第5章 分式（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

第5章 分式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024春•柯桥区期末）分式和的最简公分母是（　　） A． B．3y2 C．6y2 D．6y3 2．（3分）（2024•长兴县模拟）若分式的值为0，则x的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 3．（3分）（2024春•镇海区校级期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 4．（3分）（2024春•江山市期末）已知x﹣y＝2xy，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）（2024•鄞州区校级开学）对于关于x的分式方程，以下说法错误的是（　　） A．分式方程的增根是x＝0或x＝3 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是x＝3 6．（3分）（2024春•萧山区月考）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，则■的内容可能是（　　） A．4 B．9x2 C．9x D．9 7．（3分）（2025•瑞安市校级开学）俗话说“吃年糕，年年高”，春节期间温州有吃年糕的习俗．某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋年糕降价2元销售，细心的小温发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋年糕的原价是多少元？设每袋年糕的原价是x元，所得方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）（2024春•义乌市月考）已知，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）（2023春•拱墅区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．若分式的值为0，则x＝±2 B．是最简分式 C．把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） 10．（3分）（2024春•定海区期末）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（　　） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024春•杭州月考）计算：　 　 ． 12．（3分）（2025春•东阳市月考）若关于x的方程的解为x＝1，则a的值是 　 　 ． 13．（3分）（2024秋•冷水江市期末）若2，则 　 　 ． 14．（3分）（2024春•诸暨市期末）定义运算“⊕”：a⊕b，当x≠4时，满足4⊕x＝2，则x的值为 　 　 ． 15．（3分）（2024•路桥区校级开学）已知a+b＝m，a﹣b＝n，则的值为 　 　 （用含m，n的式子表示）． 16．（3分）（2024春•下城区校级期中）若，，则　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（2024春•浦江县校级期中）化简 （1）（a+2）2﹣（a+1）（a﹣1）； （2）（m2+4m）． 18．（6分）（2025春•义乌市月考）解方程：． 19．（8分）（2024春•江北区期末）计算： （1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）； （2）先化简，再求值：，再从0，1，2三个数中选一个代入求值． 20．（8分）（2024春•江干区校级期末）先化简；，再从﹣3，﹣2，﹣1，1，3中选择一个你喜欢的值代入求值． 21．（10分）（2024春•杭州月考）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如下所示： ． （1）求被手遮住部分的代数式； （2）等式左边代数式的值能等于0吗？请说明理由． 22．（10分）（2025•拱墅区模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 23．（12分）（2024春•义乌市月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　 　 （填序号）； ①；②；③；④；⑤． （2）将“和谐分式”，化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为． （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 24．（12分）（2024秋•临海市期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为（2a﹣2）m，宽为a m（a＞6）． （1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为a m的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m，宽增加a m，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 分式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024春•柯桥区期末）分式和的最简公分母是（　　） A． B．3y2 C．6y2 D．6y3 【分析】根据最简公分母的定义解答即可． 【解答】解：∵分式和的分母分别是3y2、2y， ∴最简公分母是6y2． 故选：C． 【点评】本题考查了最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键． 2．（3分）（2024•长兴县模拟）若分式的值为0，则x的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【分析】根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得x＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分子为零且分母不为零的条件是解题的关键． 3．（3分）（2024春•镇海区校级期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 【分析】根据分式的基本性质解答即可． 【解答】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，变为 ， 所以分式的值扩大为原来的2倍， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的基本性质，属于基础题． 4．（3分）（2024春•江山市期末）已知x﹣y＝2xy，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】将分式变形为，然后代入求值即可． 【解答】解：∵x﹣y＝2xy， ∴ ， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． 5．（3分）（2024•鄞州区校级开学）对于关于x的分式方程，以下说法错误的是（　　） A．分式方程的增根是x＝0或x＝3 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是x＝3 【分析】分式方程的增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，让最简公分母为0即可得到增根，未知数系数为0也使分式方程无解，由此解答即可． 【解答】解：， 方程两边同乘x（x﹣3），得（2m+x）x﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3）， 即（2m+1）x＝﹣6， 若分式方程有增根，则x＝0或x﹣3＝0，即x＝0或x＝3， 当x＝0时，（2m+1）x＝﹣6，无解； 当x＝3时，6m+3＝﹣6，解得m； 若分式方程无解，则2m+1＝0，解得m； 所以A错误，B、C、D正确， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的增根，熟知增根的意义是解题的关键． 6．（3分）（2024春•萧山区月考）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，则■的内容可能是（　　） A．4 B．9x2 C．9x D．9 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：当■表示4时，，它的值与原分式的值相等，则A不符合题意； 当■表示9x2时，，它的值是原分式的值的4倍，则B不符合题意； 当■表示9x时，，它的值是原分式的值的2倍，则C符合题意； 当■表示9时，，它的值与原分式的值相等，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查分式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 7．（3分）（2025•瑞安市校级开学）俗话说“吃年糕，年年高”，春节期间温州有吃年糕的习俗．某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋年糕降价2元销售，细心的小温发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋年糕的原价是多少元？设每袋年糕的原价是x元，所得方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 8．（3分）（2024春•义乌市月考）已知，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先化简变形后，运用整体思想进行代入、求解． 【解答】解：∵5， ∴x﹣y＝﹣5xy， ∴ ， 故选：D． 【点评】此题考查了分式的化简、求值能力，关键是能准确理解并运用对应知识和整体思想进行求解． 9．（3分）（2023春•拱墅区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．若分式的值为0，则x＝±2 B．是最简分式 C．把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） 【分析】A．由分式值为零的条件得x2﹣4＝0且x﹣2≠0，即可判断； B．将分子分母进行因式分解，由最简分式的定义即可判断； C．按要求扩大倍数进行化简，即可判断； D．按最简公分母定义找出最简公分母，即可判断． 【解答】解：A．分式的值为0，则x2﹣4＝0且x﹣2≠0，解得x＝2，结论错误，故不符合题意； B.，结论错误，故不符合题意； C.，结论正确，故符合题意； D．最简公分母是ab（x﹣y），结论错误，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件，最简分式的定义，分式的性质，最简公分母，掌握分式的运算法则是解题的关键． 10．（3分）（2024春•定海区期末）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（　　） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【分析】妈妈两次加油共需付款及爸爸两次加油升数，进而表示出两人的平均单价，列出关系式，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，确定出差的正负即可作出判断． 【解答】解：根据题意得：妈妈每次加油共需付款a（x+y）元，爸爸两次能加升油， 若爸爸两次加油的平均单价为M元/升，妈妈两次加油的平均单价为N元/升，则M，N， ∵N﹣M0， ∴爸爸的加油方式更合算， 故选：A． 【点评】此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024春•杭州月考）计算：　b　 ． 【分析】利用分式的乘除法则计算即可． 【解答】解：原式• b， 故答案为：b． 【点评】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12．（3分）（2025春•东阳市月考）若关于x的方程的解为x＝1，则a的值是 　　 ． 【分析】把x＝1代入关于x的方程 得关于a的分式方程，解方程求出a，然后进行检验即可． 【解答】解：把x＝1代入关于x的方程 得： ， ∴3（1+a）+a（1﹣a）＝1﹣a2， 整理得4a＝﹣2， ∴a， 检验：当a时，（1﹣a）（1+a）≠0， ∴a是原方程的解， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程解的定义和解分式方程的一般步骤． 13．（3分）（2024秋•冷水江市期末）若2，则 　　 ． 【分析】由2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可． 【解答】解：由2，得x+y＝2xy 则． 故答案为． 【点评】解题关键是用到了整体代入的思想． 14．（3分）（2024春•诸暨市期末）定义运算“⊕”：a⊕b，当x≠4时，满足4⊕x＝2，则x的值为 　2或8　 ． 【分析】分两种情况，即x＞4和x＜4，由新定义的运算得到分式方程，解分式方程即可． 【解答】解：当x＞4时，2， 解得x＝8， 经检验x＝8是原方程的解， 当x＜4时，2， 解得x＝2， 经检验x＝2是原方程的解， 综上所述x的值为2或8． 故答案为：2或8． 【点评】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键，解分式方程一定要检验． 15．（3分）（2024•路桥区校级开学）已知a+b＝m，a﹣b＝n，则的值为 　　 （用含m，n的式子表示）． 【分析】先化简原式，再根据a+b＝m，a﹣b＝n，求出，最后整体代入进行化简即可． 【解答】解： ， ∵a+b＝m，a﹣b＝n， 故m+n＝a+b+a﹣b＝2a， m﹣n＝a+b﹣（a﹣b）＝2b， ∴，，， 将a+b＝m，a﹣b＝n，，代入原式，得： 原式． 故答案为：． 【点评】本题考查分是的化简求值，列代数式，解题的关键是正确运算． 16．（3分）（2024春•下城区校级期中）若，，则　3　 ． 【分析】观察可得，将两式相加，即可得12，继而可求得的值． 【解答】解：∵①，②， ∴①+②得：12， ∴4（）＝12， 解得：3． 故答案为：3． 【点评】此题考查了分式的加减运算法则．此题难度适中，注意掌握整体思想的应用是解此题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（2024春•浦江县校级期中）化简 （1）（a+2）2﹣（a+1）（a﹣1）； （2）（m2+4m）． 【分析】（1）根据完全平方公式及平方差公式计算后，再合并即可得解； （2）先把除法变为乘法，再按分式的乘法法则计算即可得解． 【解答】解：（1）（a+2）2﹣（a+1）（a﹣1） ＝a2+4a+4﹣a2+1 ＝4a+5； （2） ． 【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式及分式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．（6分）（2025春•义乌市月考）解方程：． 【分析】利用解分式方程的步骤求解即可． 【解答】解：1， 去分母得，2+2x﹣2＝3， 合并同类项，2x＝3， 系数化为1得，x， 检验：当x时，2x﹣2＝1≠0， ∴x是原方程的根． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 19．（8分）（2024春•江北区期末）计算： （1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）； （2）先化简，再求值：，再从0，1，2三个数中选一个代入求值． 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先算乘法，再算加法，然后从0，1，2三个数中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：（1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1） ＝x2+4x+4﹣x2+1 ＝4x+5； （2） • ， ∵当a＝0或2时，原分式无意义， ∴a＝1， 当a＝1时，原式． 【点评】本题考查整式的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用． 20．（8分）（2024春•江干区校级期末）先化简；，再从﹣3，﹣2，﹣1，1，3中选择一个你喜欢的值代入求值． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后把x的值代入计算即可． 【解答】解： ＝[]• • • ， 当x＝﹣1，1，﹣2，3时，原分式没有意义， ∴x＝﹣3， 当x＝﹣3时，原式4． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键． 21．（10分）（2024春•杭州月考）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如下所示： ． （1）求被手遮住部分的代数式； （2）等式左边代数式的值能等于0吗？请说明理由． 【分析】（1）根据分式的乘除法法则进行计算； （2）根据题意列出代数式并求值． 【解答】解 （1）设被手遮住部分的代数式为A， 则A； （2）等式左边代数式的值不能等于0， 若等式左边代数式的值为0，则0，即x+1＝0， 解得x＝﹣1， 当x＝﹣1时，x+1＝0，分式无意义， ∴等式左边代数式的值不能等于0． 【点评】本题考查了分式的乘除法，列代数式和代数式求值，掌握相应运算法则是关键． 22．（10分）（2025•拱墅区模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可． 【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1 解得x＝0 经检验，x＝0是原分式方程的解． （2）设？为m， 方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1 由于x＝2是原分式方程的增根， 所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1 所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 23．（12分）（2024春•义乌市月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　①③④⑤　 （填序号）； ①；②；③；④；⑤． （2）将“和谐分式”，化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为． （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断； （2）利用题目所给的方法配一个（a﹣1）2出来，然后把分式写成两同分母的和，再约分，则原分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和； （3）先把把除法运算化为乘法运算，约分后进行同分母的减法运算得到原式，再把它化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式得到原式＝2x﹣3，利用有理数的整除性和分式有意义的条件确定x的值． 【解答】解：（1）1； 1； 1； y+3， 所以、、、都是“和谐分式”； 故答案为：①③④⑤； （2）a﹣1； （3）原式• ＝2x﹣3， ∵x为整数，为整数， ∴x+1＝±1或x+1＝±5， ∵x+1≠0且x≠0且x﹣1≠0， ∴x＝﹣2或x＝4或x＝﹣6． 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 24．（12分）（2024秋•临海市期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为（2a﹣2）m，宽为a m（a＞6）． （1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为a m的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m，宽增加a m，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即乙组的工作效率），再将其代入2x中，即可求出甲组的工作效率； （2）利用单位面积产量＝总产量÷种植面积，可用含a的代数式表示出A，B两类蔬菜的单位面积产量，作差后，即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的n倍，可用含a的代数式表示出n的值，再结合“a＞6，a为整数，且n为正整数”，即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜， 根据题意得：10， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×25＝50（千克）． 答：甲组每分钟采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘25千克的蔬菜； （2）A类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： A类蔬菜的单位面积产量为（千克）； B类蔬菜的单位面积产量为（千克）， ． ∵a＞6， ∴a﹣6＞0，a2＞0，a﹣2＞0， ∴0， ∴0， ∴， ∴A类蔬菜的单位面积产量大； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数）， 根据题意得：（2a﹣2+14）（a+a）＝n（2a﹣2）a， ∴n2， 又∵a＞6，a为整数，且n为正整数， ∴或． 答：a的值为8或15． 【点评】本题考查了分式方程的应用、分式的混合运算、列代数式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出A，B两类蔬菜的单位面积产量；（3）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出n的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$