第5章 分式 知识归纳与题型训练（7类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

第5章 《分式》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、分式的意义 1.分式的定义：表示两个整式相除，且除式中含有字母的代数式叫作分式． 2.分式有意义的条件： 分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。 要点诠释： （1）分式的值为零满足的条件：分式的分子=0，且分母≠0； （2）求分式的值，将分式中字母的值带入分式，并化到最简； 二、分式的基本性质 1.分式的基本性质： 分式的分子分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变； 字母表达式： 2.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分。 约分要约去分子、分母所有的公因式 3.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫作最简分式。 要点诠释： （1）分式的基本性质是进行分式化简和运算的依据； （2）分式的符号法则：分式整体前面、分子、分母三项中，同时将两项变为相反数，分式的值不变， 字母表达式为： （3）利用分式的意义和分式的约分，可以进行一些多项式的除法运算。把两个多项式相除先表示成分式，然后通过分解因式、约分等把分式化简，用整式或最简分式表示所求的商。 三、分式的乘除 1、分式的乘除法运算法则： 分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置，与被除式相乘。 字母表达式： 要点诠释： 整式与分式运算时，可以把正事看成分母是1的分式； 四、分式的加减 1、同分母分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。 字母表达式： 2、 通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫作通分。 3、 异分母分式相加： 异分母的分式相加减，先通分，化成同分母的分式，再按照同分母的分式的加减法则进行计算； 字母表达式： 要点诠释： （1） 通分的目的，是要把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，然后按同分母的加减法则进行计算； （2） 通分时，一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为公分母。 （3）分式的化简求值：根据分式的加减、乘除法则，将分式的混合运算进行化简，并根据题目要求代入对应的数值的问题即为分式的化简计算； 五、分式方程 1、分式方程定义：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫作分式方程 2、分式方程的解法： ①去分母，得整式方程；②解对应整式方程；③验根 3、增根：使分式的分母=0的未知数的值，分式的增根需要舍去。 4、分式方程的应用： 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题，在方法、步骤上基本相同，但解分式方程时必须验根。即：审题——设元——列方程——解方程——验根——答 要点诠释： （1）在解分式方程中，可以出现增根，也可以无解，但无解包含增根，有时又不完全是因为增根导致的。 （2）分式方程的应用题比较明显的特征是，已知条件通常是“总量”——如已知“总进价”、“总费用”、“总路程”等，而待求量一般是“小量”——如“单价”、“件数”、“速度”、“时间”等。 题型一　分式有意义与分式的值为零 例题： 1．（2024春•杭州月考）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C．x+2y D．2ab 2．（2025•杭州开学）要使分式有意义，x的取值应满足（　　） A．x＝2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2 3．（2025•浙江模拟）当x＝ 　 　 时，分式的值为0． 4．（2024春•义乌市期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．﹣3或0 5．（2024•杭州模拟）要使分式有意义，x的取值应该满足（　　） A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2 6．（2024春•慈溪市期末）对于分式，下列说法正确的是（　　） A．当x≠0时，分式有意义 B．当x＝1时， C．当x＜3时， D．当x＞0时，x越大，的值越接近于1 巩固训练 7．（2024•温州三模）当x＝1时，下列分式无意义的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024•上城区校级模拟）下列分式一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 9．（2024春•钱塘区期末）已知对任意实数x，分式都有意义，则实数k的值可以是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（2024秋•莘县期中）观察下面一列分式：，根据规律，它的第n项是　 　 ． 11．（2024春•浦江县校级期中）若分式的值为零，则x的值为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝2或x＝﹣2 D．x＝3 题型二　分式的基本性质及其应用 例题： 1．（2025•浙江模拟）下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•莲都区期末）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•海曙区期末）将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（　　） A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．不变 D．变为原来的一半 4．（2024春•宁波期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 5．（2024•杭州模拟）若实数a，b满足，则（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b2＞0 D．a﹣b2＜0 6．（2024春•德清县期末）小德不小心将墨汁滴到了作业纸上，导致分式中有部分代数式被墨汁污染，小清告诉小德，当x和y都扩大为原来的2倍时，分式的值也扩大为原来的2倍，则■的内容可能是（　　） A．2 B．x C．x2 D．4 7．（2024春•余姚市期末）分式 的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为 　 　 ． 8．（2024春•越城区期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为　 　 ． 题型三　分式的加减 例题： 1．（2025•衢州一模）计算：（　　） A． B．3a C． D．3 2．（2024•瓯海区模拟）已知（　　） A． B． C． D．1 3．（2024春•杭州月考）已知，则分式的值是（　　） A．﹣5 B． C．1 D． 4．（2024秋•柯桥区期中）已知符号f表示一种运算，，例如，，则f（﹣2024）+f（2024）＝ 　 　 ． 5．（2024春•西湖区期末）已知，且a≠﹣b，则的值为 　 　 ． 6．（2025春•余杭区校级月考）化简：． 巩固训练 7．（2024春•鹿城区校级月考）化简的结果是（　　） A．﹣2a+b B．﹣2a﹣b C．2a+b D．2a﹣b 8．（2025春•上城区校级月考）化简的结果为 　 　 ． 9．（2024春•滨江区校级期中）甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．AB＝a，CD＝b，记图①中的阴影部分面积为S1．图②中的阴影部分面积为S2，甲正方形的面积为S甲． （1）若，则的值是 　 　 ； （2）若S1＝S2，则的值是 　 　 ． 10．（2024春•萧山区月考）已知，则分式的值为 　 　 ． 题型四　分式的混合运算 例题： 1．（2024•桐乡市校级一模）化简：． 2．（2024春•西湖区校级月考）在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题． 解：原式① （x+1）（x﹣1）•（x+1）（x﹣1）……② ＝2x﹣（x+1）……③ ＝2x﹣x﹣1……④ ＝x﹣1．……⑤ （1）甲同学从第 　 　 步开始出错（填序号）； （2）请你写出正确的解法． 3．（2024•定海区三模）化简：． 4．（2024春•杭州期末）计算化简： （1）（x+y）2+x（y﹣x）； （2）． 巩固训练 5．（2024•瓯海区校级三模）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算!如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； （2）请你写出正确的解答过程． 6．（2024春•长兴县月考）下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：小聪同学的求解过程从第 　 　 步开始出现错误． 任务二：请你写出正确的计算过程． 任务三：再从1，﹣1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 7．（2024•柯桥区模拟）化简：． 题型五　分式的化简求值 例题： 1．（2024秋•玉环市期末）先化简再求值：，其中． 2．（2025•鄞州区校级模拟）先化简，再求值：，其中． 3．（2024春•浦江县校级期中）已知x2﹣4x+1＝0，求：①x的值，②的值． 巩固训练 4．（2024秋•台州期末）先化简，再求值：，其中m＝3． 5．（2024秋•武宣县期中）先化简代数式，再从0，1，2这几个数中选取一个你喜欢的x的值代入求值． 6．（2024春•柯桥区期末）已知m+n＝1，求代数式的值． 7．（2024春•宁波月考）（1）已知a2﹣7a﹣1＝0，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 题型六　解分式方程 例题： 1．（2025•萧山区校级开学）分式方程的解是 　 　 ． 2．（2024春•镇海区校级期末）若关于x的分式方程2有增根，则a的值为 　 　 ． 3．（2024春•海曙区期末）小颖在解分式方程2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是　 　 ． 4．（2025•衢江区一模）解分式方程：1． 5．（2024春•江干区校级期末）已知关于x的分式方程． （1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求m的值． 巩固训练 6．（2024秋•苍南县校级月考）方程的解为 　 　 ． 7．（2025•镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 8．（2024春•义乌市月考）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗．若，则x的值为 　 　 ． 9．（2024春•莲都区期末）（1）解方程组：； （2）解方程：． 题型七　分式方程解应用题 例题： 1．（2025•温州一模）小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•镇海区校级模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 　 　 天． 3．（2024秋•台州期末）某快递公司为了提高分拣效率，自主设计了全套自动化分拣设备（如图），该设备每小时分拣的快件量是1个分拣员每小时分拣的快件量的150倍．经过测试，该设备分拣75000件快件所用时间，比1个分拣员分拣1000件快件所用时间少1小时．1个分拣员每小时分拣多少件快件？ 巩固训练 4．（2025•浙江一模）马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为42公里，在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早30分钟，若乙的平均速度为x km/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•路桥区期末）某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元． 