8.3 向量的坐标表示（第1课时）（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

8.3 向量的坐标表示（第1课时） 题型一 判断是否构成一个基（底） 1．设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 3．若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二 根据基（底）求参数范围 4．已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是 . 5．若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 . 题型三 用基（底）表示向量 6．已知矩形ABCD中，对角线交于点O，若，则 . 7．若＝3，＝3，且P是线段AB靠近点A的一个三等分点，则向量用，可表示为＝ ． 8．是不共线向量，且，若为一组基，则 （线性表示）． 题型四 用基（底）表示向量的几何应用 9．如图所示，在中，是AB中点，设，，则 .（请用表示）    10．如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.    11．如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（    ） A． B． C． D． 12．在梯形中，，设，若用的线性组合表示，则 ． 题型五 根据三点共线求参数 13．设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为 ． 14．设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数k的值等于 ． 15．设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k的值是（   ） A．2 B． C． D． 题型六 向量线性组合的应用 16．已知向量是一个基底，实数x，y满足，则 . 17．在中，D为边上一点，且满足，设，则 . 18．设，是平面内一组基向量，且，，则向量可以表示为另一组基向量的线性组合，即 . 19．在中，点D，E满足，.若，则 . 20．已知，为不共线的单位向量，则以下四个向量中模最大者为（    ） A． B． C． D． 21．已知基底，，，，且，则 ． 题型七 网格问题 22．如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则 ； ．    23．向量在正方形网格中的位置如图所示.若 ，则= .      24．如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足，那么 .    题型八 向量基本定理的应用 25．已知在中，为上的一点，且，若，则 ． 26．在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则 . 27．如图所示，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 . 28．如图，在三角形中，已知边上的两条中线分别为，且相交于点，则（ ） A． B． C． D． 29．在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（   ） A． B． C． D． 30．已知的重心为，过点的直线分别与边，交于点，，若，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．不确定 31．已知为所在平面内的一点，且，若点在的内部（不含边界），则实数的取值可以是 题型九 向量基本定理有关的最值、取值范围问题 32．已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 33．在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为 . 34．在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 35．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ． 36．如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是 . 题型十 解答综合题 38．如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 39．已知是夹角为的两个单位向量，. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 40．如图，在中，，设，.    (1)试用，表示； (2)若，，与的夹角为，求. 41．如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．    (1)若，求实数的值． (2)计算的值． 42．如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）. (1)若， （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，，求的值. (2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值. 一、填空题 1．正方形的边长为3，是线段上靠近的三等分点，是线段（含端点）上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 2．设平面上的向量满足关系，又设与的模均为1且互相垂直，则与的夹角取值范围为 . 3．已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为 ． 二、单选题 4．记的三个内角的对边分别为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，，则下列结论错误的是（  ） A．若是的重心，则 B．若是的内心，则 C．若是的垂心，则 D．若是的外心，则 三、解答题 6．已知中，过重心的直线交线段于，交线段于，连结并延长交于点，设的面积为，的面积为，． (1)用表示，并证明为定值； (2)求的取值范围． 7．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． (1)延长交于点Q（图1），求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3 向量的坐标表示（第1课时） 题型一 判断是否构成一个基（底） 1．设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 【答案】③ 【分析】根据基底的定义判断即可. 【解析】解：③中，可知两向量共线，不能作为一组基底，选③； 其它选项中的两个向量都不满足，都能做基底，不选． 故答案为：③． 2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基底的性质结合选项可以判断. 【解析】因为，所以不能作为平面向量的基底，A不正确； 因为不共线，所以能作为平面向量的基底，B正确； 因为，所以不能作为平面向量的基底，C不正确； 因为，所以不能作为平面向量的基底，D不正确； 故选：B 3．若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的概念，分别判断四个选项中的向量是否共线即可. 【解析】对于A选项：，共线，故不能构成基底； 对于B选项：，共线，故不能构成基底； 对于C选项：，共线，故不能构成基底； 对于D选项：假设与共线，由题他们均为非零向量，故存在非零实数，使得：，整理得：，故共线，与是平面内所有向量的一个基底矛盾，故假设不成立，所以与不共线，可以构成基底. 故选：D. 题型二 根据基（底）求参数范围 4．已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由是一组基底，可得两个向量不共线，利用平面向量共线定理结合平面向量基本定理求出时的值，即可得解. 【解析】当时， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 因为是一组基底， 所以两个向量不共线， 所以. 故答案为：. 5．若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 . 【答案】-8 【分析】由题得存在实数λ，使得，把代入计算即得解. 【解析】因为不能作为一组基， 所以存在实数λ，使得， 即， 则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8. 故答案为： 题型三 用基（底）表示向量 6．已知矩形ABCD中，对角线交于点O，若，则 . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算可得的表达形式. 【解析】 因为是矩形，所以， 所以. 故答案为： 7．若＝3，＝3，且P是线段AB靠近点A的一个三等分点，则向量用，可表示为＝ ． 【答案】2＋ 【分析】根据向量的线性运算法则计算. 【解析】如图， ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×3＋×3＝2＋． 故答案为：2＋． 8．是不共线向量，且，若为一组基，则 （线性表示）． 【答案】 【分析】令，由平面向量的线性运算即可求解； 【解析】设， 则， 即， 解得 ． 故答案为： 题型四 用基（底）表示向量的几何应用 9．如图所示，在中，是AB中点，设，，则 .（请用表示）    【答案】 【分析】根据平面向量加、减法的几何意义进行求解即可. 【解析】因为是AB中点， 所以. 又因为，所以， 即. 故答案为： 10．如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.    【答案】 【分析】先利用平行线的性质求出，进而利用向量的线性运算求解即可. 【解析】由已知， 则， 所以， 所以. 故答案为：. 11．如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【解析】依题意，. 故选：B 12．在梯形中，，设，若用的线性组合表示，则 ． 【答案】 【分析】结合图形，根据向量的线性运算即可得到答案. 【解析】， 则， 则， 故答案为：. 题型五 根据三点共线求参数 13．设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据三点共线，得到，由此列方程组，解方程组求得的值. 【解析】由于三点共线，所以，即， 所以，解得. 故答案为： 14．设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数k的值等于 ． 【答案】 【分析】由三点共线，转化为两个向量共线且有一个公共点，求解参数即可. 【解析】因三点共线，故． ，， ． 故答案为：. 15．设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法法则求出，将，，三点共线转化为与共线即可求解. 【解析】，， ， 又，且，，三点共线，， 即， ，. 故选：C. 题型六 向量线性组合的应用 16．已知向量是一个基底，实数x，y满足，则 . 【答案】3 【分析】利用平面的基底不共线得到关于的方程组，解之即可得解. 【解析】因是一个基底，故与不共线， 由平面向量基本定理得，解得， 则. 故答案为：3. 17．在中，D为边上一点，且满足，设，则 . 【答案】 【分析】根据，得，用向量的减法得到，整理可得，的值，从而求出结果． 【解析】， ， ， ．则 故答案为：． 18．设，是平面内一组基向量，且，，则向量可以表示为另一组基向量的线性组合，即 . 【答案】， 【解析】试题分析：因为，，两式相加，得，代入可得，所以. 考点：平面向量基本定理的应用. 【方法点晴】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中涉及到向量的表示，向量的基本运算，平面向量的基本定理及其应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的技巧性，属于中档试题，本题的解答中根据题设条件和平面向量的运算，得到是解答的关键. 19．在中，点D，E满足，.若，则 . 【答案】/ 【分析】利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得. 【解析】在中，点D，E满足，， 则， 而不共线，又，因此， 所以. 故答案为： 20．已知，为不共线的单位向量，则以下四个向量中模最大者为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再根据数量积的运算律及作差法比较大小，即可判断． 