精品解析：2025年河南省洛阳市洛龙区中考一模数学试题

2024-2025学年第二学期期中学科素养调研 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 《九章算数》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数和负数．若某地某日的最高气温是零上记作，则该地某日的最低气温为零下，记作（ ） A. B. C. D. 2. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A B. C. D. 4. 石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米． A. B. C. D. 5. 不等式组的正整数解可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（ ） A B. C. D. 8. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．如图，某学习小组制作了四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小夏从四张卡片中随机抽取两张，抽取两张卡片内容均为物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，单位：）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体密度 D. 当液体密度时，浸在液体中的高度 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 为表彰本学期表现优秀的同学，李老师购买了10支钢笔和15个笔记本作为奖品，其中钢笔每支元，笔记本每个元，共需支付________元． 12. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 速率平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定是_________． 13. 关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 14. 如图，AB，CD为的直径，BE与相切于点B．若，则的度数为__________． 15. 如图，在矩形中，，点在的延长线上，点在直线上，连接，若，则的最大值为 _____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高?请说明理由 (写出一条理由即可)； （3）该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名? 18. 如图，在正方形中，，点M是的中点，反比例函数的图象经过点M和点． （1）求反比例函数的解析式． （2）请用无刻度的直尺和圆规过点N作出x轴的垂线，垂足为Q，交于点P，请直接写出的长（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 19. 如图，四边形中，，平分，交于． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由． 20. 某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组进行了如下实地测量．如图，三片风叶，，两两所成的角为．小组成员在离塔底O水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角，是风叶的视角．已知三片风叶的长度均为40米． （1）当点D在上时，求点C到地面的距离；(结果精确到1米) （2）在风叶旋转过程中，求视角的最大值．(参考数据∶ ， ， ) 21. 智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 220 1 3 260 信息二 A型机器人每台每天可以分拣快递22万件； B型机器人每台每天可以分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过740万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 22. 篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． （1）小华某次定点投篮练习时，篮球水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； （2）小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 23. 综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形． （1）【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） （2）【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． （3）【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期中学科素养调研 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 《九章算数》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数和负数．若某地某日的最高气温是零上记作，则该地某日的最低气温为零下，记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．根据相反意义的量即可求得答案． 【详解】 解：∵某地某日的最高气温是零上记作， ∴该地某日的最低气温为零下，记作， 故选：C． 2. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．主视图是从正面所看到的图形，根据定义和立体图形即可得出选项． 【详解】解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是： 故选：D． 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选B． 4. 石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.3纳米米米． 故选：D． 5. 不等式组的正整数解可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．根据解不等式组的方法，可以求得该不等式组的解集，然后可得答案． 【详解】解：， 由不等式①，得， 由不等式②，得， 故原不等式组的解集是， ∴该不等式组的正整数解是4，5． 故选B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法和除法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂乘法和除法的法则是解决问题的关键．利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂乘法和除法的法则对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，选项A错误，不符合题意； B． , 选项B错误，不符合题意； C．, 选项C正确，符合题意； D． , 选项D错误，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、中位线定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的性质． 结合矩形性质可知，再由中位线定理得到的长，由勾股定理求出后即可得到． 【详解】解：矩形中，且和互相平分， ， 是的中点，是边的中点， 是的中位线， ， 矩形中，， ， ． 故选：． 8. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．如图，某学习小组制作了四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小夏从四张卡片中随机抽取两张，抽取两张卡片内容均为物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解∶四张卡片内容中是物理学变化的有：B，C． 画树状图如下∶ 共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：共2种， 小夏抽取两张卡片内容均为物理变化的概率为． 故选：C． 9. 如图，在中，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点D作于点G，利用分割法，计算面积即可． 本题考查了直角三角形的性质，三角函数的应用，扇形的面积公式，分割法计算面积，熟练掌握直角三角形的性质，扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：连接，过点D作于点G， ∵，，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， 故选：C． 10. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，单位：）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体密度 D. 当液体密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意； D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，错误，因为浸在液体中的高度不能无限大，故不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 为表彰本学期表现优秀的同学，李老师购买了10支钢笔和15个笔记本作为奖品，其中钢笔每支元，笔记本每个元，共需支付________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据钢笔每支元，笔记本每个元，可以写出李老师一共支付的钱数． 【详解】解：由题意可得： 共需支付元， 故答案为：． 12. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 速率平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是_________． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差应用，熟练掌握相关定义和性质是解题关键．根据平均数和方差的定义，结合表中数据即可获得答案． 