类型6 利用二次函数解决实际问题(讲册)-初中数学一点通之函数系列

初中数学重难点问题一点通 。。 '.函数图象与x轴交点坐标为(0.0)(3,0) .将C.绕点A:旋转180*}得C,交x轴于点A。;将 C.绕点A。旋转180得C.交x轴于点A。;......如此进 行下去,直至C. '.C。的图象与x轴交点横坐标为(36,0)(39,0),目 图象在x轴上方, '.C。的解析式为y=-(x-36)(x-39). 当x-37时,y--(37-36)(37-39)-2. 故答案为m-2. 6.已知抛物线v=x^{-2x-3与x轴交于A.B$ 两点(点A在点B左边),若将此抛物线绕点A沿顺时针 方向旋转180{,则旋转所得的抛物线对应的函数关系式为 【解析】答案:y=-x2-6x-5. “.y=x2-2x-3-(x+1)(x-3). .A(-1.0).B(3,0). '.AB-4.可得旋转后点的坐标(-1,0),(-5,0). '旋转所得抛物线为y=-(x十1)(x十5)=-x②- 6x-5. 故答案为y--x-6x-5. 类型六 利用二次函数解决实际问题 方法技巧 用二次函数解决实际问题的一般步骤如下 (1)设:设定题目中的两个变量,一般是设x为自变 量,v为x的函数 学习笔记 (2)列:根据题目中的等量关系,列出函数解析式 (3)定:根据数学意义和实际意义确定自变量的取值 范围. 第三专题 二次函数 。.. (4)解:利用相关性质解决问题 (5)答:检验后写出合适的答案 精题精讲 1.某公司经销一种绿茶,每千克成本为50元,市 场调查发现,在一段时间内,销售量w(千克)随销售单价 x(元/千克)的变化而变化,具体关系式为w三一2x十240. 设这种绿茶在这段时间内的销售利润为v(元),解答下列 问题: (1)求v与x的关系式 (2)当x取何值时,v的值最大? (3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于 90元/千克,公司想要在这段时间内获得2250元的销售 利润,销售单价应定为多少? 【解析】解:(1)v-(x-50)·w -(x-50)·(-2x+240) --2x2+340x-12000. (2)y--2x2+340x-12000 --2(x-85)*+2450. .当x一85时,v的值最大. (3)当y-2250时,可得方程-2(x-85)②+2450- 2250. 解得x-75,x×-95. 根据题意,×。一95不合题意,应舍去. '.销售单价应定为75元/千克 2.中考期间防疫部门为了解学生错峰进入考点进 行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进入考 学习笔记 点的累计人数v(人)与时间x(分钟)的变化情况,数据如 下表:(表中9~15表示9x15) 初中数学重难点问题一点通 各 时间 4 5 6 7 8 9 9~15 x(分钟) 人数 0 170320 450 560650 720 770 800 810 810 y(人) (1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时 间的变化规律,利用初中所学函数知识求出v与x之间的 函数关系式 (2)如果考生一进考点就开始测量体温:体温检测点 有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体 温,求排队人数最多时有多少人?全部考生都完成体温检 测需要多少时间? (3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生 完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点? 【解析】(1)由表格中数据的变化趋势可知 ①当0x9时,v是x的二次函数 “.当x-0时,y-0. .二次函数的关系式可设为v一ax②}十bx. 170-a十b. [a--10. 由题意可得 解得{ 450-9a+3b, b-180. .二次函数关系式为y=-10x②+180x. ②当9<x<15时,y-810. .v与x之间的函数关系式为 -10x+180x(0x9). 810 (9<15). (2)设第x分钟时的排队人数为w; 由题意可得 学习笔记 (-10x②+140x(0x<9). w-y-40x- 810-40x (9x15). ①当0<x<9时,w=-10xr^}+140x=-10(x-$ 第三专题 二次函数 。.8 7)十490. ·当x一7时,w的最大值等于490 ②当9 x15时,w=810-40x·w随x的增大而 减小. .'.210w450. ..排队人数最多时是490人: 要全部考生完成体温检测,根据题意得810一40x-0. 解得x-20.25. '.排队人数最多时有490人,全部考生完成检测需 20.25分钟. (3)设从一开始就应该增加m个检测点: 11 由题意得12×20(m+2)>810,解得m> 8 .m是整数. ..一开始就应该至少增加2个检测点. 3.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型 图案,按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用 ax}十+bx(a关0)表示.已知抛物线上B、C两点到地面的 (1)求该抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地 面的距离; (2)若该墙的长度为10m,则最多可以连续绘制几个 这样的抛物线型图案? wT #__ 学习笔记 初中数学重难点问题一点通 各. B(3)-(#3), 【解析】(1)根据题意得 代入抛物线的函数关系式得 3 4' a--1, 解得 b-2. 故该抛物线的函数关系式为y=-x^{}+2x. :y=-x+2x=-(x-1)+1, ·抛物线的顶点坐标为(1,1). ·图案最高点到地面的距离为1m (2)由题意,令=-x②+2x=0,解得x.=0,x-2 '.抛物线与x轴两个交点的坐标为(0,0)和(2,0) 即两个交点之间的距离为2 '.最多可连续绘制这样的抛物线型的个数为10-2 5(个). 4.已知抛物线y=ax{}十bx十c与x轴交于A(-1. 0).B(5,0)两点,C为抛物线的顶点,抛物线的对称轴交 ,如图所示. (1)求抛物线的解析式 (2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点,①过点P 作x轴的平行线交线段BC于点E,过点E作EF1PE交 抛物线于点F,连接FB、FC,求△BCF的面积的最大值; ) 学习笔记 第三专题 二次函数 。.。 【解析】(1)根据题意,可设抛物线的解析式为y一 a(x十1)(x-5). .抛物线的对称轴为直线x-2 ..D点坐标为(2,0). 4 CD .tanCBD- 3BD ..CD=BD·tan CBD=4,即C点坐标为(2,4) 代人抛物线的解析式得4一a(2十1)(2-5). A 解得a一- 。# .二次函数的解析式为y一一 (2)①设P(2,t).其中0 t 4.设直线BC的解析式 为y-kx十b. 4 [0-5k+b. 3. .可得 解得 4-2k+b. 20 b- 3 20 即直线BC的解析式为v一一 3_ 3。 .点E(5-3.t). 9 (x十1)(x-5),得y= #2-).# 即#(5-3#,2t-).# 学习笔记 .EF(2-)1- 初中数学重难点问题一点通 各. '.S△BCF ·EF·BD ##。 -3(#) 2 ②如图,连接AC,根据图形对称性得ACD= BCD,AC-BC-5. / /G. .sin ACD-AD3. AC5 过点P作PGAC,垂足为点G. 则在Rt△PCG中,PG=PC·sin ACD= PC+PB-PG+PB. 过点B作BH .AC,垂足为点H,则PG十PB BH “'SA- 学习笔记 24 5