第七章 相交线与平行线 平行线铅笔头模型（模型解题技巧+例题讲解+强化训练）2024-2025学年人教版七年级数学下册

平行线铅笔头模型（模型解题技巧+例题讲解+强化训练） 一、模型解题技巧 （1）如图，若，此时，之间有什么关系？请证明 【解析】如图，过点作得证 （2）反之，如图，若，直线与有什么位置关系？请证明 【解析】如图，过点作得证则 【总结】 ①辅助线：过拐点作平行线 ②若，则 ③若，则 （3）如图，两直线平行，则 【解析】如图，过作，过作，过作，过作得证 【总结】 ①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②【个拐点】 二、例题讲解 例题1．如图，直线，，则（ ） A．150° B．180° C．210° D．240° 例题2. 如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝______． 例题3．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，，则的度数为　　 A． B． C． D． 例4．问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数． 经过讨论形成的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数． （1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC的度数；（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 ∠DFP的平分线相交于点Q，求的度数． 三、强化训练 1．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 2．如图，，那么　　 A． B． C． D． 3．如图，、分别在、上，为两平行线间一点，那么　　 A． B． C． D． 4．如图，已知，，，则等于　　 A． B． C． D． 5．某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于　　度 A．360 B．180 C．250 D．270 6．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 7．如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°． 8．如图所示，，与的角平分线相较于点，，求的度数. 9.问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　 　°； 问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 10.如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 二、例题讲解参考答案 例题1．如图，直线，，则（ ） A．150° B．180° C．210° D．240° 【答案】C 【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可. 【解析】解：作直线l平行于直线l1和l2 故选C. 【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等. 例题2．如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝______． 【答案】 【分析】延长AB，交两平行线与C、D，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可； 【详解】延长AB，交两平行线与C、D， ∵直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，∴，，， ∴，∴， 又∵∠1比∠2大4°，∴，∴，∴；故答案是． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键． 例题3．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先作辅助线，再根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：过点作， ， ， ，； 故，即， 故． 故选：． 【点评】注意此类题要作出辅助线，运用平行线的性质探求三个角的关系． 例题4．问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数． 经过讨论形成的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数． （1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC的度数；（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 ∠DFP的平分线相交于点Q，求的度数． 【答案】（1）110°；（2）∠CPD＝α＋β，见解析；（3）360°. 【解析】解：（1）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD．∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180° ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝110°． （2）∠CPD＝α＋β，理由如下：过P作PE∥AD交CD于E． ∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠DPE＝α，∠CPE＝β，∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝α＋β． （3）由（1）可得，∠P+∠BEP+∠DFP=360° 又∵QE平分∠PEB，QF平分∠PFQ ∴∠BEP=2∠BEQ，∠DFP=2∠DFQ ∴∠P+2∠Q=∠P+2（∠BEQ+∠DFQ）=∠P+∠BEP+∠DFP=360°. 三、强化训练 1．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】C 【分析】首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数． 【详解】解： 过点A作AB∥l1， ∵l1∥l2， ∴AB∥l1∥l2， ∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180， ∵∠1=105,∠2=140 ， ∴∠4=75,∠5=40， ∵∠4+∠5+∠3=180， ∴∠3=65. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质. 2．如图，，那么　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，根据平行线的性质，就可以转化为两对同旁内角的和． 【解答】解：过点作， ； ， ， ， ， 即：． 故选：． 【点评】有两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 3．如图，、分别在、上，为两平行线间一点，那么　　 A． B． C． D． 【分析】首先过点作，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题． 【解答】解：过点作，则， ，， ． 故选：． 【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 4．如图，已知，，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据邻补角的定义求出，再根据已知角的度数即可求出答案． 【解答】解：作，由，则， ，； ． 又，， ． 故选：． 【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 5．某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于　　度 A．360 B．180 C．250 D．270 【分析】过点作，利用平行线的性质可得，，从而可得，然后根据垂直定义可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握铅笔模型是解题的关键． 6．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案． 【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD∥MN∥EF， ∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-， ∴=∠BCD+∠DCM=， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 7．如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°． 【答案】540 【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°， 故答案为：540． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键． 8．如图所示，，与的角平分线相较于点，，求的度数. 【答案】. 【分析】先设，，由题意的，，题意得到；由侧M图知，. 【详解】设，， 与的角平分线相交于点， ，， 由笔尖图知，， 即，， 由侧M图知，. 【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线，解题的关键是设，， 并由题意得到x，y的关系式. 9.问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　 　°； 问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见分析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由见分析 【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°． （1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案． 解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°， ∴∠APC＝50°+60°＝110°， 故答案为：110； （1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下： 如图5，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α； 理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α； 当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β． 理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 10.如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点拨】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$