【详解】解：根据表中数据可知，乙、丁两品种大豆光合作用速率平均数为25，大于甲和丙两品种大豆光合作用速率， 而乙品种大豆光合作用速率的方差为15.6，大于丁品种大豆光合作用速率的方差，即丁品种大豆光合作用速率的稳定性强， ∴这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是丁． 故答案为：丁． 13. 关于一元二次方程有两个相等实数根，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，AB，CD为的直径，BE与相切于点B．若，则的度数为__________． 【答案】##58度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 与相切于点， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点在的延长线上，点在直线上，连接，若，则的最大值为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查动点最值-点圆模型，涉及矩形性质、圆周角定理推论、圆外一定点与圆周上一动点距离最值、勾股定理等知识，根据题意，先确定动点轨迹，再由动点最值-点圆模型的解法转化为求线段长，最后勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-点圆模型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，， ，即， ， 点在以中点为圆心、长为半径的圆上运动，如图所示： 由动点最值点圆模型（圆外一定点与圆周上一动点距离最值问题）可知，的最大值为连接并延长交于的线段长， 在中，，则， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算及分式的混合运算，正确掌握各运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先化简的余弦，绝对值，负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先括号内通分计算分式的加法，再括号外把除法变成乘法，交换除式的分子分母并分解因式，最后算乘法即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高?请说明理由 (写出一条理由即可)； （3）该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名? 【答案】（1）82，78，20 （2）八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析 （3）名 【解析】 【分析】本题考查的是从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体； （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可. 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，78，20； 【小问2详解】 解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名． 18. 如图，在正方形中，，点M是的中点，反比例函数的图象经过点M和点． （1）求反比例函数的解析式． （2）请用无刻度的直尺和圆规过点N作出x轴的垂线，垂足为Q，交于点P，请直接写出的长（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，尺规作垂线，正方形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出反比例函数解析式． （1）根据正方形的性质求出，用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据尺规作线段垂直平分线的方法，进行作图即可，先求出，证明四边形为矩形，求出，即可得出答案即可． 【小问1详解】 解：点M是的中点，， ， 四边形为正方形， ． ． 函数的图象经过点M， ． 反比例函数的解析式． 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求． ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 19. 如图，四边形中，，平分，交于． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形判定可得四边形为平行四边形，在根据角平分线的性质及等腰三角形的判定即可求证结论． （2）利用等角对等边的性质可得，在利用等腰三角形的判定及三角形内角和即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形，， 又∵平分， ， ， ， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 又三角形内角和为， ， ， 为直角三角形． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和三角形的内角和，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 20. 某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组进行了如下实地测量．如图，三片风叶，，两两所成的角为．小组成员在离塔底O水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角，是风叶的视角．已知三片风叶的长度均为40米． （1）当点D在上时，求点C到地面的距离；(结果精确到1米) （2）在风叶旋转的过程中，求视角的最大值．(参考数据∶ ， ， ) 【答案】（1）84米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． (1) 在中，利用三角函数求出．如图(1)，过点C作于点F，过点A作于点G，则四边形是矩形，根据矩形的性质及线段的和差即可求出点C到地面的距离． (2) 作于，在中，根据，是定值，随着的增大而增大，可知当两点重合，与相切于点B时，，最大，此时最大，，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ． 如图(1)，过点C作于点F，过点A作于点G， ， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， 故点C到地面的距离约为84米． 【小问2详解】 解：作于， 在中，， 是定值， 随着的增大而增大，当两点重合，与相切于点B时，，最大，此时最大，此时， 如图(2)． 中，． ， ， 故视角的最大值为． 21. 智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 220 1 3 260 信息二 A型机器人每台每天可以分拣快递22万件； B型机器人每台每天可以分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过740万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）购买A型智能机器人7台，购买B型智能机器人3台，能使每天分拣快递的件数最多 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，及一次函数的应用． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再设每天分拣快递w件，则，根据一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单位为y元， 根据题意，得， 解得． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元． 【小问2详解】 解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， 根据题意，得， 解得． 设每天分拣快递w件，则 ， 随a的增大而增大． 当时，w有最大值．此时，． 答：购买A型智能机器人7台，购买B型智能机器人3台，能使每天分拣快递的件数最多． 22. 篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． （1）小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； （2）小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②；③能，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【小问1详解】 解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为； ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； 【小问2详解】 解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为． 23. 综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形． （1）【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） （2）【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． （3）【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 【答案】（1）是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点是的中点，可得，，且是四边形的对角线，即可证明； （2）根据等边对等角，可得，，结合即可求解； （3）分类讨论：当时，过点作于点，延长交于点，根据相似三角形判定和性质，可得，结合，即可求得相关线段的长度，设，，根据相似三角形的判定和性质，可得，即，求解即可；当时，过点作于点，结合是等腰直角三角形，根据全等三角形的判定和性质，可得，，设，，在中，运用勾股定理列式，，即，求解即可． 【小问1详解】 解：∵，点是的中点， ∴， 同理，， ∴，且是四边形的对角线， ∴ 四边形是双等腰四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当时，过点作于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，，，， 设，， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 如图，当时，过点作于点， 由②可知，， ∴，而， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 同理设，， 则，， 在中，， 即， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$