水果店 销售方式 质量 单价 甲 不分类 400千克 25元/千克 乙 小果 免费 中果 240千克 大果 （1）乙店大果和中果的售价各是多少元/千克？ （2）求乙店小果的质量； （3）若甲店先以a元/千克的批发价售卖b千克的葡萄，再以（a+1）元/千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若a，b均为正整数，求a，b的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 《分式》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、分式的意义 1.分式的定义：表示两个整式相除，且除式中含有字母的代数式叫作分式． 2.分式有意义的条件： 分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。 要点诠释： （1）分式的值为零满足的条件：分式的分子=0，且分母≠0； （2）求分式的值，将分式中字母的值带入分式，并化到最简； 二、分式的基本性质 1.分式的基本性质： 分式的分子分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变； 字母表达式： 2.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分。 约分要约去分子、分母所有的公因式 3.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫作最简分式。 要点诠释： （1）分式的基本性质是进行分式化简和运算的依据； （2）分式的符号法则：分式整体前面、分子、分母三项中，同时将两项变为相反数，分式的值不变， 字母表达式为： （3）利用分式的意义和分式的约分，可以进行一些多项式的除法运算。把两个多项式相除先表示成分式，然后通过分解因式、约分等把分式化简，用整式或最简分式表示所求的商。 三、分式的乘除 1、分式的乘除法运算法则： 分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置，与被除式相乘。 字母表达式： 要点诠释： 整式与分式运算时，可以把正事看成分母是1的分式； 四、分式的加减 1、同分母分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。 字母表达式： 2、 通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫作通分。 3、 异分母分式相加： 异分母的分式相加减，先通分，化成同分母的分式，再按照同分母的分式的加减法则进行计算； 字母表达式： 要点诠释： （1） 通分的目的，是要把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，然后按同分母的加减法则进行计算； （2） 通分时，一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为公分母。 （3）分式的化简求值：根据分式的加减、乘除法则，将分式的混合运算进行化简，并根据题目要求代入对应的数值的问题即为分式的化简计算； 五、分式方程 1、分式方程定义：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫作分式方程 2、分式方程的解法： ①去分母，得整式方程；②解对应整式方程；③验根 3、增根：使分式的分母=0的未知数的值，分式的增根需要舍去。 4、分式方程的应用： 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题，在方法、步骤上基本相同，但解分式方程时必须验根。即：审题——设元——列方程——解方程——验根——答 要点诠释： （1）在解分式方程中，可以出现增根，也可以无解，但无解包含增根，有时又不完全是因为增根导致的。 （2）分式方程的应用题比较明显的特征是，已知条件通常是“总量”——如已知“总进价”、“总费用”、“总路程”等，而待求量一般是“小量”——如“单价”、“件数”、“速度”、“时间”等。 题型一　分式有意义与分式的值为零 例题： 1．（2024春•杭州月考）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C．x+2y D．2ab 【分析】根据分式的定义和整式的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A． 为分式，所以A选项符合题意； B． 为多项式，所以B选项不符合题意； C．x+2y为多项式，所以C选项符合题意； D．2ab为单项式，所以D选项符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 2．（2025•杭州开学）要使分式有意义，x的取值应满足（　　） A．x＝2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2 【分析】根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围． 【解答】解：∵分式有意义， ∴x﹣2≠0 解得：x≠2， 故选：B． 【点评】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0． 3．（2025•浙江模拟）当x＝ 　3　 时，分式的值为0． 【分析】根据分式值为零的条件即可求得答案． 【解答】解：若分式的值为0， 则x﹣3＝0且x﹣1≠0， 解得：x＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握该知识点是解题的关键． 4．（2024春•义乌市期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．﹣3或0 【分析】直接利用分式的值为零的条件进而分析得出答案． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴， 解得x＝0， 故选：C． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件：分子为0且分母不为0，正确把握定义是解题关键． 5．（2024•杭州模拟）要使分式有意义，x的取值应该满足（　　） A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2 【分析】根据分式有意义的条件可得（x+1）（x﹣2）≠0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：（x+1）（x﹣2）≠0， 解得：x≠﹣1且x≠2， 故选：D． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 6．（2024春•慈溪市期末）对于分式，下列说法正确的是（　　） A．当x≠0时，分式有意义 B．当x＝1时， C．当x＜3时， D．当x＞0时，x越大，的值越接近于1 【分析】根据分式有意义的条件及将分式变成真分式加整数的形式，进行分析，逐一判断即可． 【解答】解：A．当x≠﹣1时，分式有意义，故本选项不符合题意； B．当x＝1时，原式，故本选项不符合题意； C．1， 当x＜3时，， 则1，故本选项不符合题意； D．当x＞0时，x越大，的值越接近于1，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 巩固训练 7．（2024•温州三模）当x＝1时，下列分式无意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分式若有意义，则分式的分母不能为0，据此可得到答案． 【解答】解：A、当x＝1时，分式的分母x﹣1＝0，分式无意义，该项符合题意； B、当x＝1时，分式的分母x≠0，分式有意义，该项不符合题意； C、当x＝1时，分式的分母x≠0，分式有意义，该项不符合题意； D、当x＝1时，分式的分母x2≠0，分式有意义，该项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查分式有意义的条件，即分式的分母不能为0，牢记分式有意义的条件是解题的关键． 8．（2024•上城区校级模拟）下列分式一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：A．x2+2≠0，故本选项符合题意； B．x2≥0，故本选项不符合题意； C．a2+a＝（a）2，故本选项不符合题意； D．y﹣1为全体实数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 9．（2024春•钱塘区期末）已知对任意实数x，分式都有意义，则实数k的值可以是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】先根据分式有意义的条件，列出不等式，求出k的取值范围，然后根据各个选项的数字，进行判断即可． 【解答】解：∵分式若有意义， 则x2﹣6x+k≠0， ∴Δ＝b2﹣4ac＜0， （﹣6）2﹣4k＜0， 36＜4k， k＞9， 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断分式有意义的条件． 10．（2024秋•莘县期中）观察下面一列分式：，根据规律，它的第n项是　　 ． 【分析】先根据所给的分式找出规律，即可得出第n项的表达式． 【解答】解：第一个是：； 第二个是：； 第三个是：， …， 故第n项是：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的定义，根据题意找出规律是解答此题的关键． 11．（2024春•浦江县校级期中）若分式的值为零，则x的值为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝2或x＝﹣2 D．x＝3 【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案． 【解答】解：∵分式的值为零， ∴x2﹣4＝0且x﹣2≠0， ∴x＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是正确理解分式的值为0的条件，本题属于基础题型． 题型二　分式的基本性质及其应用 例题： 1．（2025•浙江模拟）下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：当a＝0时，，则A不符合题意， 无法约分，则B不符合题意， 当c≠0时，，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 2．（2024春•莲都区期末）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解答】解：， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 3．（2024春•海曙区期末）将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（　　） A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．不变 D．变为原来的一半 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，求解即可． 【解答】解：， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 4．（2024春•宁波期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘10即可． 【解答】解：． 故选：A． 【点评】此题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 巩固训练 5．（2024•杭州模拟）若实数a，b满足，则（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b2＞0 D．a﹣b2＜0 【分析】根据分式的性质得出a﹣12＝0，进而解答即可． 【解答】解：因为实数a，b满足， ∴a﹣12＝0，b≠0， ∴a＝12， ∴a+b2＞0， 故选：C． 【点评】此题考查分式的性质，关键是根据分式的性质得出a﹣12＝0解答． 