类型3 PA+PB求最小值(讲册)-初中数学一点通之函数系列

色0●色 第五专题 函数与几何综合凸 (2)在抛物线对称轴1上找一点M,使|MB一MC的 值最大，并求出最大值 1 【解析)解：(1)将A(0,3),C(-3,0)代入y=2x+ bx+c, c=3, 5 b= 可得9 解得 2 2 -3b+c=0, c=3. 六抛物线的解析式是y= 2+3. (2)将直线y=2x+3表达式与二次函数表达式联立 并解得x=0或一4， A(0,3), ∴.B(-4,1) ①当点B、C、M三点不共线时，|MB一MC<BC, ②当点B、C、M三点共线时，IMB-MC|=BC, ∴，当点B、C、M三点共线时，|MB一MC取最大值， 即为BC的长， 过点B作BE⊥x轴，垂足为点E, 在Rt△BEC中，BC=√BE2+CE=√2， ∴.MB-MC取最大值为√2. 类型三PA十PB求最小值 01 方法技巧 学习笔记 如图，A、B为定点，P为I上一动点，试求PA十PB 85 初中数学重难点问题一点通 参参香香通 的最小值 【解析】根据三角形两边之和大于第三边，PA十PB≥ AB,当A、B、P三点共线时，取等号为最小值，所以连接 AB与I的交点即为所求点。 02 精题精讲 例L.如图，二次函数y=ax2十bx十c的图象与x轴 交于A、B两点，其中A的坐标为（一1,0），与y轴交于点 C(0,5),并经过点(1,8)，M是它的顶点. (1)求二次函数的解析式 (2)用配方法将二次函数的解析式化为y=(x一 h)2十k的形式，并写出顶点M的坐标 (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使PA十 PC的值最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明 理由， B 【解析】解：(1)，二次函数y=ax2十bx十c的图象经 过A(-1,0)、C(0,5)、(1,8), 学习笔记 a-b十c=0, a=-1, 则有a十b+c=8,解得b=4, c=5, c=5. 86 色0每●色 第五专题 函数与几何综合凸 ∴.抛物线的解析式为y=一x2+4x十5. (2).y=-x2+4x+5=-(x2-4x+4)+5+4= (x-2)2+9, .二次函数的解析式化为y=一(x一2)2+9， .顶点M的坐标为(2,9). (3)存在.理由如下： 连接BC交对称轴于P,连接PA, A、B两点关于对称轴对称， ∴.PA=PB,此时PA十PC的值最小. 由y=-x2+4x+5=-(x-5)(x+1)可知，A(-1, 0)、B(5,0), B(5,0)、C(0,5), ∴.可设直线BC的解析式为y=mx十n(m≠O), 5m+n=0, m=-1, 则有 解得 n=5, n=5. .直线BC的解析式为y=-x+5. 抛物线的对称轴x=2, ∴.P点坐标(2,3) 例2.如图，已知抛物线y=一x2+mx十3与x轴交 于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，抛 3 物线与直线y= x+3交于C,D两点，连接BD、AD. (1)求m的值. 学习笔记 (2)抛物线上有一点P,满足S△P=4SAD,求点P 的坐标。 87 初中数学重难点问题一点通 参色香香通 (3)点M是抛物线对称轴上的点，当MA+MC的值 最小时，求点M的坐标. 【解析】解：(1)抛物线y=一x2+x+3过点(3,0)， .-9十3m十3=0， .m=2. y=-x2+2x+3, x=0, t之 (2) 或 y= 3 解得 2x+3, y=3, 、9 六C点坐标03》，D点坐标（经，》， :'S△ABP=4S△ABD, 日ABXIP,=4X号ABX是 .|P,=9,即Py=士9， 当y=9时，-x2+2x+3=9,即x2-2x十6=0， .4=4-4×6<0, 此方程无实数解， 当y=-9时，-x2+2x十3=-9，即x2-2x-12=0, 解得x1=1十√13，x2=1-√13， ∴.P(1+√13，-9)或(1-√13，-9)： (3)由(1)知：抛物线的解析式y=一x2十2x十3， 学习笔记 .抛物线的对称轴是x=1, ,点A与点B关于直线x=1对称， 连接BC交对称轴x=1于点M,点M即为所求， 88 ●0色00 第五专题函数与几何综合凸 当y=0时，-x2+2x十3=0，解得x=3或-1， .B点坐标(3,0)， 设直线BC的解析式为y=kx十b, 把B(3,0)和C(0,3)代入解析式， 3k+b=0, k=1, 可得 解得 b=3, b=3. ∴.直线BC的解析式为y=一x十3， 抛物线的对称轴是x=1, .当x=1时，y=-1+3=2, ∴.当MA+MC的值最小时，点M的坐标是(1,2) 区类型四二次函数的几何定义 01 方法技巧 二次函数的图象是抛物线，其本身还具有这样的性 质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线 的距离始终相等.这个点称为抛物线的焦点，这条直线称 为抛物线的准线.对于抛物线y=ax2,焦点坐标为 (Q,),准线为直线y=一a焦点一般会用字母F表 示.而且二次项系数很多时候是子，只是为了焦点坐标便 于计算.至于形如y=ax2十bx十c的抛物线可化为顶点 学习笔记 式y=a(x一h)2十k,然后通过由y=ax2平移来确定焦 点和准线， 89