类型4 二次函数与方程、不等式的关系(讲册)-初中数学一点通之函数系列

初中数学重难点问题一点通 过点(2,-3),求这个二次函数的解析式. 【解析】解:设所求二次函数解析式为y一a(x一h)*士k ·.图象的顶点为(1,一4) .h-1,k--4. ·.二次函数图象经过点(2,一3). .'.可列方程a(2-1)-4--3,解得a=1. .二次函数的解析式为y-(x一1)②-4 类型四 二次函数与方程、不等式的关系 方法技巧 1.二次函数与方程.二次函数y三ax②}十bx十c(a子 0).当v的值为0时,就得到一元二次方程ax}十x士c o(a0),即求方程的解,也就是求二次函数y一ax{十 bx士c的图象与x轴交点横坐标,对于方程ax{}十bx十 c一0的解有以下3种情况: ①抛物线与x轴有两个交点一b一4ac>0一方程 ax十bx十c-o有两个不相等的实数根(x.十x。=一 , x·-_). ②抛物线与x轴有一个交点一b{一4ac一0一方程 ax②}+bx十c一0有两个相等的实数根 ③抛物线与x轴无交点→b②}-4ac<0→方程ax^{}十 bx十c一0无实数根. 2.二次函数与不等式 (1)ax{}十bx十c>0的解集可以看作函数v=ax^{}+ bx十c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值 学习笔记 范围. (2)ax{}十bx十c<o的解集可以看作函数y-ax{②}十 bx士c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围 第三专题 ...8 二次函数 3.三者之间的内在联系.(a>0为例) △-b-4ac △>0 △-0 △<0 #### 二次函数的图象 y=ax2+bx+c 一元二次方程的根 -b士A x一 X1,2 无实数根 2a ax*+bx+c-0 2a 元二次不等式的解集x<x.或x>x。 b x为全体 x去一 2a ax+bx+c>o (x.<x) 实数 一元二次不等式的解集 ×.<xx 无解 无解 ax^{}十bx十c<o (x.x。) 精题精讲 1.抛物线v=x*十3x-1与坐标轴的交点个数为 。 ). A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】答案:D 由方程x*}+3x-1-0,得b^2-4ac=3-4x1$ (-1)-13. 所以方程x^{}十3x-1-0有两个不等的实数根 即y=x②}+3x-1的图象与x轴有两个交点. 又因为c三-1.所以抛物线与v轴交于(0,-1) 故抛物线与坐标轴有三个交点 故选D. 2.二次函数y=ax{}十bx的图象如图,若一元二 次方程ax{②}十bx十m=0有实数根,求m的取值范围 学习笔记 41 初中数学重难点问题一点通 【解析】解:.二次函数的图象开口向上,顶点纵坐标 为-3. 4ac-b2}-b^{ .ao. 4a ---3,即b2-12a. 4a ·.一元二次方程ax{}十bx十m=0有实数根 ',△-b2}-4am>0,即12a-4am>0,解得m<3.$ .'.n的取值范围为m3 3.二次函数y一x②十bx的图象如图,其对称轴为 直线x-1.若关于x的一元二次方程x*十bx-1=0(1为 实数)在一1 x4的范围内有解,求1的取值范围 #### 【解析】解:.二次函数v一x十bx图象的对称轴为直 线x-1, b :一2a -1,解得b--2. 2 ..二次函数解析式为v-x{-2x. 当x--1时,y-1+2-3; 当x-4时,y-16-2×4-8; 当x-1时,y-1-2--1. .x}+bx-1-0相当于v=x{②}+bx与直线y=t的 交点的横坐标, '.当1的取值范围为-1<1<8时,在-1<x<4的 范围内有解, 4.抛物线y=ax{}十bx与直线y=kx相交于 学习笔记 O(0.0)和A(3,2)两点,则不等式ax}十bx<kx的解集为 第三专题 ..。 二次函数 ##行#.#_ 【解析】答案:0<x<3. ·.抛物线y=ax{}十bx与直线y=kx相交于O(0,0) 和A(3,2)两点; '.关于x的不等式ax{}+bx kx的解集是0 x<3 5.如图是二次函数y一ax{十bx十c的部分图象. 由图象可知不等式ax^②}十bx十c>0的解集是( ). A.-1x<5 B.x5 C.x<-1 D.x<-1或x 【解析】答案:A 由图可知,对称轴为直线x一2 ·.抛物线与×轴的一个交点坐标为(5,0) '.抛物线与x轴的另一个交点坐标为(一1,0) .抛物线开口向下, '.不等式ax{}+bx十c>0的解集是-1<x 5. 故选A. 类型五 二次函数图象的儿何变化 方法技巧 1.二次函数图象的平移,函数y三a(x十m)十k的 学习笔记 图象,可以由函数v一ax{}的图象先向右(当m 0时)或 向左(当m>0时)平移m个单位,再向上(当k>0时)