6．（2024春•德清县期末）小德不小心将墨汁滴到了作业纸上，导致分式中有部分代数式被墨汁污染，小清告诉小德，当x和y都扩大为原来的2倍时，分式的值也扩大为原来的2倍，则■的内容可能是（　　） A．2 B．x C．x2 D．4 【分析】把选项中的式子代入分式，利用分式的基本性质判断即可． 【解答】解：若■的内容为2，分式为， 根据题意得：，选项A不符合题意； 若■的内容为x，分式为， 根据题意得：，选项B符合题意； 若■的内容为x2，分式为， 根据题意得：，选项C不符合题意； 若■的内容为4，分式为， 根据题意得：，选项D不符合题意． 故选：B． 【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 7．（2024春•余姚市期末）分式 的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为 　m　 ． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵m， ∴m， 故答案为：m． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 8．（2024春•越城区期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为　　 ． 【分析】根据分式的基本性质把分子和分母都乘以10即可． 【解答】解：． 故答案为． 【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以或除以一个不为0的数（或式），分式的值不变． 题型三　分式的加减 例题： 1．（2025•衢州一模）计算：（　　） A． B．3a C． D．3 【分析】根据同分母分式加减法则，分母不变，分子相减进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握同分母分式加减法则． 2．（2024•瓯海区模拟）已知（　　） A． B． C． D．1 【分析】围绕已知等式变形，分别求c及，再求c的值． 【解答】解：∵， ∴，即 ，即 ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了分式等式的变形方法，分式的加减运算，需要灵活掌握． 3．（2024春•杭州月考）已知，则分式的值是（　　） A．﹣5 B． C．1 D． 【分析】由已知条件可得y﹣x＝2xy，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵， ∴2， 则y﹣x＝2xy， 原式 ， 故选：B． 【点评】本题考查分式的加减法及分式的值，将原式进行正确的变形是解题的关键． 4．（2024秋•柯桥区期中）已知符号f表示一种运算，，例如，，则f（﹣2024）+f（2024）＝ 　2　 ． 【分析】利用新定义下的实数运算，先计算出f（﹣2024）、f（2024）的值，再求和． 【解答】解：f（﹣2024）+f（2024） 1 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了新定义运算，掌握新定义运算的规定是解决本题的关键． 5．（2024春•西湖区期末）已知，且a≠﹣b，则的值为 　1　 ． 【分析】根据1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案． 【解答】解：∵1， ∴1， ∴ab＝2a+b， ∴1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了分式的加减法和分式的值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 6．（2025春•余杭区校级月考）化简：． 【分析】根据同分母分式的减法进行计算即可求解． 【解答】解：原式 ＝x﹣2． 【点评】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 巩固训练 7．（2024春•鹿城区校级月考）化简的结果是（　　） A．﹣2a+b B．﹣2a﹣b C．2a+b D．2a﹣b 【分析】先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可． 【解答】解：原式 ＝2a+b． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的加减法运算，掌握分式的加减法运算法则是关键． 8．（2025春•上城区校级月考）化简的结果为 　﹣1　 ． 【分析】先变形，再根据分式的加减法计算即可． 【解答】解： ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9．（2024春•滨江区校级期中）甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．AB＝a，CD＝b，记图①中的阴影部分面积为S1．图②中的阴影部分面积为S2，甲正方形的面积为S甲． （1）若，则的值是 　0　 ； （2）若S1＝S2，则的值是 　4　 ． 【分析】（1）由题意可知，甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为a﹣b，得到，，，根据得到a＝b，即可求出的值； （2）根据S1＝S2得到2a2+b2＝4ab，再整体代入即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可知，甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为a﹣b， ∴S甲＝a2，S1＝（a+a﹣b）2﹣a2﹣（a﹣b）2＝2a2﹣2ab， S2＝a2﹣（a﹣b）2＝2ab﹣b2， ∵S1+S2， ∴2a2﹣2ab+2ab﹣b2a2， ∴a2＝2b2， ∴ab， ∴0； 故答案为：0； （2）∵S1＝S2， ∴2a2﹣2ab＝2ab﹣b2， ∴2a2+b2＝4ab， ∴4， 故答案为：4． 【点评】此题考查了分式的化简求值，数形结合和熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．（2024春•萧山区月考）已知，则分式的值为 　　 ． 【分析】先由题意得x+y＝3xy，再将该代数式变形后整体代入求解． 