类型1 反比例函数的概念&类型2 反比例函数的图象与性质(讲册)-初中数学一点通之函数系列

●●●●● 第四专题 反比例函数凸 第四专题 反比例函数 学习目标〈。 ①理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例 函数的解析式。 ②会画反比例函数图象，能根据图象和解析式探索并理 解其基本性质， ③利用待定系数法确定反比例函数的解析式， ④熟悉反比例函数与图形的面积问题， ⑤能用反比例函数解决简单实际问题. 类型梳理 区类型一 反比例函数的概念 O1方法技巧 1.反比例函数的概念.一般地，形如y=《(k是常数， 1 k≠0)的函数叫做反比例函数.其中x是自变量，y是x的 函数，k是比例系数，自变量x的取值范围是不等于0的 一切实数。 2.反比例函数的形式.①y=冬：@y=kx:③y=大 (k≠0) 学习笔记 3.反比例函数的判定.①k≠0：②x的次数是一1. 初中数学重难点问题一点通 ●●s步● 02 精题精讲 @1,若y=(a+1)x2是反比例函数，则a的值 为( A.1 B.-1 C.±1 D.任意实数 【解析】答案：A. :函数y=(a+1)xa-2是反比例函数， x的次数为一1，且系数不为0， 即a2-2=-1,且a+1≠0， ∴.a=1. 故选A. @2.下列函数中，y是x的反比例函数的是( ②y=2 X ①y=- =-3:④xy=4. A.①②@ B.①③ C.①④ D.②④ 【解析】答案：D ①y=- 3x是正比例函数： 3 ②y=二2是反比例函数： 5-3即y= 3x,y是x的正比例函数： ④xy=4是反比例函数. 故选D 区类型二 反比例函数的图象与性质 0方法技巧 学习笔记 反比例函数 k(k是常数且k≠0) k的符号 k>0 k<0 56 ●●●●● 第四专题 反比例函数凸 (续表) 图象 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两 个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限.由于 反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以它的图 象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支 无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴 函数图象在第一、三象 函数图象在第二、四象限， 限，在每个象限内，y 在每个象限内，y随x的 性质 随x的增大而减小(y 增大而增大(y随x的减 随x的减小而增大) 小而减小) 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图 对称性 形.其有两条对称轴：直线y=x和y=一x:对称中 心是原点 02 精题精讲 @1.对于反比例两数y=是，下列说法不正确的 是( A.图象分布在第二，四象限 B.当x>0时，y随x的增大而增大 C.图象经过点(1，一2) D.若点A(x1,x2),B(x,y2)都在图象上，且x1< x2,则y1<yg 【解析】答案：D. 学习笔记 A.k=-2<0, .它的图象在第二、四象限，故本选项正确： 57 初中数学重难点问题一点通 ●●s步● B.k=一2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本 选项正确： 2 =-2 ∴.点(1，一2)在它的图象上，故本选项正确： D.点A(xy),Bxy)都在反比例函数y=-召 的图象上， 若x1<0<x2,则y1>y2,故本选项错误. 故选D 圆2.若点A(a-1,y)、B(a+1y2)在反比例函数 y=大(k<0)的图象上，且y>y,则a的取值范围是 A.a<-1 B.-1<a<1 C.a>1 D.a<-1或a>1 【解析】答案：B ,k<0, .在图象的每一支上，y随x的增大而增大， ①当点(a-1,y)、(a+1,y2)在图象的同一支上， 'y1>y .a一1>a十1，此不等式无解； ②当点(a一1，y1)、(a+1,y2)在图象的两支上， y>y2 .a-1<0,a+1>0,解得-1<a<1. 故选B, 例3.如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上， 学习笔记 3 ∠BCA=90°.AC=BC=2,2,反比例函数y=(x>0) 的图象分别与AB、BC交于点D、E.连接DE,当△BDE∽ 58 ●●●● 第四专题反比例函数凸 △BCA时，点E的坐标为 【鲜折答案（侵22 “点D,E是反比例函数y=是(x>0)的图象上的 两点， :设点D的坐标为m,品》，点E的坐标为m,》 ,∠BCA=90°，AC=BC=22, .C(n,0)、B(n,22)、A(n-22,0). 设直线AB的解析式为y=ax十b, a(n-22)+b=0, a=1, 则 解得 an+b=22, b=2√2-n. .直线AB的解析式为y=x十2，W2一n. ,'△BDE△BCA, .∠BDE=∠BCA=90°， 直线y=x与直线DE垂直， ∴.点D、E关于直线y=x对称， 学习笔记 3+3 m+n-m十n 2 2， 59 初中数学重难点问题一点通 ●参每步● ∴.mn=3,或m+n=0(舍去). ,点D在直线AB上， 3 =m十22-n,mn=3, m 整理可得2n2-2√2n一3=0， 解得n=3 2或n=- 会去. ∴点E的坐标是（经22） 区类型三 反比例函数解析式的确定 01) 方法技巧 1.待定系数法.确定反比例函数解析式的方法仍是待 定系数法，由于在反比例函数y=(k≠0)中，只有一个 待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐 标，即可求出k的值，从而确定其解析式 2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤。 （1设反比例函数解析式为y一女k≠0》。 (2)把已知一对(x,y)的值代入解析式，得到一个关于 待定系数k的方程」 (3)解方程求出待定系数k,并将所求系数k的值代 回所设的函数解析式。 3.反比例函数中k的几何意义： (1)同一象限内运用k的几何意义。 学习笔记 ①设P为反比例函数y套(k≠0)上任意一点过点 P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B,则S矩彩m= OA·AP=x·y=|k. 60