类型5 二次函数图象的几何变化(讲册)-初中数学一点通之函数系列

●000每 第三专题二次函数凸 【解析】答案：0<x<3, .'抛物线y=ax2十bx与直线y=kx相交于O(0,0) 和A(3,2)两点， .关于x的不等式ax2十bx<kx的解集是0<x<3. 例5.如图是二次函数y=ax2+bx十c的部分图象， 由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是(). A.-1<x<5 B.x>5 C.x<-1 D.x<-1或x>5 【解析】答案：A, 由图可知，对称轴为直线x=2, 抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（一1,0）， 抛物线开口向下， ∴.不等式ax2+bx+c>0的解集是一1<x<5. 故选A. 区类型五二次函数图象的儿何变化 01 方法技巧 L.二次函数图象的平移.函数y=a(x+m)2+k的 学习笔记 图象，可以由函数y一ax2的图象先向右（当m<0时）或 向左（当m>0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时） 初中数学重难点问题一点通 色色海香通 或向下（当k<0时）平移k|个单位得到. 归纳：左加右减，上加下减（左右移动为m,上下移动 为k) 2.与二次函数图象有关的对称 ①关于x轴对称： y=ax2+bx十c,x不变，y变成-y,得到的解析式为 y=-ax2-bx-c; y=a(x一h)2+k,x不变，y变成-y,得到的解析式 为y=-a(x-h)2-k; ②关于y轴对称： y=ax2+bx十c,y不变，x变成-x,得到的解析式为 y=ax2-bx+c; y=a(x一h)2+k,y不变，x变成-x,得到的解析式 为y=a(x十h)2+k; ③关于原点对称： y=ax2+bx十c,x和y都变成相反数，得到的解析式 为y=-ax2+bx-c: y=a(x一h)2+k,x和y都变成相反数，得到的解析 式为y=-a(x十h)2-k: 归纳：根据对称的性质，在求二次函数的对称抛物线 表达式时，选择合适的形式，先确定原抛物线的顶点坐标 及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方 向，最后写出其对称抛物线的表达式： 3.二次函数图象的旋转.一般情况下二次函数旋转主 学习笔记 要涉及180°，当绕原点旋转180°时，顶点坐标的横、纵坐标 的符号和a的符号与原来相反；当绕顶点旋转180时，顶 点坐标不变，a的符号与原来相反。 ●0●●0 第三专题二次函数山 02 精题精讲 例1.抛物线y=x2十4x十3可由抛物线y=x2如何 平移得到(). A.先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 B.先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度 C.先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度 D.先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 【解析】答案：A. 抛物线y=x2+4x十3=(x+2)2一1，所以将抛物线 y=x2先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位 长度。 故选A. 例2.在平面直角坐标系中，抛物线y=(x十5)(x 3)经变换后得到抛物线y=(x十3)(x一5)，则这个变换可 以是(). A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度 C.向左平移8个单位长度 D.向右平移8个单位长度 【解析】答案：B 抛物线y=(x十5)(x一3)的顶点坐标是(-1，一16)， 抛物线y=(x十3)(x一5)的顶点坐标是(1，一16)， 故向右平移2个单位长度。 故选B 例3.在平面直角坐标系中，抛物线y=3x2+(2m 学习笔记 1)x+2m-4与y=3x2一(3m+n)x+n关于y轴对称， 则符合条件的m,n的值为( 45 初中数学重难点问题一点通 参参香香通 Am=号n=- 18 B.m=5,n=-6 C.m=-1,n=6 D.m=1,n=-2 【解析】答案：D. 根据抛物线y=ax2+bx十c关于y轴对称，则y不 变，x变成一x, 2m-1=3m+n, m=1, 可知 解得 2m-4=n, n=-2. 故选D, 例4.抛物线y=ax2+bx十c(a,b,c是常数，a> 0),顶点坐标为 侵m,给出下列结论：①若点(，y)与 (侵-2m,在该抛物线上，当n<号时，则<%：©关 于x的一元二次方程ax2-bx十c一m+1=0无实数解， 那么( ). A.①正确，②正确 B.①正确，②错误 C.①错误，②正确 D.①错误，②错误 【解析】答案：A ①顶点坐标为（侵m,n<, ∴点(n,y)关于抛物线的对称轴x=2的对称点为 (1-n,y1) ∴点1-n)与号-2m,y)在该抛物线上， :1-)-(侵-2m)=n-2<0, 1-n<号-2n, 学习笔记 .a>0, 当>时，y随x的增大而增大， 46 ●00●0 第三专题二次函数凸 ∴y<y2,故正确； ②把号，m)代人y=ax+bc十e中，得m=a+ b+e. :对称轴x=一 2a2 ∴.b=-a, ∴.a+b=0, ∴.一元二次方程ax2-bx+c-m十1=0中， △=b2-4ac+4am-4a -b'-dac+4a(ja+jb+e)-4a =(a+b)2-4a =02-4a =-4a<0, ,∴.一元二次方程ax2一bx+c一m+1=0无实数解， 故正确。 故选A. 例5.如图所示，一段抛物线：y=一x(x一3)(0≤ x≤3)，记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋 转180得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得 C,交x轴于点A3；…如此进行下去，直至C3.若 P(37,m)在第13段抛物线C13上，则m= 学习笔记 【解析】答案：2. ,0≤x≤3， 47 初中数学重难点问题一点通 参参香香通 ∴.函数图象与x轴交点坐标为(0,0)(3,0)， ,将C1绕点A1旋转180得C2,交x轴于点A2:将 C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;…如此进 行下去，直至C3. .C13的图象与x轴交点横坐标为(36,0)(39,0)，且 图象在x轴上方， .C13的解析式为y13=一(x一36)(x-39), 当x=37时，y=-(37-36)(37-39)=2. 故答案为m=2. 例6.已知抛物线y=x2-2x一3与x轴交于A,B 两点（点A在点B左边），若将此抛物线绕点A沿顺时针 方向旋转180°，则旋转所得的抛物线对应的函数关系式为 【解析】答案：y=-x2-6x一5. :y=x2-2x-3=(x+1)(x-3), .A(-1,0),B(3,0), .AB=4.可得旋转后点的坐标（一1,0），（一5,0）， .旋转所得抛物线为y=一(x+1)(x十5)=一x2一 6x-5. 故答案为y=-x2-6x一5. 区类型六利用二次函数解决实际问题 01方法技巧 用二次函数解决实际问题的一般步骤如下， (1)设：设定题目中的两个变量，一般是设x为自变 量，y为x的函数 学习笔记 (2)列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式 (3)定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值 范围。 48