【解答】解：∵3， ∴x+y＝3xy， ∴ ， 故答案为：． 【点评】此题考查了分式加减运算和求分式值的能力，关键是能准确理解并运用对应知识和整体思想进行计算． 题型四　分式的混合运算 例题： 1．（2024•桐乡市校级一模）化简：． 【分析】先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解：原式•． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 2．（2024春•西湖区校级月考）在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题． 解：原式① （x+1）（x﹣1）•（x+1）（x﹣1）……② ＝2x﹣（x+1）……③ ＝2x﹣x﹣1……④ ＝x﹣1．……⑤ （1）甲同学从第 　②　 步开始出错（填序号）； （2）请你写出正确的解法． 【分析】（1）根据分式的加减计算得出结论即可； （2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可． 【解答】解：（1）由题意知，甲同学从第②步开始出错， 故答案为：②； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减计算是解题的关键． 3．（2024•定海区三模）化简：． 【分析】先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解： • ． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 4．（2024春•杭州期末）计算化简： （1）（x+y）2+x（y﹣x）； （2）． 【分析】（1）先算完全平方，单项式乘多项式，再合并同类项即可； （2）先算括号里的运算，除法转为乘法，再约分即可． 【解答】解：（1）（x+y）2+x（y﹣x） ＝x2+2xy+y2+xy﹣x2 ＝3xy+y2； （2） ． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 巩固训练 5．（2024•瓯海区校级三模）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算!如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； （2）请你写出正确的解答过程． 【分析】（1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有：小明，小红； （2）正确的解答过程如下： a+1 （a﹣1） ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2024春•长兴县月考）下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：小聪同学的求解过程从第 　二　 步开始出现错误． 任务二：请你写出正确的计算过程． 任务三：再从1，﹣1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【分析】根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝（） • • ， ∵x+1≠0，x﹣1≠0， ∴x≠﹣1和1， ∴x＝2． ∴． 故答案为：二． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 7．（2024•柯桥区模拟）化简：． 【分析】利用分式的相应的法则进行求解即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 题型五　分式的化简求值 例题： 1．（2024秋•玉环市期末）先化简再求值：，其中． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得． 【解答】解：原式 ＝a+2， 当a， 原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． 2．（2025•鄞州区校级模拟）先化简，再求值：，其中． 【分析】利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再利用非负数的性质求出a、b的值，最后代入化简后的结果中计算即可求解． 【解答】解：原式 ， ∵， ∴a﹣5＝0，b﹣2＝0， ∴a＝5，b＝2， ∴原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，非负数的性质，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 3．（2024春•浦江县校级期中）已知x2﹣4x+1＝0，求：①x的值，②的值． 【分析】①由已知得，x2+1＝4x，两边除以x得； ②利用完全平方公式求得，则所求式． 【解答】解：①∵x2﹣4x+1＝0， ∴x2+1＝4x， ∴； ②∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查了完全平方公式及分式的混合运算，解决本题的关键是将式子整理变形，对分式进行化简． 巩固训练 4．（2024秋•台州期末）先化简，再求值：，其中m＝3． 【分析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m＝3代入进行计算即可． 【解答】解：原式 • ， 当m＝3时，原式5． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 5．（2024秋•武宣县期中）先化简代数式，再从0，1，2这几个数中选取一个你喜欢的x的值代入求值． 【分析】先根据分式的混合运算化简原式，再根据分式有意义的条件得出x不能为0和1，取x＝2，最后代入求出答案即可． 【解答】解：原式 ， 要使分式有意义，必须x﹣1≠0且x≠0， 故x不能为1和0， 当x＝2时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 6．（2024春•柯桥区期末）已知m+n＝1，求代数式的值． 【分析】根据分式的混合运算先将代数式化简，再将m+n＝1代入求解． 【解答】解：3（m+n）， 当m+n＝1时，原式＝3×1＝3． 【点评】本题主要考查了分式的混合运算，代数式求值，理解分式的混合运算法则是解答关键． 7．（2024春•宁波月考）（1）已知a2﹣7a﹣1＝0，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 【分析】（1）由a2﹣7a﹣1＝0，得a2﹣7a＝1，a7，而2（a2﹣7a）++（a）2+2，代入即可求出答案； （2）由1，得a+b＝3，而ab＝（a+b）2，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵a2﹣7a﹣1＝0， ∴a2﹣7a＝1，a7， ∴ ＝2（a2﹣7a）+a2 ＝2×1+（a）2+2 ＝2+72+2 ＝2+49+2 ＝53； （2）∵1， ∴a+b＝3， ∴ ab ab ＝a2+b2+ab+ab ＝（a+b）2 ＝32 ＝9． 【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子变形． 题型六　解分式方程 例题： 1．（2025•萧山区校级开学）分式方程的解是 　x＝3　 ． 【分析】根据解分式方程的方法，方程两边同时乘x（2x﹣5），把分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出x的值，再检验即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘x（2x﹣5），得x＝3（2x﹣5）， 去括号，得x＝6x﹣15， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入x（2x﹣5）≠0， ∴分式方程的解为x＝3． 故答案为：x＝3． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 2．（2024春•镇海区校级期末）若关于x的分式方程2有增根，则a的值为 　4　 ． 【分析】方程两边同时乘（x﹣3），把分式方程转化为整式方程，解出这个方程的解，根据分式方程有增根，所以7﹣a＝3，从而求出a的值． 【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3）得：x+1＝2（x﹣3）+a， 解得：x＝7﹣a， ∵方程有增根， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴7﹣a＝3， ∴a＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了分式方程的增根，把分式方程转化为整式方程是解题的关键，注意去分母时，没有分母的项2也要乘（x﹣3）． 3．（2024春•海曙区期末）小颖在解分式方程2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是　1　 ． 【分析】由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，分式方程去分母转化为整式方程，把x＝3代入计算即可求出所求． 【解答】解：去分母得：x﹣2＝△+2（x﹣3）， 由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入整式方程得：△＝1． 故答案为：1． 【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 4．（2025•衢江区一模）解分式方程：1． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x+1＝x﹣2， 解得：x＝﹣3， 经检验x＝﹣3是分式方程的解． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 5．（2024春•江干区校级期末）已知关于x的分式方程． （1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求m的值． 【分析】（1）把m＝﹣1代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【解答】解：（1）把m＝﹣1代入分式方程得：2， 整理得：2， 去分母得：2＝x﹣2（1﹣x）， 去括号得：2＝x﹣2+2x， 移项、合并同类项得：3x＝4， 解得：x， 检验：把x代入得：1﹣x0， ∴x是分式方程的解； （2）分式方程变形得：2， 去分母得：﹣2＝mx﹣2（x﹣1），即（m﹣2）x＝﹣4， 若m﹣2＝0，即m＝2时，此方程无解，即分式方程无解； 若m﹣2≠0，即m≠2时， ∵分式方程无解， ∴x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程得：m＝﹣2， 综上所述，m＝2或﹣2． 【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 巩固训练 6．（2024秋•苍南县校级月考）方程的解为 　x＝4　 ． 【分析】先把方程两边同时乘以最简公分母（x﹣1）（2x+1）把方程化为整式方程，求出x的值再代入最简公分母进行检验即可． 【解答】解：方程两边同时乘以最简公分母（x﹣1）（2x+1）得， 2x+1＝3（x﹣1）， 解得x＝4， 检验：当x＝4时，最简公分母（x﹣1）（2x+1）≠0， 故原方程的解为x＝4． 故答案为：x＝4． 【点评】本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要先把分式方程化为整式方程，求出未知数的值后代入最简公分母检验． 7．（2025•镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 【分析】先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【解答】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴， 方程的两边同乘（x﹣1）得：2x＝m+5（x﹣1）， 解得：m＝﹣3x+5， ∴m＝﹣3×1+5＝2， 故选：D． 【点评】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键． 8．（2024春•义乌市月考）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗．若，则x的值为 　1　 ． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【解答】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：x+x+1＝3， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入得：x（x+1）≠0， ∴分式方程的解为x＝1． 故答案为：1． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 9．（2024春•莲都区期末）（1）解方程组：； （2）解方程：． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）， ①+②得：7x＝21， 解得：x＝3， 将x＝3代入①得：12﹣y＝14， 解得：y＝﹣2， 故原方程组的解为； （2）原方程去分母得：2﹣x＝﹣1﹣2x+6， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x﹣3＝0， 则x＝3是分式方程的增根， 故原方程无解． 【点评】本题考查解分式方程及二元一次方程组，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键． 题型七　分式方程解应用题 例题： 1．（2025•温州一模）小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设第一次购买时该药品的单价为x元/盒，则第二次购买时该药品的单价为（x﹣5）元/盒，根据小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次多买了2盒，列出分式方程即可． 【解答】解：设第一次购买时该药品的单价为x元/盒，则第二次购买时该药品的单价为（x﹣5）元/盒， 由题意得：2， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 2．（2025•镇海区校级模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 　11　 天． 【分析】设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的速度的倍，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设规定时间为x天， 由题意得：， 解得：x＝11， 经检验，x＝11是原方程的解，且符合题意， 即规定时间为11天， 故答案为：11． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键． 3．（2024秋•台州期末）某快递公司为了提高分拣效率，自主设计了全套自动化分拣设备（如图），该设备每小时分拣的快件量是1个分拣员每小时分拣的快件量的150倍．经过测试，该设备分拣75000件快件所用时间，比1个分拣员分拣1000件快件所用时间少1小时．1个分拣员每小时分拣多少件快件？ 【分析】设1个分拣员每小时分拣x件，则用设备分拣每小时可分拣150x件，再根据“该设备分拣75000件快件所用时间，比1个分拣员分拣1000件快件所用时间少1小时”建立方程，然后解方程求出x的值，由此即可得出答案． 【解答】解：设1个分拣员每小时分拣x件，则用设备分拣每小时可分拣150x件， 依题意得：， 解得x＝500， 经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意， 答：1个分拣员每小时分拣500件． 【点评】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． 巩固训练 4．（2025•浙江一模）马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为42公里，在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早30分钟，若乙的平均速度为x km/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据时间＝路程÷时间和题意，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， ， 即， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程， 5．（2024秋•路桥区期末）某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元． 水果店 销售方式 质量 单价 甲 不分类 400千克 25元/千克 乙 小果 免费 中果 240千克 大果 （1）乙店大果和中果的售价各是多少元/千克？ （2）求乙店小果的质量； （3）若甲店先以a元/千克的批发价售卖b千克的葡萄，再以（a+1）元/千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若a，b均为正整数，求a，b的值． 【分析】（1）根据“用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克”列方程求解； （2）根据“当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元”列方程求解； （3）根据“总售价恰好与乙店相等”列方程求解． 【解答】解：（1）设乙店中果的售价是x元/千克， 则：， 解得：x＝24， 经检验：x＝24是原分式方程的解， ∴x＝30， 答：乙店大果的售价为30元/千克，中果的售价是24元/千克； （2）设乙店的大果有y千克， 则：30y+24×240﹣25×400＝260， 解得：y＝150， ∴400﹣150﹣240＝10， 答：乙店小果的质量为10千克； （3）由题意得：ab+（a+1）（400﹣b）＝400×25+260， 方程可化为：b＝400a﹣9860， ∵a，b均为正整数，b≤400， ∴a＝25，b＝140． 【点评】本题考查了分式方程、一元一次方程份应用，找到相等关系是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$