一步可得，即，由直线外一点垂线段最短可知当垂直于时，取得最小值，利用余弦定理算出，解即可得的最小值. 【详解】因为，，则，故， 故，所以，所以当垂直于时，取得最小值. 在中，由余弦定理得， 在中，， 由直线外一点垂线段最短可知当垂直于时，取得最小值， 此时，即的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则与的夹角为钝角 C．若为非零向量，则与同向 D．在等边三角形中，与的夹角为 【答案】ACD 【分析】根据相等向量的定义即可判断A；举出反例即可判断B；根据的意义即可判断C；根据向量夹角的定义即可判断D. 【详解】对于A，由，得同向且模相等， 由，得同向且模相等， 所以同向且模相等，所以，故A正确； 对于B，若与的夹角为，则，故B错误； 对于C，表示与同向的单位向量，故C正确； 对于D，在等边三角形中，， 则与的夹角为，故D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．已知为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是锐角 【答案】BC 【分析】利用向量的运算法则可判断A，利用投影向量的求法可判断B，利用数量积的含义可判断C,D. 【详解】因为，所以，即，不一定得出，A不正确； 在上的投影向量为，B正确； 若存在负数，使得，则，若，则， 不能得出“存在负数，使得”，C正确； 若，则，与的夹角不一定是锐角，D不正确. 故选：BC 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，，则 B．若，则为钝角三角形 C．若是等边三角形，则，的夹角为 D．在中，若，则必是等腰直角三角形 【答案】AB 【分析】由，得到，利用正弦定理，可判定A正确；由数量积的公式，得到，可判定B正确；根据向量的夹角的定义，可得判定C不正确；由正弦定理和正弦的倍角公式，化简得到，求得或，可判定D不正确. 【详解】对于A中，设外接圆的半径为，由，可得， 所以，所以，所以A正确； 对于B中，若，可得，即， 因为，所以，所以为钝角三角形，所以B正确； 对于C中，若是等边三角形，则的夹角为，所以C不正确； 对于D中， 因为，由正弦定理得， 所以，则或， 所以或，所以为等腰或直角三角形，所以D不正确. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量，写出一个在向量上的投影向量等于的向量的坐标 . 【答案】（答案不唯一，） 【分析】设出向量的坐标，再利用投影向量的定义列式求解. 【详解】设，在向量上的投影向量为，依题意， 则，即，取，则. 故答案为： 13．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知非零向量满足，则 . 【答案】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】由可得，故， 故， 故答案为： 14．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角 . 【答案】 【分析】根据三角形的重心求得，再利用余弦定理来求得正确答案． 【详解】因为G是的重心，所以有. 又，所以. 设，则有.由余弦定理，可得，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知向量. (1)若 ，求的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值； (3)求的最大值. 【答案】(1)或. (2) (3) 【分析】（1）根据平行关系，利用数乘列出的方程求解即可； （2）根据向量垂直关系，列出等量关系，再利用数量积求出夹角的余弦值； （3）利用向量的三角不等式即刻求解. 【详解】（1）因为 ，设，则， 所以，即或. （2）因为，所以得到， 解得. （3）因为， 所以，当且仅当同向时等号成立. 16．（15分）（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设. (1)用向量表示向量； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量基本定理结合题设条件化简计算即可； （2）先用向量表示出，再利用向量数量积的运算律求其模长即可. 【详解】（1）因点为中点，点在线段上，满足 ，， 故； （2）由题意，则， ， 所以 ， 所以. 17．（15分）（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求角； (2)已知，当取最小值时，求内切圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由三角形的面积公式，结合余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理可得，再由基本不等式可得当且仅当时等号成立，即可求得，再由等面积法即可求得内切圆的半径. 【详解】（1）依题意，，， 则，即． 由余弦定理． 因为，所以． （2）因为，，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以， 则， 设内切圆的半径为，则，所以， 所以内切圆的半径为． 18．（17分）（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 19．（17分）（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，. (1)若，的面积为，求； (2)若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 【答案】(1)； (2)①；②；③. 【分析】（1）应用余弦边角关系可得，应用余弦定理有，进而有，再由面积公式得，结合已知即可求边长； （2）①应用正弦定理有，结合合比性质即可得；②③应用基本不等式求的范围，即可得面积最值和周长范围. 【详解】（1）由题设及余弦边角关系有， 所以，则，且， 在三角形中有，又，可得， 结合，则； （2）①由（1）有，则，所以； ②由，当且仅当时取等号， 所以，即面积最大值为； ③由，则， 当且仅当时取等号，所以周长. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$