精品解析：2025届陕西省高考适应性检测（三）数学试题

2025年陕西省高考适应性检测（三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再由补集与并集运算可得. 【详解】由题意得，, 则，或， 则，或， 故选：C. 2. 命题：的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系， 可得命题“”的否定为“”. 故选：C. 3. 设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则，复数模的计算，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以．令，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 4. 米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若，则该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得米斗的高与的关系，再由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设该米斗的高为，米斗的侧棱与下底面所成角为，则， ， 解得． 故选：B 5. 已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 与有关，不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程求出直线恒过定点，根据定点在圆内可得答案. 【详解】直线， 令，得，即直线恒过定点． 由知，点A在圆内，故直线恒与圆相交， 所以直线与圆的公共点个数为2个. 故选:C． 6. 在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断为等腰梯形，得，由余弦定理求得，再由正弦定理即可求得其外接圆半径. 【详解】 如图，梯形内接于圆，则， 因，则， 故梯形为等腰梯形，则， 所求即的外接圆的半径． 在中，由余弦定理可得 ， 则，又由正弦定理，，即． 故选：B． 7. 某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（ ）． A. 概率为0.72，平均消费金额为210元 B. 概率为0.88，平均消费金额为216元 C. 概率为0.88，平均消费金额为240元 D. 概率为0.82，平均消费金额为230元 【答案】B 【解析】 【分析】设出事件，设顾客的平均消费金额为，的可能取值为，由条件概率和全概率公式得到相应的概率，得到期望值. 【详解】设事件表示“抽取的顾客为计划型顾客”， 事件表示“抽取的顾客的平均消费金额不低于200元”， 事件表示“抽取的顾客为随机型顾客”； ，由于计划型顾客的平均消费金额已经为200元，所以； 随机抽取1名顾客，消费不低于200元的概率是： ， 设顾客的平均消费金额为，则的可能取值为， 则；； ， 期望为：. 故选：B 8. 已知函数定义为：，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，分类讨论，不同的取值范围下，函数零点的个数，从而得到恰好有3个零点时实数的取值范围. 【详解】①当时，要使有意义，故； 方程为，平方得，，解得； 显然，解不等式得； 在上满足：当或时，有1个零点；当时，有两个零点； ②当时，若，，函数有无穷个零点； 当时，方程，即， 解得，令，即； 即在上满足：当且时，有1个零点；当时，有无穷个零点；当时，没有零点． 综上，当时，有三个零点． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：，，，，，，，，，，， 乙组：，，，，，，，，， 则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据的第60百分位数是252 B. 乙组数据的中位数是246 C. 从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为 D. 甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A直接利用百分位数计算公式即可；对于B根据公式计算中位数和平均数；对于C根据古典概率公式计算即可；对于D，求出两者平均数判断即可. 【详解】对于选项A，因为，所以甲组数据的第60百分位数是第8个数，即253，故A错误； 对于选项B，因为，所以乙组数据的中位数是第5个数与第6个数的平均数，即，故B正确； 对于选项C，甲组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，乙组中跳远成绩在250厘米以上的有2人， 所以从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为 ，故C正确； 对于选项D，甲组的平均成绩为厘米， 乙组的平均成绩为厘米， 所以将甲组中跳远成绩为248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高，故D正确. 故选：BCD. 10. 设函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 的图象有对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，，得到A正确；B选项， ，故B正确；C选项，先求出，计算出，故C错误；D选项，，D正确. 【详解】由题意得，故， 定义域为，关于原点对称； A选项，， 是函数的一个周期，故A正确； B选项，， 关于，故B正确； C选项，，；， 显然，故在区间上不单调递增，故C错误； D选项， ， 的图象关于点中心对称，D正确． 故选：ABD． 11. 在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足．以下对运动过程的描述，正确的是（ ） A. 存在，满足 B. 存在，使与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为定值 D. 四面体的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，，由关系证明，由此可得，令，求，判断A，令与所成角的余弦值为，求判断B，取的不同位置，说明点到平面的距离不相等判断C，结合锥体体积公式求四面体的体积判断D. 【详解】以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，． 因为点在上，故可设点的坐标为； 点在上，设点的坐标为，． 所以，． 因为，所以，得， 因此，点坐标为，其中． 若，则，故， 又，， 所以， 所以，即存在，满足，A正确； 因为，， 所以， 若与所成角的余弦值为，则， 化简可得，所以， 所以存在，使与所成角的余弦值为，B正确； 设平面的法向量为， 则，又，， 所以，设，则，， 所以为平面的一个法向量， 又， 所以点到平面的距离为， 当或时，， 当时，，故不为定值，C错误； 四面体，即三棱锥的底面的面积为定值， 又平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 故三棱锥的体积恒为定值，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设条件，可得且 ，解之即得. 【详解】设为与的夹角，则， 因为为锐角，所以，解得，且， 所以的取值范围是． 故答案为：. 13. 已知点M是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:上，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析：抛物线的准线方程为：x=-1 过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点 ∵A在圆C：，圆心C（4，1），半径r=1 ∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小 ∴=4． 考点：圆与圆锥曲线的综合；考查抛物线的简单性质；考查距离和的最小． 14. 已知函数，则______． 【答案】2783 【解析】 【分析】将化为，可得。由此采用两项并项求和，即可求得答案. 【详解】由知， 设，则， 对照系数，得，则，即， 则， 的图象关于点中心对称； 故． 即 ， 故答案为：2783 四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图． 1若，证明：平面； 2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】1由正方形的性质推导出，结合，可得平面，由此，再由，能证明平面；2过作交于点，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，可得，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果． 【详解】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，， 由已知得，，平面 又平面BDE，， 又，，平面 2在图2中，，，，即面DEFC， 在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE， 由题意得，，由勾股定理可得，则，， 过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直， 以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， ． 设平面ACD的一个法向量为， 由得,取得， 设，则m，，，得 设CP与平面ACD所成的角为， ． 所以 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，是中档题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 16. 已知函数. （1）经过点作函数图象的切线，求切线的方程； （2）设函数，求在上的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设切点坐标为，斜率，利用点在曲线上和切线上，可得关于的方程； （2）对求导，设出隐零点，根据单调性求出最小值，代入化简即可． 【详解】（1）由于，设切点坐标为， 则，切线斜率； 另一方面， 故， 此时切点坐标为， 所以切线方程为，即. （2）由已知，故. 由于，故，由于在单调递增， 同时，，故存在使得， 且当时， 当时， 所以当时， 当时，即函数先减后增. 故. 由于， 所以. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 17. 已知双曲线的离心率为，直线与双曲线相交于，两点． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若以为直径的圆过双曲线的左顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （3）设点是满足（2）的双曲线上的一个动点，过分别作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，判断的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）过定点，定点为 （3）由（1）知，双曲线的两条渐近线方程为和； 设，有，即， 则， 设渐近线的倾斜角为，则，， 所以的面积， 即的面积为定值，定值为． 【解析】 【分析】（1）由题意利用离心率求出，即得答案； （2）求出双曲线方程，联立直线方程，可得根系数关系式，结合题意知，化简可得，即可得结论； （3）求出的值，设渐近线的倾斜角为，则，求出，即可求出的面积，可得结论. 【小问1详解】 由知，， 所以双曲线的渐近线方程为； 【小问2详解】 由，得，，双曲线的方程为 联立方程组得，， ， 设，，则，， 则，． 因为 即， 展开得 即， 即，，或． 当时，直线过，不符合题意，舍去； 当时，直线过定点． 【小问3详解】 略 18. 无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． （1）为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度 性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； （3）从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【答案】（1） 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 有 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由列联表中的数据，根据独立性检验的计算以及解题步骤，可得答案； （2）由列联表中的数据，可得各部分的占比，结合古典概型，可得答案； （3）由题意，建立随机变量之间的等量关系，结合二项分布以及正态分布的概率，可得答案. 【小问1详解】 如表，，，， 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 ， 有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联． 【小问2详解】 按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1， 故从中选出3人态度各异的概率为； 【小问3详解】 由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为，易知， 设，根据结论一，知． 再根据结论二，知． 由条件知， 所以，解得，所以正整数的最小值为11． 19. 在人工智能的训练过程中，数据预处理至关重要．现有一种“数据筛选器”工具，其功能为：对于一个无穷非负正整数数列，通过操作删去其中除以余数为的所有项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据筛选器”工具对数列进行操作后得到，设前项和为． （1）求； （2）是否存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由； （3）若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和． 【答案】（1）， （2）不存在，理由： 存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列， 不妨设，，，，． 即，， 两边同除以得，， 设，，，，则． 当时，为奇数，为偶数，矛盾； 故不存在这样的正整数组. （3） 由题意，， 则，，， 所以保留，则，，， 又当代入上式，得 ，，，，． 将，删去，得到，则，，． ，，． 即：，，，即：． 每个大于1的正奇数、、、， 若正奇数为，则取， 则； 若正奇数为，则取， 则； 若正奇数为，则取， 则； 若正奇数为，则取， 则 综上，对任意大于1的正奇数，每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和， 故原命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据操作可得数列，求出的通项后结合公式法可求； （2）根据奇偶性可证不存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列； （3）根据操作得到，再就奇数除以8的余数分类讨论后可证每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和. 【小问1详解】 由，知：， 中除了除以4余2，其余各项除以4余数均不为2， 故，，故， 故，故， 故当时，， 当时，. 而，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省高考适应性检测（三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若，则该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 与有关，不能确定 6. 在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（ ）． A. 概率为0.72，平均消费金额为210元 B. 概率为0.88，平均消费金额为216元 C. 概率为0.88，平均消费金额为240元 D. 概率为0.82，平均消费金额为230元 8. 已知函数定义为：，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：，，，，，，，，，，， 乙组：，，，，，，，，， 则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据的第60百分位数是252 B. 乙组数据的中位数是246 C. 从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为 D. 甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高 10. 设函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 的图象有对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 11. 在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足．以下对运动过程的描述，正确的是（ ） A. 存在，满足 B. 存在，使与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为定值 D. 四面体的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______. 13. 已知点M是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:上，则的最小值为__________． 14. 已知函数，则______． 四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图． 1若，证明：平面； 2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长． 16. 已知函数. （1）经过点作函数图象的切线，求切线的方程； （2）设函数，求在上的最小值. 17. 已知双曲线的离心率为，直线与双曲线相交于，两点． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若以为直径的圆过双曲线的左顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （3）设点是满足（2）的双曲线上的一个动点，过分别作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，判断的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由． 18. 无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． （1）为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度 性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； （3）从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 19. 在人工智能的训练过程中，数据预处理至关重要．现有一种“数据筛选器”工具，其功能为：对于一个无穷非负正整数数列，通过操作删去其中除以余数为的所有项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据筛选器”工具对数列进行操作后得到，设前项和为． （1）求； （2）是否存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由； （3）若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $