11.1.2 不等式性质六大题型解题技巧(讲义)-2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列（人教版）七年级数学下册

2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《不等式与不等式组》 11.1.2不等式性质六大题型解题技巧 知识要点归纳 理清教材 提炼方法 知识点1、不等式的性质 （1）不等式两边加(或减)同一个数(或同一个整式)，不等号的方向不变； 若a＞b，则a±c＞b±c； （2）不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 若a＞b，c＞0，则ac＞bc(或)； （3）不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变； 若a＞b，c＜0，则ac＜bc(或)； 知识点2，利用不等式性质解简单的不等式 利用不等式性质将不等式变形为x>a或x<a思路方法 1. 求不等式的解集就是把不等式变形为x>a或x<a的形式 2. ①利用不等式性质1对不等式两边进行加减，将不等式变为ax>b或ax<b的形式 ②利用不等式性质2、3时同乘以或除以一个数时，一定要明确数的正负，当乘以或除以一个负数时一定要改变不等号方向。 知识点3，利用不等式解决简单的实际问题 正确把表示不等关系的词语转化为不等号是解决实际问题的关键。 不大于表示为≦，不小于表示为≥，不超过表示为≦，不低于表示为≥，等。 题型归纳 题型分类 考点归纳 【题型1 不等式的性质】 【题型2 利用不等式性质1的简单应用】 【题型3利用不等式性质2、3的简单应用】 【题型4 利用不等式性质解简单的不等式】 【题型5 利用不等式性质解决简单的实际问题】 【题型6 不等式的解与方程的解】 典例精析、题型突破 深度剖析 跟踪训练 【题型1 不等式的性质】 类比等式性质，探究不等式性质，体会不等式性质与等式性质的异同，并应用不等式性质解决简单的不等式，体会类比的方法，积累更多的数学活动经验。 【例1】．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列叙述不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】．若，则 ． 【变式1-4】．若，则 ． 【题型2 利用不等式性质1的简单应用】 利用不等式性质1对不等式进行变形时，一定要注意不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变。 【例2】．无论x为何值，是否一定有？请说明理由． 【变式2-1】．（1）已知，是否一定有？请说明理由． （2）已知，是否一定有？请说明理由． 【变式2-2】．比较大小： (1)当时，a________；（填“”“”或“”） (2)说明第（1）题中结论的正确性． 【变式2-3】．我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．两个不等式结合是否也具有一些特殊的性质？请解答下列问题： (1)完成下列填空（填“”或“”）； 已知，可得________； 已知，可得________； 已知，可得________． (2)一般地，如果，那么________（用“”或“”填空），请你利用不等式的性质说明上述不等式的正确性． 【变式2-4】．利用，比较与的大小． 【题型3利用不等式性质2、3的简单应用】 利用不等式性质对不等式进行变形时，一定要注意性质2、3的运用，弄清楚不等式两边乘或除的这个数是正数还是负数，若是负数，不等号方向就必须改变。 【例3】．小明说永远不可能成立，因为在不等式两边都除以x，得到这个错误结论．小明的说法正确吗？请说明理由． 【变式3-1】．（教材变式） (1)利用不等式的性质1比较与a的大小（）； (2)利用不等式的性质2，3比较与a的大小（）． 【变式3-2】．利用不等式的基本性质说明结论：如果满足，那么的正确性． 【变式3-3】．请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 【变式3-4】．阅读材料，回答下列问题 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）    ∴代数式的最小值为－2； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值 【拓展提高】（2）求的最大值 【题型4 利用不等式性质解简单的不等式】 利用不等式性质将不等式变形为x>a或x<a思路方法 1. 求不等式的解集就是把不等式变形为x>a或x<a的形式 2. 利用不等式性质1对不等式两边进行加减，将不等式变为ax>b或ax<b的形式 3. 利用不等式性质2、3时同乘以或除以一个数时，一定要明确数的正负，当乘以或除以一个负数时一定要改变不等号方向。 【例4】．把下列不等式变形成或（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】．利用不等式的性质将不等式化为或的形式． 【变式4-3】．阅读下列解题过程，再解题．已知，试比较与的大小． 解：① ② 故③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【变式4-4】．阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)尝试证明：若，则． 【题型5 利用不等式的性质解决简单的实际问题】 利用不等式解决实际问题的关键是（1）正确翻译问题中运算顺序，（2）注意问题中表示不等关系中的关键词语，如“正数”，“负数” “非负数”，“不低于”、“不超过”、“不少于”等。（3）正确利用不等式性质变形，特别注意利用不等式性质3，两边同乘以或除以一个负数时不等式方向改变。 【例5】．某人分两次在市场上买了同一种货物，第一次买了3件，平均每件价格为a元，第二次买了2件，平均每件价格为b元．后来他以每件元的价格全部卖出，结果发现自己亏钱了．请用不等式的性质解释亏钱的原因． 【变式5-1】．在如图1所示的计算程序中，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y． (1)若输入x的值为，求输出y的值； (2)若输出的y落在如图2所示的范围内，求x的最大整数值． 【变式5-2】．【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 【变式5-3】．如图1，已知纸片是边长为的正方形，纸片是相邻两边长分别为的长方形，且纸片的周长相等． (1)当时． ①若，求的取值范围； ②如图2，以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形，若纸片的面积比纸片的面积小，求的面积之和； (2)如图3，将纸片叠合在一起，记阴影部分的周长为． ①_______（用含的代数式表示）； ②若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是_______． 【变式5-4】．若正整数a是4的倍数，则称a为“四倍数”，例如：8是4的倍数，所以8是“四倍数”． (1)已知p是任意三个连续偶数的平方和，设中间的数为2n（n为整数），判断p是不是“四倍数”，并说明理由； (2)已知正整数k是一个两位数，且（，其中x，y为整数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数m．若m与k的差是“四倍数”，求出所有符合条件的正整数k． 【题型6 不等式的解集与方程的解】 【例6】．已知都是实数，若．求证：． 【变式6-1】．嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果； (2)嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论． 【变式6-2】．已知关于x，y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当m取何值时，这个方程组的解x大于1，y不小于． (3)已知，在（2）的条件下，求的取值范围． 【变式6-3】．对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【变式6-4】．（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《不等式与不等式组》 11.1.2不等式性质六大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 理清教材 提炼方法 知识点1、不等式的性质 （1）不等式两边加(或减)同一个数(或同一个整式)，不等号的方向不变； 若a＞b，则a±c＞b±c； （2）不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 若a＞b，c＞0，则ac＞bc(或)； （3）不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变； 若a＞b，c＜0，则ac＜bc(或)； 知识点2，利用不等式性质解简单的不等式 利用不等式性质将不等式变形为x>a或x<a思路方法 1. 求不等式的解集就是把不等式变形为x>a或x<a的形式 2. ①利用不等式性质1对不等式两边进行加减，将不等式变为ax>b或ax<b的形式 ②利用不等式性质2、3时同乘以或除以一个数时，一定要明确数的正负，当乘以或除以一个负数时一定要改变不等号方向。 知识点3，利用不等式解决简单的实际问题 正确把表示不等关系的词语转化为不等号是解决实际问题的关键。 不大于表示为≦，不小于表示为≥，不超过表示为≦，不低于表示为≥，等。 题型归纳 题型分类 考点归纳 【题型1 不等式的性质】 【题型2 利用不等式性质1的简单应用】 【题型3利用不等式性质2、3的简单应用】 【题型4 利用不等式性质解简单的不等式】 【题型5 利用不等式性质解决简单的实际问题】 【题型6 不等式的解与方程的解】 典例精析、题型突破 深度剖析 跟踪训练 【题型1 不等式的性质】 类比等式性质，探究不等式性质，体会不等式性质与等式性质的异同，并应用不等式性质解决简单的不等式，体会类比的方法，积累更多的数学活动经验。 【例1】．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，，故ABC成立，不符合题意； 当时，，当时，，故D不成立，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴，故D符合题意； 故选：D． 【变式1-2】．下列叙述不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的数，不等号方向改变，由此逐项判断即可． 【详解】解：A，∵，∴，故A正确，不符合题意； B，∵，∴，故B错误，符合题意； C，∵，∴，故C正确，不符合题意； D，∵，∴，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质即可求解； 【详解】解：， ； 故答案为： 【变式1-4】．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟记不等式的两边都减去同一个数，不等号的方向不改变是解本题的关键．利用不等式的基本性质可得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【题型2 利用不等式性质1的简单应用】 利用不等式性质1对不等式进行变形时，一定要注意不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变。 【例2】．无论x为何值，是否一定有？请说明理由． 【答案】一定有，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，因为，再根据不等式的两边加上同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即可得结论． 【详解】解：无论x为何值，一定有， 理由如下： ∵， ∴， ∴无论x为何值，一定有． 【变式2-1】．（1）已知，是否一定有？请说明理由． （2）已知，是否一定有？请说明理由． 【答案】（1）一定有，理由见解析；（2）不一定有，理由见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可判断； （2）根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：（1）一定有，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）不一定有，理由如下： ①当时，； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴． 【变式2-2】．比较大小： (1)当时，a________；（填“”“”或“”） (2)说明第（1）题中结论的正确性． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】．我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．两个不等式结合是否也具有一些特殊的性质？请解答下列问题： (1)完成下列填空（填“”或“”）； 已知，可得________； 已知，可得________； 已知，可得________． (2)一般地，如果，那么________（用“”或“”填空），请你利用不等式的性质说明上述不等式的正确性． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 【分析】（1）计算比较大小，解答即可． （2）设，仿照前面的计算解答即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，不等式的性质，熟练掌握计算和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：，，． （2）证明：可设． ． 又，即， ， ． 故答案为：． 【变式2-4】．利用，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．结合不等式的性质进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵， ∴． 【题型3利用不等式性质2、3的简单应用】 利用不等式性质对不等式进行变形时，一定要注意性质2、3的运用，弄清楚不等式两边乘或除的这个数是正数还是负数，若是负数，不等号方向就必须改变。 【例3】．小明说永远不可能成立，因为在不等式两边都除以x，得到这个错误结论．小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】小明的说法不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，先要进行分类讨论，再结合不等式的性质进行作答即可． 【详解】解：小明的说法不正确．理由如下： 小明默认，未对x的取值范围进行分类讨论． 当时，由，得； 当时，； 当时，由，得． 综上，当时，成立．故小明的说法不正确． 【变式3-1】．（教材变式） (1)利用不等式的性质1比较与a的大小（）； (2)利用不等式的性质2，3比较与a的大小（）． 【答案】(1)当，，当， (2)当，，当， 【分析】本题主要考查了不等式的性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：①不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此解该不等式即可． （1）根据不等式的性质1分情况讨论即可； （2）根据不等式的性质2分情况讨论即可； 【详解】（1）解：当时，在的两边同时加上a， 得，即； 当时，在的两边同时加上a， 得，即． （2）解：当时，由，得，即； 当时，由，得，即． 【变式3-2】．利用不等式的基本性质说明结论：如果满足，那么的正确性． 【答案】见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】证明：因为且，均为正， 所以，， 由，可得． 【变式3-3】．请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到答案； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：，， 根据不等式的基本性质3，得， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得． 【变式3-4】．阅读材料，回答下列问题 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）    ∴代数式的最小值为－2； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值 【拓展提高】（2）求的最大值 【答案】（1）；（2）5． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、不等式的性质等． （1）依据题意，由，又对于任意的都有，故，进而可以判断得解； （2）根据题意得到，又对于任意的都有，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：； （2）解： ， 又对于任意的都有， ∴ ∴． ∴的最大值为5． 【题型4 利用不等式性质解简单的不等式】 利用不等式性质将不等式变形为x>a或x<a思路方法 1. 求不等式的解集就是把不等式变形为x>a或x<a的形式 2. 利用不等式性质1对不等式两边进行加减，将不等式变为ax>b或ax<b的形式 3. 利用不等式性质2、3时同乘以或除以一个数时，一定要明确数的正负，当乘以或除以一个负数时一定要改变不等号方向。 【例4】．把下列不等式变形成或（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了不等式的性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）不等式两边加上5，即可解答； （2）不等式两边同时减去，即可解答； （3）不等式两边同时乘以，即可解答； （4）不等式两边同时除以，即可解答． 【详解】（1）解：， 不等式两边同时加上5，得； （2）解：， 不等式两边同时减去，得； （3）解：， 不等式两边同时乘以，得； （4）解：， 不等式两边同时除以，得． 【变式4-1】．利用不等式的性质将不等式化为或的形式． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此即可求解． 【详解】解： ∴． 【变式4-2】．指出下列各题中不等式变形的依据： (1)由得； (2)由，得； (3)由，得； (4)由，得． 【答案】(1)不等式性质2 (2)不等式性质1 (3)不等式性质3 (4)不等式性质1 【分析】本题考查不等式的性质： （1）根据不等式的性质2，不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，作答即可； （2）根据不等式的性质1，不等式两边加（或减）去同一个数（式子），不等号的方向不变，作答即可； （3）根据不等式的性质3，不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，作答即可； （4）根据不等式的性质1，不等式两边加（或减）去同一个数（式子），不等号的方向不变，作答即可． 【详解】（1）解：由得的依据是不等式的性质2； （2）由，得的依据是不等式性质1； （3）由，得的依据是不等式性质3； （4）由，得的依据是不等式性质1． 【变式4-3】．阅读下列解题过程，再解题．已知，试比较与的大小． 解：① ② 故③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：正确的解题过程如下： ， ． 【变式4-4】．阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)尝试证明：若，则． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质； （1）由不等式的性质得到，，再利用不等式的传递性求解即可； （2）由得到，再两边同时除以3即可得到． 【详解】（1）证明：因为且m，n均为正， 所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以．（不等式的传递性） 故答案为：，； （2）证明：∵， ∴，（不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变）， ∴， ∴，（不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变）， 【题型5 利用不等式的性质解决简单的实际问题】 利用不等式解决实际问题的关键是（1）正确翻译问题中运算顺序，（2）注意问题中表示不等关系中的关键词语，如“正数”，“负数” “非负数”，“不低于”、“不超过”、“不少于”等。（3）正确利用不等式性质变形，特别注意利用不等式性质3，两边同乘以或除以一个负数时不等式方向改变。 【例5】．某人分两次在市场上买了同一种货物，第一次买了3件，平均每件价格为a元，第二次买了2件，平均每件价格为b元．后来他以每件元的价格全部卖出，结果发现自己亏钱了．请用不等式的性质解释亏钱的原因． 【答案】亏钱的原因为第一次比第二次购买的货物更多且平均每件价格更高 【分析】本题主要考查不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量之间的不等关系． 先表示出买5件货物的平均价格元，由于亏钱得到，继而根据不等式的性质得到． 【详解】解：由题意知，买5件货物的平均价格元． ∵以每件元的价格全部卖出，结果亏钱了， ．利用不等式的性质变形，得， 故亏钱的原因为第一次比第二次购买的货物更多且平均每件价格更高． 【变式5-1】．在如图1所示的计算程序中，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y． (1)若输入x的值为，求输出y的值； (2)若输出的y落在如图2所示的范围内，求x的最大整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序框图，含乘方的有理数混合运算，不等式性质，解题的关键在于正确理解程序框图． （1）根据程序框图列出算式，再结合含乘方的有理数混合运算法则求解，即可解题； （2）由图（2）知，，，再结合不等式性质求解，即可解题． 【详解】（1）解：若输入x的值为， 则有 ； （2）解：由图（2）知，，， 所以 ， 即， 所以x的最大整数值为． 【变式5-2】．【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 【答案】（1）；（2）；；（3）见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确得到，是解题的关键。 （1）根据盐水加水后会变淡可知加水后的盐水浓度小于未加水时盐水的浓度，据此可得答案； （2）根据盐水浓度等于盐的质量除以盐水的质量可得第一空答案，根据加盐后会变咸可知加盐后的盐水浓度大于未加盐时盐水的浓度，据此可得答案； （3）根据（1）（2）可得，，，，，，再由不等式的性质证明即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，此时盐水浓度为， ∵盐水变得更咸了， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，三条边的长度分别为x、y、z， ∴， ∴，，， ∴； ∵，，， ∴， ∴． 【变式5-3】．如图1，已知纸片是边长为的正方形，纸片是相邻两边长分别为的长方形，且纸片的周长相等． (1)当时． ①若，求的取值范围； ②如图2，以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形，若纸片的面积比纸片的面积小，求的面积之和； (2)如图3，将纸片叠合在一起，记阴影部分的周长为． ①_______（用含的代数式表示）； ②若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是_______． 【答案】(1)；370 (2)； 【分析】本题主要考查了代数式表示数，不等式的应用，对于（1）①，根据A，B的周长相等，可得，再结合可得答案；②，由题意可得，再结合可得解； 对于（2）①，先表示阴影部分周长，可得解； ②，由①得，再结合不等式有3个正整数解可得答案． 【详解】（1）①∵A，B的周长相等，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； ②由题意，得． ∵， ∴， ∴C，D的面积之和为70； （2）①由题意，阴影部分周长． 故答案为：； ②由①得，， ∴， ∴． 又不等式恰好有3个正整数解， ∴恰好有3个正整数解， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-4】．若正整数a是4的倍数，则称a为“四倍数”，例如：8是4的倍数，所以8是“四倍数”． (1)已知p是任意三个连续偶数的平方和，设中间的数为2n（n为整数），判断p是不是“四倍数”，并说明理由； (2)已知正整数k是一个两位数，且（，其中x，y为整数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数m．若m与k的差是“四倍数”，求出所有符合条件的正整数k． 【答案】(1)p是“四倍数”；理由见解析 (2)15，19，26，37，48，59 【分析】（1），化简即可求解； （2）根据题意可得，进一步可求出的范围．再由是“四倍数”即可求解． 【详解】（1）解：p是“四倍数”，理由如下： ∵， ∴p是“四倍数”； （2） 解：由题意得，则 ∵，其中x,y为整数， ∴． 若是4的倍数，则或． 当时，符合条件的k是15，26，37，48，59； 当时，符合条件的k是19． ∴所有符合条件的正整数k是15，19，26，37，48，59． 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数字类的整除问题．正确理解题意是解题关键． 【题型6 不等式的解集与方程的解】 【例6】．已知都是实数，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用，消去，得到，然后利用不等式的性质变形即可求解． 【详解】证明： 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式6-1】．嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果； (2)嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，不等式的性质，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）首先用开始输入的数乘，求出积是多少；然后用所得的积除以2，求出商是多少；最后用所得的商减去即可． （2）这个数是x，得出程序的结果为，再令，代入验证即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设这个数是x，则， ， ， ，即得到的结果总是正数． 【变式6-2】．已知关于x，y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当m取何值时，这个方程组的解x大于1，y不小于． (3)已知，在（2）的条件下，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）先得到关于m的一元一次不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，最后再取解集的公共部分即可； （3）先用m的代数式表示出t，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 由①②得， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为： （2）解：由题意得， 解③得：， 解④得：， ∴该不等式组的解集为：； （3）解：由题意得， ∵， ∴ ∴， 即t的取值范围为． 【变式6-3】．对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．据此判断即可． 【详解】解：这句话说的不正确，只是该不等式解集的一部分．如：是不等式的解，但未包含在内，所以这句话不正确． 【变式6-4】．（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解． 【答案】方程的解为或． 【分析】先根据一元一次不等式的定义得到，求得，则可得到，由此求解即可． 【详解】解：∵（为定值）是关一元一次不等式， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$