【解析】因为，为不共线的非零向量，且， 所以，因为，， ，， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以的模最大． 故选：D. 21．已知基底，，，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则，结合共线向量的性质、基底的性质进行求解即可. 【解析】， 因为是基底，所以是不共线向量， 因此有：， 故答案为： 题型七 网格问题 22．如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则 ； ．    【答案】 【分析】作出辅助线，得到，从而利用向量基本定理得到答案. 【解析】连接，显然在上，且， 故， 又，故.    故答案为： 23．向量在正方形网格中的位置如图所示.若 ，则= .      【答案】4 【分析】记正方形风格边长为1，向右的单位向量为，向上的单位向量为，用表示出，再由向量的线性运算求解． 【解析】记正方形网格边长为1，向右的单位向量为，向上的单位向量为， 则，，， 由得，解得， 所以， 故答案为：4. 24．如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足，那么 .    【答案】1 【分析】可作单位向量，从而可用表示向量，根据平面向量基本定理即可得出关于的方程组，求解即可. 【解析】如图所示，作单位向量,    则，， 所以. 又，所以, 所以，解得， 所以. 故答案为:1. 题型八 向量基本定理的应用 25．已知在中，为上的一点，且，若，则 ． 【答案】/ 【分析】结合向量的线性运算公式及平面向量基本定理可得，进而可求得的值，即可求解. 【解析】因为，所以， 又，所以， 则. 故答案为：或. 26．在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则 . 【答案】 【分析】根据向量基本定理得到答案. 【解析】因为E为AD中点，所以， 因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以， 所以. 故答案为： 27．如图所示，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】依题意设，根据平面向量线性运算法则得到，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【解析】因为是上的一点，所以设， 所以 ， 由已知可得， 所以，所以. 故答案为： 28．如图，在三角形中，已知边上的两条中线分别为，且相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的定理用写出，然后得到和，由向量的夹角公式求得. 【解析】由题意可知， ， ∴， ， ， ∴. 故选：A. 29．在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将、向量都用、表示出来，再利用平面向量基本定理列方程组可求的取值. 【解析】因为、、三点共线，点是中点，所以, 又因为是上靠近点三等分点，所以, 且因为，则, 即,消可解得. 故选：. 30．已知的重心为，过点的直线分别与边，交于点，，若，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．不确定 【答案】B 【分析】将用作为基底表示，根据三点共线即可求. 【解析】 因为，， 所以，， 因为的重心为， 所以， 又因为三点共线， 所以， 所以. 故选：B 31．已知为所在平面内的一点，且，若点在的内部（不含边界），则实数的取值可以是 【答案】 【分析】由平面向量基本定理和向量加法、减法法则即可求解. 【解析】 如图，在线段AB上取点D，在线段BC上取点E，使, 因为，， 所以点M的轨迹为线段DE（不包含端点），因为，所以, 故答案为：. 题型九 向量基本定理有关的最值、取值范围问题 32．已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由，，三点共线，可得，结合基本不等式即可求. 【解析】因为，，三点共线， 所以存在非零实数，使得， 所以， 所以， 所以， 所以. 当时等号成立，所以的最小值为 故选：A 33．在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为 . 【答案】 【分析】根据向量共线列方程，利用基本不等式来求得正确答案. 【解析】∵λ，μ为正实数，，故，∴， 又P，B，D三点共线，∴，∴， 当且仅当，时取等号，故λμ的最大值为. 故答案为： 34．在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解析】， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 35．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ． 【答案】/0.9 【分析】根据题意画出图形，利用表示出，再设，；用分别表示出求出与，再将其代入，可得，然后利用二次函数的性质即可求的最小值． 【解析】如图所示， 中，， ∴， 又点点在线段上移动，设，， ∴， 又，∴， ∴， ∴当时，取到最小值，最小值为. 故答案为：． 36．如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，根据共线定理得到，由基本不等式可得的最小值. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为点是线段的中点，所以， 所以， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，取到最小值， 故选：D. 37．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】如图所示，由，，三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数满足，，，，即，与两比较，即可得出． 【解析】解：如图所示， ，，三点共线， 存在实数满足， 又，， ， 即，与两比较， 可得，， 则． 的取值范围是． 故答案为：． 题型十 解答综合题 38．如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【解析】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 39．已知是夹角为的两个单位向量，. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据向量不平行，的系数比值不相等可解； （2）根据，结合数量积运算性质即可得解； （3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质可得. 【解析】（1）因为可以作为一组基底，所以不平行， 又不共线，所以，即， 所以，实数的取值范围为. （2）因为垂直，所以， 即， 又， 所以，解得. （3）因为， 所以，当时，取得最小值3， 所以的最小值为. 40．如图，在中，，设，.    (1)试用，表示； (2)若，，与的夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可结合图形关系求解， （2）根据模长公式即可求解. 【解析】（1）在中，， 则， （2）已知，，与的夹角为， 则， 则 41．如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．    (1)若，求实数的值． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，根据向量的线性运算即可得到答案； （2）根据（1）中结论结合向量数量积的运算律和定义即可得到答案. 【解析】（1）由题意得， 则. （2）由（1）知 . 42．如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）. (1)若， （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，，求的值. (2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可得；根据（ⅰ）的结论，转化用，表示，根据三点共线找出等量关系即可求解（ⅱ）； （2）利用基本不等式即可求解. 【解析】（1）（ⅰ）在中，由，又， 所以， 所以 , （ⅱ）因为， 又，， 所以，， 所以， 又三点共线，且在线外， 所以有：，即. （2）由于，故是的中点，故， ， 当且仅当时取等号，故最大值为2， 一、填空题 1．正方形的边长为3，是线段上靠近的三等分点，是线段（含端点）上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，以为基底，利用向量的线性运算法则将用表示， 则转化为关于的二次函数，求该二次函数的最小值即为答案. 【解析】如图，，且，即不共线，故其可以作为基底，设，    由题意可得，由向量的线性运算法则可得 ， ， 故， 这是关于的二次函数，对称轴为， 所以当时，即与重合时，取得最小值. 故答案为：. 2．设平面上的向量满足关系，又设与的模均为1且互相垂直，则与的夹角取值范围为 . 【答案】 【分析】用与表示出向量，利用平面向量数量积结合夹角公式求出即可计算作答. 【解析】当时，由得：， 因与的模均为1且互相垂直，即有， 则，， 则有， 而，于是得，又，则， 所以与的夹角取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题，利用已知的不共线的两个向量为基底，将问题中的向量用该基底表示出，再通过向量的运算来解决. 3．已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为 ． 【答案】 【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合求出，再根据求出，进而可得出答案. 【解析】取的中点，则， 因为，所以， 所以，又为公共端点，所以三点共线， 所以点在边的中线上，且， 同理点在边的中线上，即点为的重心， 故， 因为， 所以点为的外心，即为为中垂线的交点， 故， 则， 所以， 而，所以， 即， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数量积的几何意义结合求出，是解决本题的关键. 二、单选题 4．记的三个内角的对边分别为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算可得，结合余弦定理运算求解. 【解析】因为，且， 则，即， 可得， 因为，则， 即，可得， 所以的取值范围为. 故选：B. 5．已知，，，，则下列结论错误的是（  ） A．若是的重心，则 B．若是的内心，则 C．若是的垂心，则 D．若是的外心，则 【答案】B 【分析】根据三角形各心的性质求出对应的之间的比值，即可得出答案. 【解析】如图，设，直线与直线交于点，因为， 所以，则，即， 过作分别平行于，则，而，，由平行线分线段成比例得， 同理，所以； 若是的重心，则为的中点，所以，故A正确； 若是的内心，则直线平分，而，， 所以分的比，故B不正确； 若是的垂心，如图，则点与点重合，则，故C正确； 若是的外心， 因为，所以线段AB的中垂线的斜率为，且AB的中点为， 所以线段AB的中垂线的方程为，即， 又线段BC的中垂线为， 联立，解得，所以， ，由于，，所以，则，故D正确， 故选：B. 三、解答题 6．已知中，过重心的直线交线段于，交线段于，连结并延长交于点，设的面积为，的面积为，． (1)用表示，并证明为定值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）以为基底，由三点共线可得，化简为基底根据向量相等即可得出，化简即可证明； （2）由三角形面积公式可得，根据（1）消元可得，化简求范围即可得解. 【解析】（1）根据题意，； ，，，三点共线，则存在，使得， 即，即， ，整理得，所以为定值； （2）根据题意，由（1）， ， ， ，， 则当时，取得最小值，当时，取得最大值， 的取值范围为． 7．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． (1)延长交于点Q（图1），求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【解析】（1）依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； （2）（i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$