类型4 二次函数的几何定义(讲册)-初中数学一点通之函数系列

●●●●● 第五专题函数与几何综合凸 当y=0时，-x2+2x+3=0,解得x=3或-1， .B点坐标(3,0) 设直线BC的解析式为y=kx十b, 把B(3,0)和C(0,3)代入解析式， 3k+b=0, k=-1, 可得 解得 b=3, b=3. '.直线BC的解析式为y=一x+3, 抛物线的对称轴是x=1, .当x=1时，y=-1十3=2， .当MA+MC的值最小时，点M的坐标是(1,2). 区类型四二次函数的儿何定义 01 方法技巧 二次函数的图象是抛物线，其本身还具有这样的性 质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线 的距离始终相等.这个点称为抛物线的焦点，这条直线称 为抛物线的准线.对于抛物线y=ax2,焦点坐标为 (o,),准线为直线y=一。焦点一般会用字母F表 示.面且二次项系数很多时候是子，只是为了焦点坐标便 于计算.至于形如y=ax+bx十c的抛物线可化为顶点 学习笔记 式y=a(x一h)2十k,然后通过由y=ax2平移来确定焦 点和准线. 89 初中数学重难点问题一点通 ●●s步● 例如：(1)已知动点M(x,y)到定点A(0,4)的距离与 到定直线y=一4的距离相等，请写出动点M形成的抛物 线的解析式。 ◆A(0,4) M' 解：由题意得： MA=(x-0)+(y-4)2=√x2+(y-4), 过点M作MB垂直于直线y=一4，垂足为点B, 则MB=|y-(-4)=1y+4: .MA=MB,即/x2+(y-4)2=|y+4|, 两边平方，化简得一君 故M点形成的抛物线的解析式为y= x 161 (2)若点D的坐标是(1,8)，在(1)中求得的抛物线上 是否存在点P,使得PA十PD最短？若存在，求出点P的 坐标，若不存在，请说明理由。 D(1,8) A(0,4) 学习笔记 解：过P点作PQ垂直于直线y=一4，则PA=PQ, 90 ●●●●● 第五专题 函数与几何综合凸 故求PA十PD最短，即求PQ十PD最短， 过点D作直线y=一4的垂线，与抛物线交点即为P 点，垂足为Q, D(1.8) A(0.4) =一4 0 此时PQ+PD最短，PA+PD=PQ+PD=DQ=12, 为最小值， 此时P点坐标为，) 02 精题精讲 @1.如图，点P为抛物线y=子2上一动点。 1)若抛物线y=x是由抛物线y=}(x+22-1 通过图象平移得到的，请写出平移的过程 (2)若直线I经过y轴上一点N,且平行于x轴，点N 的坐标为(0，一1)，过点P作PM⊥1，垂足为点M ①问题探究：如图1，在对称轴上是否存在一定点F, 使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存 在，请说明理由. ②问题解决：如图2，若点Q的坐标为(1,5)，求QP+ PF的最小值 学习笔记 图 图2 91 初中数学重难点问题一点通 ●●s步● 【解析】解：)：抛物线y=4x+2)2-1的顶点为 (-2,-1), “抛物线y=（x+2)2-1向右平移2个单位，再向 4 上平移1个单位得到抛物线y一， (2)①存在一定点F,使得PM=PF恒成立 过点P作PB⊥y轴，垂足为点B,设P点坐标为 (a.ja). :.PM-PF-iq+1. 在Rt△PBF中，PB=|a|, r=m-B-Ga+1)-=a-, 0f=0B-Bf=a-a2-1=1, .当F点坐标为(0,1)时，PM=PF恒成立。 ②由①可得PQ+PF=PQ+PM, 当Q、P、M三点共线时，PQ十PM有最小值. 过点Q作QM⊥I,垂足为点M,交抛物线于点P, 学习笔记 此时PQ+PM=QM=5-(-1)=6, 故QP+PF的最小值为6. 92 年0年●● 第五专题 函数与几何综合凸 例2.如图，在平面直角坐标系中有一抛物线y1= ax2,且抛物线经过点(2a-1,1),y轴上有一定点F,其坐 标为0，)，直线1的解析式为y:=一是，在抛物线上有一 动点P,连接PF,并过点P作PN⊥I. (1)求抛物线的函数解析式 (2)求证：PF=PN. (3)直角坐标系中有一点E(2,5),试问当动点P位于 何处时，PE十PF有最小值，并求出最小值： 【解析】解：(1)抛物线经过点(2a一1,1)， ∴.a(2a-1)2=1,解得a=1, 故抛物线的解析式为y=x2, (2)设点P坐标为(x,x),点F坐标为0，) 则m=x-+=(+-+ PN=x2+4: .PF=PN. (3)22=45, ∴.点E(2,5)在抛物线y=x2上方. 过E作直线1的垂线，交抛物线于P点，交I于N点， 学习笔记 93 初中数学重难点问题一点通 ●●每5● 此时点P坐标(2,4)， 当E、P、N三点共线时PE十PF有最小值， PE+PF-PE+PN-EN-5-(-1)-21. 区类型五 铅垂法面积最值问题 01方法技巧 1,基本方法，如图，A、B两点之间的水平距离为“水 平宽”：过点C作x轴的垂线与AB交点为D,线段CD即 为AB边的“铅垂高”.则SA= 水平宽×铅垂高 D: 水平宽 公式推导如下：利用“割补法”，过C作x轴的垂线交 AB于D,过点A,B分别作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别 为E、F, D 则有S△AC=S△ACD十S△D 学习笔记 2CD·AE+2CD·Br 2CD(AE+BF). 94