精品解析：黑龙江省哈尔滨萧红中学2024—2025学年七年级下学期4月数学试卷

萧红中学2024-2025七年级（下）数学学科教与学改进4月知识竞赛卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，解决本题的关键是根据二元一次方程组的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：方程组中的方程是不是一次方程，是二次方程，故A选项不符合题意； B选项：方程组中含有三个未知数，是三元一次方程组，不是二元一次方程组，故B选项不符合题意； C选项：方程组中含有两个未知数，并且未知项的次数是，是二元一次方程组，故C选项符合题意； D选项：方程组中含有两个未知数，方程中未知项的次数是，不是二元一次方程组，故D选项不符合题意． 故选：C ． 2. 在平面直角坐标系中，点P（－3，2）所在象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案． 【详解】第二象限内点横坐标为负，纵坐标为正，故点（−3，2）所在的象限在第二象限． 故选B． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键． 3. 下列各对数值中是方程组的解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题根据方程组的解的定义，运用代入排除法即可作出选择． 【详解】解：把四个选项的答案分别代入方程组，发现只有B中的答案适合两个方程． 故选B． 【点睛】本题主要考查了方程组的解的定义．把四个选项分别代入方程组是解题的关键. 4. 在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，即可求解． 【详解】解：∵将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为， ∴线段向左平移4个单位， ∴点的对应点的坐标为． 故选：B 5. 已知关于，的方程是二元一次方程，则、的值为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，解方程组即可． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， ，解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据题意列出关于m、n的方程组，是解题的关键． 6. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味性强，成为极其广泛的棋艺活动．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（3，﹣2），则“兵”位于点（　　） A. （﹣1，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣2，1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（3，﹣2），建立平面直角坐标系，结合坐标系可得答案． 【详解】如图所示，根据题意可建立如图所示平面直角坐标系， 则“兵”位于点（﹣2，1） 故选D 【点睛】本题考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置建立坐标系是解题关键． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有只，兔有只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 故选：D． 8. 若y轴上的点A到x轴的距离为3，则点A的坐标为（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的相关知识，用到的知识点为：轴上点的横坐标为0． 根据轴上的点到轴的距离为3，可得点的纵坐标为，进而根据轴上点的横坐标为0可得具体坐标． 【详解】解：轴上的点到轴的距离为3， 点的纵坐标为， 轴上点的横坐标为0， 点的坐标为或， 故选：D． 9. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（　　） A. 54 B. 27 C. 72 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】设原数的个位数字是x，则十位数字是9﹣x，则愿两位数是=10（9﹣x）+x，新两位数是10x+（9﹣x），根据新两位数=原两位数+9”列方程求解可得 【详解】设原数的个位数字是x，则十位数字是9﹣x． 根据题意得：10x+（9﹣x）=10（9﹣x）+x+9 解得：x=5，9﹣x=4 ∴原来的两位数为45． 故选D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，找出题目中的相等关系列出方程是解题的关键． 10. 小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，则y=__________． 【答案】y= 【解析】 【详解】移项，得-5y=2-3x， 系数化1，得y= 12. 第四象限的点，满足，，则点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出x，y的符号，进而得出答案． 【详解】∵点在第四象限 ∴x＞0，y＜0 ∵ ∴x=5 ∵ ∴y=-3 ∴点的坐标为(5，-3) 故答案为：(5，-3)． 【点睛】本题考查了象限及点的坐标特点，绝对值的运算法则及平方根的定义和求法． 13. 如果，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14. 已知是二元一次方程组的解，则m+3n＝_____． 【答案】8 【解析】 【分析】利用二元一次方程组的解先求出m，n的值，再求m+3n的值． 【详解】解：把代入，得， 解得， 所以m+3n＝＝8， 故答案为8． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确求解方程组． 15. 关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则_________． 【答案】75 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程的解，一元一次方程的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．先解二元一次方程组，求出，，再代入即可求得k的值． 【详解】解： ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， 把，代入，得 ， ∴． 故答案为：75． 16. 若点在y轴上，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是坐标轴上点的坐标，一元一次方程，熟知y轴上点的横坐标为0是解题的关键． 根据y轴上点的坐标特点解答即可． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得 故答案为： 17. 已知线段MN＝4，MN∥y轴，若点M坐标为(－1，2)，则点N的坐标为____． 【答案】（﹣1，﹣2），（﹣1，6）． 【解析】 【详解】设点N坐标，由MN=4，得到关系式求得两个坐标． 解：由题意设点N（-1，y）， ∵已知线段MN=4，M坐标为（-1，2）， ∴y-2=4，或y-2=-4， 解得y=6或y=-2， 即点N坐标（-1，-2），（-1，6）． 故答案为（-1，-2），（-1，6）． 18. A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，这艘轮船在静水中的速度是_________千米/时． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时，由于A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，由此即可方程组解决问题． 【详解】解：设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时， 依题意得 ， 解得：， 答：这艘船在静水中的速度为17千米/小时． 故答案为：17． 19. 如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是______． 【答案】420 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设小长方形的长为cm，宽为cm，依题列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为cm，宽为cm，依题得 解得 大长方形的面积是（）． 故答案为：420． 20. 在平面直角坐标系中，将任意两点横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值中较大的值定义为这两点的“切比雪夫距离”．例如，点，，横坐标差的绝对值为，纵坐标差的绝对值为，所以，的切比雪夫距离为.若点（，），的切比雪夫距离为，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意知，的横坐标差的绝对值为，纵坐标差的绝对值为，由两点的“切比雪夫距离”可得①当时，，②当时，，分别求解即可． 【详解】解：由题意知，的横坐标差的绝对值为，纵坐标差的绝对值为， ①当时，，解得或， 当时，，此时，故不符合题意； 当时，，此时，故符合题意； ②当时，，解得或， 当时，，此时，故符合题意； 当时，，此时，故不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了点坐标，新定义运算，绝对值．理解新定义的含义是解题的关键． 三、解答题（共60分） 21. 解下列方程组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 22. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）先算乘方和开方，再算加减即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 23. 如图，的顶点．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出； （2）的面积是________． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移的性质即可画出； （2）根据网格即可求的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积． 故答案为：． 24. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①所示的是一个“互”字，如图②所示的是由图①抽象的几何图形，其中，．点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． （1）与平行吗？请说明理由； （2）试说明：． 【答案】（1） ．理由如下： 因为， 所以． 因为， 所以， 所以； （2） 证明：如图，延长交于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键， （1）根据平行线的判定和性质即可证明； （2）根据平行线的性质结合邻补角的定义即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 【阅读材料】 善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，所以，将代入①得，所以原方程组的解为． 【解决问题】 （1）请模仿小明的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案； （2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，求得，再整体代入即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 将方程变形得：， 把方程代入得：， 所以， 将代入得， 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 把方程变形，得到， 然后把代入，得， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数． 26. 为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． （1）求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； （2）在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了220元，请问有几种购买方案？ （3）若小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】（1）A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元 （2） 有3种购买方案： ①购买A种款式的奶茶16杯，购买B种款式的奶茶5杯； ②购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶10杯； ③购买A种款式的奶茶4杯，购买B种款式的奶茶15杯； （3）3杯 【解析】 【分析】（1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【小问1详解】 解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； 【小问2详解】 设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①购买A种款式的奶茶16杯，购买B种款式的奶茶5杯； ②购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶10杯； ③购买A种款式的奶茶4杯，购买B种款式的奶茶15杯； 【小问3详解】 解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、均为正整数， ∴， ∴， 答：B款加料的奶茶买了3杯． 27. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，过点分别作x轴和y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，M是线段的中点，点P从M点出发沿线段向终点C运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动的时间为t（秒）． （1）请直接写出点B和点C的坐标：B（_______，_______），C（________，________）． （2）求线段的长度（用含有t的代数式表示，不需要写出t的取值范围）． （3）作线段，当三角形的面积等于直角梯形的面积的时，求t的值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1）点坐标，点的坐标 （2）或 （3）t的值为2，此时点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的判定和性质，三角形的面积和梯形的面积等知识点的应用，能进行分类讨论是解此题的关键． （1）由矩形的性质以及点的坐标即可求出点，的坐标； （2）分为两种情况：当在上时，当在上时，求出，再根据点的位置写出的取值范围即可； （3）分为两种情况：当在上时，当在上时，分别求出和四边形的面积，即可得出关于的方程，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点分别作轴和轴的平行线，交轴于点，交轴于点， ∴，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ∵， ，， 点坐标，点的坐标； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，，为的中点， ，，， 当在上时，； 当在上时，； 综上，线段的长度为或． 【小问3详解】 解：当在上时，如图1， 当三角形的面积等于直角梯形的面积的， ， 解得：， 当时，，此时点P与点A重合， 点的坐标为； 当在上时，如图2， ， ， ， 解得：， ， 此时点P与点A重合， 点的坐标为． 综上，当三角形的面积等于直角梯形的面积的时，t的值为2，此时点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萧红中学2024-2025七年级（下）数学学科教与学改进4月知识竞赛卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点P（－3，2）所在象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各对数值中是方程组的解的是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于，的方程是二元一次方程，则、的值为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味性强，成为极其广泛的棋艺活动．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（3，﹣2），则“兵”位于点（　　） A. （﹣1，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣2，1） 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 若y轴上的点A到x轴的距离为3，则点A的坐标为（　　） A. B. 或 C. D. 或 9. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（　　） A. 54 B. 27 C. 72 D. 45 10. 小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，则y=__________． 12. 第四象限的点，满足，，则点的坐标是_________． 13. 如果，那么_______． 14. 已知是二元一次方程组的解，则m+3n＝_____． 15. 关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则_________． 16. 若点在y轴上，则______． 17. 已知线段MN＝4，MN∥y轴，若点M坐标为(－1，2)，则点N的坐标为____． 18. A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，这艘轮船在静水中的速度是_________千米/时． 19. 如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是______． 20. 在平面直角坐标系中，将任意两点横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值中较大的值定义为这两点的“切比雪夫距离”．例如，点，，横坐标差的绝对值为，纵坐标差的绝对值为，所以，的切比雪夫距离为.若点（，），的切比雪夫距离为，则___________． 三、解答题（共60分） 21. 解下列方程组． （1） （2） 22. 计算： （1）； （2）． 23. 如图，的顶点．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出； （2）的面积是________． 24. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①所示的是一个“互”字，如图②所示的是由图①抽象的几何图形，其中，．点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． （1）与平行吗？请说明理由； （2）试说明：． 25. 【阅读材料】 善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，所以，将代入①得，所以原方程组的解为． 【解决问题】 （1）请模仿小明的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组，求的值． 26. 为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． （1）求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； （2）在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了220元，请问有几种购买方案？ （3）若小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？ 27. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，过点分别作x轴和y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，M是线段的中点，点P从M点出发沿线段向终点C运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动的时间为t（秒）． （1）请直接写出点B和点C的坐标：B（_______，_______），C（________，________）． （2）求线段的长度（用含有t的代数式表示，不需要写出t的取值范围）． （3）作线段，当三角形的面积等于直角梯形的面积的时，求t的值，并求出此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $