精品解析：广东省茂名市祥和中学2024-2025学年上学期九年级数学期中测试卷

2024-2025学年度第一学期 初三数学期中测试卷 注意事项： 1．共4页． 2．时间共120分钟．满分为120分． 3．作答必须在答题卡指定区域上完成，在非指定区域上作答无效． 4．保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 如图，直线，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 1.5 C. 4 D. 2 2. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且 ，若的面积为4，则的面积是（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若点D是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A. （﹣3，﹣1） B. （﹣1，2） C. （﹣9，1）或（9，﹣1） D. （﹣3，﹣1）或（3，1） 7. 一次函数与反比例函数在同一平面坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 10. 如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填写在答题卡相应位置． 11. 若，则______． 12. 当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积应满足不小于______（）． 13. 如图，A为反比例函数图象上一点，垂直x轴于B点．若，则k的值为_________． 14. 如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 15. 如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时，______cm． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积． 18. 我市某校准备成立四个活动小组：．声乐，．体育，．舞蹈，．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽查了　 　名学生，扇形统计图中的值是　 　； （2）请补全条形统计图； （3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 综合实践：一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为．现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示． （1）在图②中，______，______，______； （2）请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求． 20. 某商场有A，B两款电器，购买2台A款电器和1台B款电器要840元，购买1台A款电器和2台B款电器要780元． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， （1）求函数的表达式； （2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； （3）求的面积． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求BC的长； （3）如图3，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 23. 如图，已知正方形，点为边上一点，，交于点． （1）的值为 ； （2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接，，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图，当时，其他条件不变，将绕点顺时针旋转，连接，设旋转角为，当 时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期 初三数学期中测试卷 注意事项： 1．共4页． 2．时间共120分钟．满分为120分． 3．作答必须在答题卡指定区域上完成，在非指定区域上作答无效． 4．保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 如图，直线，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 1.5 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再根据平行线分线段成比例定理列比例式得，进而求解即可． 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确的找出对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故选：C 2. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义成为解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，靠近上部分有一条横着的实线，靠近下部分有一条横着的虚线，即看到的图形如下： ． 故选：C． 3. 已知，且 ，若的面积为4，则的面积是（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为4， ∴的面积为9， 故选：C． 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是反比例函数的性质和象限内点坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限函数的增减性解答． 【详解】解：， 反比例函数的图象在一、三象限，在每一象限内，y的值随着x的值增大而减小， 点在第三象限， ， ， ，两点在第一象限， ， ，，的大小关系为． 故选：B． 5. 如图，若点D是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵点D是线段的黄金分割点（），， ∴． 故选：D 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A. （﹣3，﹣1） B. （﹣1，2） C. （﹣9，1）或（9，﹣1） D. （﹣3，﹣1）或（3，1） 【答案】D 【解析】 【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 7. 一次函数与反比例函数在同一平面坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数、一次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，一次函数与轴的交点坐标为，根据当反比例函数，此时一次函数应经过第一、三、四象限；当反比例函数，此时一次函数应经过第一、二、四象限；对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，一次函数与轴的交点坐标为， 当反比例函数，此时一次函数应经过第一、三、四象限；当反比例函数，此时一次函数应经过第一、二、四象限； ∴A正确，故符合要求；B、C、D错误，故不符合要求； 故选：A． 8. 如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确； D、当时，其夹角不相等，则不能，故D不正确； 故选：D． 9. 若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 10. 如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】通过证明可得，再结合是边的中点，可证，故①正确；过D作交于G，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得，故②正确；由平行线性质可得，，可证，故④正确；由可得，由，可得，由可得，进而可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，故③正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ，， ， ， ∵是边的中点， ， ， ， ， 故①正确； 如图，过D作交于G， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ，且， 是的垂直平分线， ， 故②正确； ∵四边形是矩形， ∴， ， ， 又， ， ， 故④正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； 故选：D． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填写在答题卡相应位置． 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值题，解题时先依据分式减法法则拆分目标分式再，代入已知的的比例值，计算得出结果，考查了分式拆分运算和比例代入计算的相关知识． 【详解】解：， 把代入，得： ， 即：的值为． 故答案为：. 12. 当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积应满足不小于______（）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．先用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据第一象限中反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系， 可设， 把代入，得， 解得， 与成反比例函数关系为， 令，则， 解得， ， 在第一象限中，随着得增大而减小， 当气球内的气压大于时，气球会爆炸， 为了安全，， 当时，， 当气球内的气压小于等于时，气球内气体体积应满足不小于． 故答案为：． 13. 如图，A为反比例函数图象上一点，垂直x轴于B点．若，则k的值为_________． 【答案】． 【解析】 【分析】设，则，再利用反比例函数的性质可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， ∵图象在二，四象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数与图形面积问题，如果点在反比例函数图象上构成直角三角形或者矩形，一般是利用反比例函数的值与矩形面积相等，或者是三角形面积两倍的关系． 14. 