精品解析：陕西省商洛市2022-2023学年高一上学期期末质量监测数学试卷

商洛市2022~2023学年度第一学期教学质量监测 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“所有的质数都是奇数”的否定是（ ） A. 所有的质数都不是奇数 B. 所有的质数都是偶数 C. 存在一个质数不是奇数 D. 存在一个奇数不是质数 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接求解作答. 【详解】命题“所有的质数都是奇数”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“所有的质数都是奇数”的否定是“存在一个质数不是奇数”. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出集合B，再利用交集的定义求解作答. 【详解】因为，， 所以． 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出的取值范围，根据充分条件、必要条件的定义即可做出选择. 【详解】由题意可知，可得或； 而时，可得，所以“”“”； 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在定理，结合的单调性找到合适的区间即可. 【详解】在上单调递增，且，. 则由零点存在定理得所求零点在区间. 故选：B. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，，， 所以． 故选：B. 6. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性可判断两数均为正数，再由基本不等式计算可求得结果. 【详解】由可得， 所以可得，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为1. 故选：A 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 8. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求解析式，易知，代入数值即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 所以 故选：B. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上为减函数 D. 在上为减函数 【答案】AD 【解析】 【分析】利用幂函数定义即过点可得，再根据函数奇偶性定义即可判断是偶函数，由幂函数单调性即可判断D正确. 【详解】根据幂函数定义可得，解得； 又因为图象过点，所以可得，即； 易知函数的定义域为，且满足， 所以是偶函数，故A正确，B错误； 由幂函数性质可得，当时，为单调递减，再根据偶函数性质可得在上为增函数；故C错误，D正确. 故选：AD 10. 已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 11. 压缩袋（真空压缩袋）也叫PE拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具如抽气泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气泵每次可以抽出压缩袋内气体的，则（ ）（参考数据：取） A. 要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽5次 B. 要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽9次 C. 抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的 D. 抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意建立函数模型，利用指对函数的性质一一计算即可判定选项. 【详解】设抽气泵抽了次，若要使压缩袋内的气体少于原来的，则， 即，则．因为， 所以至少要抽5次，A正确，B错误． 抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的， C正确． ，D正确． 故选：ACD 12. 已知函数的图象关于直线对称，函数对任意非负实数都满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 不等式的解集为 D. 存在，对任意都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定的对称轴列式推理判断A；判断函数在上单调性，赋值计算判断B；利用偶函数性质及单调性解不等式判断C；取计算判断D作答. 【详解】由的图象关于直线对称，得， 即，亦即，函数为偶函数，A正确； 由，得，设且，则， 令，则，即，因此在上单调递减， 令，则，B错误； 不等式，即有， 于是，解得，C正确； 当时，对任意，都有，D正确． 故选：ACD 【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定函数，利用二次根式的意义列出不等式，求解作答. 【详解】函数有意义，则，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 14. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，判断代入计算作答. 【详解】函数中，， 所以. 故答案为： 15. 写出一个满足且不是常数函数的函数：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意结合对数的按性质即可得解. 【详解】解：若， 则， 故符合题意的函数可以为. 故答案为：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他满足条件的函数亦可）. 16. 已知函数有唯一零点，则__________，的解集为__________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据函数特征可知将看成整体，即，再利用换元法根据函数奇偶性和单调性即可求得参数的值，进而解出不等式. 【详解】令，则，所以偶函数； 又函数有唯一零点，由对称性可知，解得； 易知函数的图象关于对称，且在上单调递增，， 则不等式即为，由对称性可得. 故答案为：1， 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将看成是由和合成的函数，且两个函数都关于对称，再利用换元法判断出函数奇偶性和单调性即可求解. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （1）求的值； （2）若，用表示. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据指数及对数的运算性质，即可求值； （2）根据对数的运算和换底公式，即可求解. 【详解】（1） （2）. 18. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据补集和并集得定义即可得解； （2）由题意知，再分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 由，可得， 则或， 因为当时，， 所以或； 【小问2详解】 由题意知， 当时，，解得， 当时，则解得． 综上，的取值范围为． 19. 已知． （1）证明：． （2）求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，且知，，由基本不等式即可证明； （2）由，利用乘“1”法和基本不等式进行求解． 【小问1详解】 因为，且，所以， 则，即，得． 当且仅当，即时，等号成立． 故得证． 【小问2详解】 由题意得， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为． 20. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． （1）求在上的值域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】（1） （2）为奇函数，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，求出解析式，利用单调性求出其在上的值域； （2）根据函数奇偶性定义判断其奇偶性. 【小问1详解】 由，可得，则， 因为在定义域内单调递增， 所以， ， 故在上的值域为． 【小问2详解】 为奇函数． 理由如下： 由（1）可得，， 因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数． 21. 若函数和的图象均连续不断．和均在任意的区间上不恒为的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足，则称区间A为和的“区间”． （1）写出和在上的一个区间”（无需证明）； （2）若是和“区间”，求的取值范围． 【答案】（1）（答案不唯一，是的子集即可） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意解不等式，分析即可得结果； （2）根据的单调性分析可得当时，，当时，，结合二次函数的性质列式运算求解. 【小问1详解】 令，解得， 故当时，，当时，，当时，； 令，解得， 故当时，，当时，，当时，； 若，解得， 故的解集为， 不妨取，则符合题意， 故和在上的一个区间”为； 【小问2详解】 对，当时，则， 可得，即， 故， ∴在上单调递增，且， 故当时，，当时，则，当时，， 由题意可得：当时，，当时，， 注意到开口向上，由二次函数性质可得， 由消去可得，解得， 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛： （1），等价于或或； （2）分步处理，先分析（或）的符号，再分析另一个函数的符号. 22. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义在上的奇函数过原点，以及奇函数的性质，列方程即可求解； （2）先判断函数的单调性，结合单调性的定义证明结论即可； （3）根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式转化进行求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 则有，可得：，所以， 又因为，所以，解得：， 所以，； 【小问2详解】 在上单调递增．证明如下： 由（1）得，取，令， 则 ， 由于函数为上的单调递增函数，且， 又因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增； 【小问3详解】 因为是定义在上的奇函数，所以原不等式可转化为：， 又因在上单调递增，所以， 令，则，原式化为：， 整理得：， 令，则，且当时等号成立，则， 令，则对恒成立， 又的图象开口向上，对称轴为，且， 当，即时，在上恒成立， 当，即或时， 有，即， 解得：，此时， 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 商洛市2022~2023学年度第一学期教学质量监测 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“所有的质数都是奇数”的否定是（ ） A. 所有的质数都不是奇数 B. 所有的质数都是偶数 C. 存在一个质数不是奇数 D. 存在一个奇数不是质数 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数图象过点，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上为减函数 D. 在上为减函数 10. 已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 压缩袋（真空压缩袋）也叫PE拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具如抽气泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气泵每次可以抽出压缩袋内气体的，则（ ）（参考数据：取） A. 要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽5次 B. 要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽9次 C. 抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的 D. 抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的 12. 已知函数的图象关于直线对称，函数对任意非负实数都满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 偶函数 B. C. 不等式的解集为 D. 存在，对任意都有 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的定义域为______． 14. 已知函数，则________． 15. 写出一个满足且不是常数函数的函数：__________． 16. 已知函数有唯一零点，则__________，的解集为__________． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （1）求的值； （2）若，用表示. 18. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 19. 已知． （1）证明：． （2）求的最大值． 20. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． （1）求在上的值域； （2）判断函数奇偶性，并说明理由． 21. 若函数和的图象均连续不断．和均在任意的区间上不恒为的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足，则称区间A为和的“区间”． （1）写出和在上的一个区间”（无需证明）； （2）若是和的“区间”，求的取值范围． 22. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$