如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 【答案】12.8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：依据题意，得， ，， ， ， ， ， 即， ， 教学楼的高度为． 故答案为：12.8． 15. 如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时，______cm． 【答案】或20 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：∵， ． ①当时，有， 即， 解得， ∴； ②当时，有， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上，当与相似时，或20 ． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）公式法解方程即可； 【小问1详解】 解：移项得， 提公因式得， 即或， 解得，； 【小问2详解】 ， 解： 所以 所以， 17. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）S平行四边形ABCD =24 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题； （2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题. 【详解】（1）略 （2）连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD， AO=OC=AC=×6=3， ∵AB=5，AO=3， ∴BO===4， ∴BD=2BO=8， ∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键. 18. 我市某校准备成立四个活动小组：．声乐，．体育，．舞蹈，．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽查了　 　名学生，扇形统计图中的值是　 　； （2）请补全条形统计图； （3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1) 50，32； (2)全条形统计图为： （3） 【解析】 【分析】（1）根据D组的人数及占比即可求出本次抽样调查共抽查的人数，故可求出m的值；（2）用调查总人数减去各组人数即可求出B组人数，再补全条形统计图； （3）根据题意列出树状图，再根据概率公式即可求解. 【详解】解：（1）， 所以本次抽样调查共抽查了50名学生， ，即； 故答案为50，32； （2）B组的人数为（人）． （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8， 所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的样本容量. 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 综合实践：一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为．现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示． （1）在图②中，______，______，______； （2）请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求． 【答案】（1），， （2）甲同学 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用面积法和勾股定理即可求出，，． （2）图①中，设正方形的边长为x,先证，根据相似三角形对应边成比例可得，即可求出x的值；图②中，设正方形的边长为y先证，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得，即可求出y的值；比较x、y的大小即可得解． 【小问1详解】 解：∵是直角三角形，且，面积为， ∴， ， 解得， ， 又， ， 解得． 故答案为：，， 【小问2详解】 解：如图①，设正方形的边长为x, ， ， ， ， 解得； 如图②，过C点作于G,分别交、于K、G两点， 设正方形的边长为y, ， ， ， ， 解得， ． ∴图①中正方形的面积较大， ∴甲同学的加工方法符合要求． 20. 某商场有A，B两款电器，购买2台A款电器和1台B款电器要840元，购买1台A款电器和2台B款电器要780元． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 【答案】（1）300元，240元 （2）40元 【解析】 【分析】（1）设每台A款电器售价x元，每台B款电器售价y元，根据题意列二元一次方程组求解即可． （2）设每台A款电器应降价a元，根据商场想要每月销售A款电器的利润为10800元列一元二次方程求解即可． 本题主要考查了运用二元一次方程组解应用题和列一元二次方程解决利润问题，正确的列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每台A款电器售价x元，每台B款电器售价y元，根据题意得 ， 解得． 答：每台A款电器售价300元，每台B款电器售价240元． 【小问2详解】 解：设每台A款电器应降价a元，根据题意得 ， ， ， ，， 由于要尽可能减少库存，故取； 答：每台A款电器应降价40元． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， （1）求函数的表达式； （2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）或者 （3） 【解析】 【分析】（1）先把代入得到，据反比例函数的图象过点利用待定系数法求出k即可； （2）根据（1）中求得出B点坐标，结合以及函数图像进而求得结论； （3）根据待定系数法求出一次函数解析式，得到直线与y轴的交点坐标，将分割为，求出即可． 【小问1详解】 解：A、B点是一次函数与反比例函数的交点， ∴A，B点在一次函数上， ∴当时，；当时， ∴，， 将A点坐标代入反比例函数，∴，即， 即反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：一次函数值大于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∵、， ∴一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为：或者． 【小问3详解】 解：设一次函数与x轴的交点为， ． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出是解题关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求BC的长； （3）如图3，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 【答案】（1）15°；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据可求得∠AFB=30°，利用矩形的性质，折叠的性质，可证 ∠AFB=∠FBC=30°=2∠CBE，求解即可； （2）证明△DFE∽△ABF，先求得DE，再求得EF=EC的长，运用勾股定理求得DF的长，结合条件计算AF的长，求和即可； （3）过点N作NG⊥BF，垂足为G，证明△GFN∽△AFB，得到AB=2GN=2AN，设NF=x，AN=y， 在直角三角形ABF中实施勾股定理，确定y，x之间的关系，从而计算的值． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD=90°， ∵沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， ∴BC=BF，EC=EF，∠BFE=∠BCD=90°，∠FBE=∠CBE， ∵BC=2AB， ∴BF=2AB， ∴∠AFB=30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB=∠FBC=30°=2∠CBE， ∴∠CBE=15°； （2）∵∠BFE=∠BAF=∠ADC= 90°， ∴∠ABF=∠DFE， ∴△DFE∽△ABF， ∴DF：AB=DE：AF， ∵，且 ∴DE=2， ∴EF=EC=3， ∴DF==， ∴AF==2， ∴BC=3； （3）过点N作NG⊥BF，垂足为G， ∵BM平分∠ABF， ∴AN=GN， ∵∠FGN=∠FAB= 90°，∠GFN=∠AFB， ∴△GFN∽△AFB， ∴GN：AB= FN：FB， ∵NF=AD，BC=BF=AD， ∴GN：AB=1:2， ∴AB=2GN=2AN， 设NF=x，AN=y，则AB=2y ，BC=BF=2x， 在直角三角形ABF中，根据勾股定理，得 ， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形相似的性质和勾股定理是解题的关键． 23. 如图，已知正方形，点为边上一点，，交于点． （1）的值为 ； （2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接，，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图，当时，其他条件不变，将绕点顺时针旋转，连接，设旋转角为，当 时，． 【答案】（1） （2） 解：与的数量关系为． 证明：将绕点顺时针旋转到如图示的位置，连接、， ∴ 由（1）知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或° 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质推出°，°，，继而推出，，可得结论； （2）先判断出，进而得出，即可得出结论； （3）先证明得，再推出是等边三角形，求出，再分两种情况计算即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵在正方形中，是正方形的对角线， ∴°，°，， ∴， ∵， ∴°， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在正方形内部，如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即：， 当点在正方形外部，如图，连接， 同理，是等边三角形， ∴， ∴， 即：， 综上所述，当或时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出是等边三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $