专题13.3空间直线与平面的位置关系 （八个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题13.3空间直线与平面的位置关系 一、直线与平面的位置关系 五、由线面平行的性质判断点的位置或求长度 二、线面有关命题的判断 六、线面垂直的判定与性质的结合 三、直线与平面平行的判定 七、直线与平面所成的角 四、直线与平面平行的性质 八、已知线面角求其他 知识点1直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有无数个公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 知识点2直线与平面垂直的判定和性质 1.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 3.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 重难点一、直线与平面的位置关系 【例1】直线a，b是异面直线，是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（    ） A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过至少有一个平面平行于a，b C．过有无数个平面平行于a，b D．过且平行于a，b的平面可能不存在 【例2】如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，的中点，则下列结论中正确的是（   ） A．与异面 B．与异面 C．平面 D．平面 【变式1-1】如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 【变式1-2】如图， 在正方体中， 直线与平面的位置关系为（    ） A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直 C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行 【变式1-3】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：    （1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ； （2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ； （3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ； （4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ． 根据直线与平面的交点个数进行判断位置关系 重难点二、线面有关命题的判断 【例3】已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为异面直线且，则与中至少一条相交 D．若，则 【例4】已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】（多选）设为两个平面，m、n为两条直线，且.下述四个命题为真命题的有（    ） A．若，则且 B．若，则n平行于平面α内的无数条直线 C．若且，则 D．若n在平面外，则m与n平行或异面 【变式2-2】设直线平面，平面平面直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 根据线面平行、垂直的判定定理和性质定理进行判断即可 重难点三、直线与平面平行的判定 【例5】如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： (1)四边形是菱形； (2)平面． 【例6】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点．求证：平面； 【变式3-1】如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 【变式3-2】在三棱柱中，分别是，的中点.求证：平面. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，且M，N分别为PD，AC的中点． (1)求证：平面PBC； (2)求三棱锥的体积． 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤：①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；②证明已知直线平行于找到(作出的)直线；③由判定定理得出结论 重难点四、直线与平面平行的性质 【例7】如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 【例8】如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：    (1)与是否平行？说明理由； (2)与平面是否平行？试证明你的结论． 【变式4-1】如图所示，在空间四边形中，F，G分别是BC，CD的中点，平面，则EH与FG的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【变式4-2】在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与不重合，是线段的两个三等分点，且．若平面和平面的交线为，证明：平面. 【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行. 重难点五、由线面平行的性质判断点的位置或求长度 【例9】如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 【例10】如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【变式5-1】如图，已知三棱柱中，是上的动点，是上的动点，且，平面． （1）若是的中点，则的值为 ； （2）若是上靠近的三等分点，则的值为 ． 【变式5-2】在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 【变式5-3】如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    重难点六、线面垂直的判定与性质的结合 【例11】如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，． 求证：； 【例12】如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥.证明：. 【变式6-1】（多选）如图所示，圆所在的平面，是圆的直径，是圆上异于A，的一点，，分别是点A在，上的投影，则（    ） A． B． C． D．平面 【变式6-2】如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是的中点.    (1)求该圆柱体的体积； (2)证明：平面. 【变式6-3】如图，在直三棱柱中，，，，点M，N分别在，上，且，．求证：平面； 1.利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论； 2.要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论. 重难点七、直线与平面所成的角 【例13】如图，在直三棱柱中，D，E为，中点，连接，． (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【例14】如图，平面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式7-1】棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】在正方体中，E，F分别是，的中点，求： (1)与平面所成角的余弦值； (2)EF与平面所成的角. 【变式7-3】如图，已知平面，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 重难点八、已知线面角求其他 【例15】已知在正三棱柱中，，与平面所成的角为，则该正三棱柱的体积为 ． 【例16】正方体的棱长为，是线段上的动点. (1)求证：平面平面； (2)与平面所成的角的余弦值为，求的长． 【变式8-1】在三棱锥P-OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB= .（用角度表示） 【变式8-2】如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 .    【变式8-3】如图，在三棱锥中，为的中点，是边长为1的等边三角形，. (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 一、单选题 1．已知为三条不同的直线，为三个不同的平面．若，，，，则（    ） A．与相交 B．与相交 C．与平行 D．与相交 2．在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 3．已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知是从点出发的三条射线，若，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 6．如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，四个三角形为正三角形，分别是的中点，在此四棱锥中，则（    ） A．与是异面直线，且平面 B．与是相交直线，且平面 C．与是异面直线，且平面 D．与是相交直线，且平面 7．已知三棱柱的棱长均为3，为的中点，在上，且平面，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 9．已知正方体，则（    ） A．直线与面平行 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面垂直 三、填空题 10．正方体中，与平面平行的面对角线有 条． 11．如图，在矩形中，，，和交于点，将沿直线翻折，则以下命题中，真命题的序号有 ．（写出所有真命题的序号） ①存在，在翻折过程中存在某个位置，使得； ②存在，在翻折过程中存在某个位置，使得； ③存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面； ④存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面. 四、解答题 12．如图，在四棱锥中，底面是菱形且，是边长为的等边三角形，，，分别为，，的中点，与交于点．证明：平面.      13．如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 14．如图，正三棱柱中，为的中点．    (1)求证：平面； (2)当的值为多少时，平面?请给出证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.3空间直线与平面的位置关系 一、直线与平面的位置关系 五、由线面平行的性质判断点的位置或求长度 二、线面有关命题的判断 六、线面垂直的判定与性质的结合 三、直线与平面平行的判定 七、直线与平面所成的角 四、直线与平面平行的性质 八、已知线面角求其他 知识点1直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有无数个公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 知识点2直线与平面垂直的判定和性质 1.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 3.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 重难点一、直线与平面的位置关系 【例1】直线a，b是异面直线，是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（    ） A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过至少有一个平面平行于a，b C．过有无数个平面平行于a，b D．过且平行于a，b的平面可能不存在 【答案】D 【详解】如：且异面，均在面内时，如下图示，    此时，将平移至与相交，则与所在平面即为，    若要过点作与平行的平面，则过点可以作另一个平面与平行，而， 显然有矛盾，故上述情况不可能有过点A的平面同时平行于a，b，故A、B、C错，D对； 故选：D 【例2】如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，的中点，则下列结论中正确的是（   ） A．与异面 B．与异面 C．平面 D．平面 【答案】A 【详解】 在直三棱柱中，，平面， ，且平面，,所以与异面，故A正确； 显然平面，平面，故与共面，故B错误； 因为平面，所以平面，故C错误； 在直三棱柱中平面平面，平面， 所以平面，显然平面，故D错误. 故选：A 【变式1-1】如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【详解】在长方体中， 直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确； 点平面，点平面，即直线平面，B不正确； 直线平面，则与平面无公共点，直线平面， 所以直线与直线没有公共点，C不正确； 直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面， 则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行， 因此直线与直线是异面直线，D正确. 故选：D 【变式1-2】如图， 在正方体中， 直线与平面的位置关系为（    ） A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直 C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行 【答案】B 【详解】由正方体的性质知：面即为面，而直线与面交于，但不垂直. 故选：B 【变式1-3】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：    （1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ； （2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ； （3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ； （4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ． 【答案】 平行 异面 相交 异面 【详解】由正方体性质易知，故为平行四边形，故直线，则两直线“平行”，所以(1)应该填“平行”； 直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”； 点 平面内， 平面而且，点C不在平面内，则直线与直线 “异面”．同理，直线与直线 “异面”．所以(2)(4)都应该填“异面”. 故答案为：平行；异面；相交；异面 根据直线与平面的交点个数进行判断位置关系 重难点二、线面有关命题的判断 【例3】已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为异面直线且，则与中至少一条相交 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，当时，可能与平行，也可能相交，异面，故A错误； 对于B，当时，可能包含于平面，则不一定平行于，故B错误； 对于C，假设均不与相交，因，则， 又，均不与相交，则，这与为异面直线相矛盾，则与中至少一条相交，故C正确； 对于D，当时，设，则如图当与不垂直时，不与垂直，故D错误.    故选：C 【例4】已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则m，n平行或异面，A选项错误； 若，则或，B选项错误； 若，则m，不一定垂直，也可能平行或相交，C选项错误； 若，，则，D选项正确. 故选：D 【变式2-1】（多选）设为两个平面，m、n为两条直线，且.下述四个命题为真命题的有（    ） A．若，则且 B．若，则n平行于平面α内的无数条直线 C．若且，则 D．若n在平面外，则m与n平行或异面 【答案】BC 【详解】对于A，若，则且或或，故A错误； 对于B，若，，因为，过直线可以有无数个平面与相交， 则交线与直线平行，故B正确； 对C，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线， 则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故C正确； 对于D，若n在平面外，则或与相交， 当则时，或异面， 当与相交时，相交或异面，故D错误； 故选：BC 【变式2-2】设直线平面，平面平面直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】已知直线平面，平面平面直线， 若，由平面，则； 若，此时得不到，直线可能与平面相交，如下图： 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-3】已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：根据线面垂直的定义可知，C正确； 对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误. 故选：C 根据线面平行、垂直的判定定理和性质定理进行判断即可 重难点三、直线与平面平行的判定 【例5】如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： (1)四边形是菱形； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得分别是空间四边形的边的中点， 则是的中位线，是的中位线， 由中位线定理得，且， 同理可得，，因为，所以， 因为，，所以，故四边形为平行四边形， 因为，所以四边形是菱形． （2）由上问得，而平面，且平面， 得到平面，故平面． 【例6】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】在四棱锥中，底面为正方形，连接交于点，连接，如下图所示： 则是的中点，而为中点，于是， 又平面，平面， 所以平面. 【变式3-1】如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 【答案】①③ 【详解】对于①，由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，取的中点G，连接， ∵E是的中点，， ∴， ∴四边形为梯形， ∴直线与直线相交， ∴与平面相交，故②错误； 对于③，连接，交于点O，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴O是的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故③正确． 故答案为：①③ 【变式3-2】在三棱柱中，分别是，的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接， 因为分别是的中点， 所以，且. 因为，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，且M，N分别为PD，AC的中点． (1)求证：平面PBC； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【详解】（1）证明：如图，连接BD，由ABCD是平行四边形，则有BD交AC于点N． ∵M，N分别为PD，BD的中点，∴． 又平面PBC，平面PBC，故平面PBC． （2）∵，∴，∴平行四边形ABCD为矩形． ∵，∴，， ∴． 又平面ABCD，M为PD的中点，则M到平面ACD的距离为． ∴． 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤：①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；②证明已知直线平行于找到(作出的)直线；③由判定定理得出结论 重难点四、直线与平面平行的性质 【例7】如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 【答案】证明见解析 【详解】因为，，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以. 【例8】如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：    (1)与是否平行？说明理由； (2)与平面是否平行？试证明你的结论． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)平行，证明见解析 【详解】（1）平行，理由如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 又平面平面，平面，所以． （2）平行．证明如下：如图所示，    取的中点，连接， 故,又 所以且． 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面， 所以平面． 【变式4-1】如图所示，在空间四边形中，F，G分别是BC，CD的中点，平面，则EH与FG的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【详解】因为分别为的中点， 所以, 因为平面,平面平面,平面, 所以, 由平行的传递性可知. 故选：A. 【变式4-2】在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与不重合，是线段的两个三等分点，且．若平面和平面的交线为，证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】由知为中点，又为中点， 所以，平面，平面， 所以平面，又平面， 由平面平面，且， 故由线面平行的性质定理可得， 由点与不重合，可知平面，故平面， 又平面，所以平面. 【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接, 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2）分别是的中点， ， 平面，平面， 平面， 若平面平面， 又平面， 所以. 运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行. 重难点五、由线面平行的性质判断点的位置或求长度 【例9】如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 【答案】 【详解】根据题意，因为平面，平面， 且平面平面 所以. 又是的中点，所以是的中点. 因为在中，，故. 故答案为： 【例10】如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【答案】2 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 【变式5-1】如图，已知三棱柱中，是上的动点，是上的动点，且，平面． （1）若是的中点，则的值为 ； （2）若是上靠近的三等分点，则的值为 ． 【答案】 1 2 【详解】（1）如图，设平面与直线相交于点，连接，． 因为平面，平面，平面平面， 所以． 又，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，则四边形是平行四边形． 故，所以是的中点． 故，即，即． （2）如图，设平面与直线相交于点，连接，． 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，故四边形是平行四边形， 则，且， 所以，所以， 则，即． 故答案为：1；2. 【变式5-2】在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 【答案】 【详解】 如图所示，连接交于点，连接， 则平面平面， 又平面，且平面，， 又，是棱的中点， 所以，则， 所以，故， 故答案为：. 【变式5-3】如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    【答案】 【详解】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，， 如图所示，连接与交于点，连接， 在棱上取，连接，，则，且， 因为平面PBD，且平面，平面平面， 所以，所以， 又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以， 在直角中，，，所以， 所以.    重难点六、线面垂直的判定与性质的结合 【例11】如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，． 求证：； 【答案】证明见解析 【详解】 连接,∵平面，平面，∴． 又底面为正方形，∴． 又，且，平面，∴平面， ∵平面，∴． 【例12】如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥.证明：. 【答案】证明见解析 【详解】依题意得，， 因为，，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形， 如图，取的中点，连接，， 由，得，， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【变式6-1】（多选）如图所示，圆所在的平面，是圆的直径，是圆上异于A，的一点，，分别是点A在，上的投影，则（    ） A． B． C． D．平面 【答案】ABC 【详解】因为平面，平面，故， 又，平面，故平面， 又平面，从而，故C正确； 因为，平面，故平面， 又平面，所以，故A正确； 由选项A知，而，平面， 从而平面，又平面，故，故B正确； 由上面过程可知，与平面不垂直，故D不正确． 故选：ABC 【变式6-2】如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是的中点.    (1)求该圆柱体的体积； (2)证明：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由已知可得圆柱的底面半径，高， ， 故该圆柱体的体积为； （2）连接，∵是弧中点，∴， 由题可知平面，且平面， ∴，又因为，平面，平面， 所以平面.    【变式6-3】如图，在直三棱柱中，，，，点M，N分别在，上，且，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】如图，连接，，∵，且， ，∴， 又因为直三棱柱，所以，所以四边形是菱形， 又面，平面ABC，故， 所以菱形是正方形，∴． ∵，，，面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵，平面，∴平面．    1.利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论； 2.要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论. 重难点七、直线与平面所成的角 【例13】如图，在直三棱柱中，D，E为，中点，连接，． (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）连接，如图： 因为三棱柱为直三棱柱，所以四边形为矩形， 又为中点，所以也是中点，且为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为，，所以； 又平面，平面，所以， 因为平面，， 所以平面平面，所以. 平面平面，平面平面，平面, 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中：，，, 所以. 【例14】如图，平面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）∵分别为的中点， ∴ ． 又∵， ∴． 又不在平面内，在平面内， ∴平面． （2）连接. 为的中点，且. 平面平面， ∴， ∵， ∴， ∵，平面， 平面， ∵平面， 由（1）有， 又四边形为平行四边形， ∴， ∵，平面. 平面. 为和平面所成的角. 由得， 在Rt中，， 和平面所成角的正弦值为. 【变式7-1】棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图，过作平面于点，连接， 则即为与平面所成角， 因为正四面体棱长为1， 则为的外心，则， ，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 【变式7-2】在正方体中，E，F分别是，的中点，求： (1)与平面所成角的余弦值； (2)EF与平面所成的角. 【答案】(1) (2)45° 【详解】（1）如图所示，连接DB， 平面，是在平面内的射影， 则即为与平面所成的角. ，，， 即与平面所成角的余弦值为. （2）是的中点，平面， 是EF与平面所成的角. 在中，是的中点，是的中点， ，即EF与平面所成的角为45°. 【变式7-3】如图，已知平面，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，，，如图所示， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）因为平面，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 因为，点为的中点， 所以， 因为平面平面平面， 所以平面， 由（1）得四边形为平行四边形，所以， 所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等， 因为平面， 所以即为直线与平面所成角， 因为点为的中点，， 所以， 所以，由， 所以， 所以直线与平面所成角为． 求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 重难点八、已知线面角求其他 【例15】已知在正三棱柱中，，与平面所成的角为，则该正三棱柱的体积为 ． 【答案】 【详解】取的中点为D，连接，由为正三角形，故， 又平面，平面，则， 又，平面，故平面， 连接，则即为与平面所成的角，即， 由平面，故； 由于，故，故， 在中，， 故. 故答案为：. 【例16】正方体的棱长为，是线段上的动点. (1)求证：平面平面； (2)与平面所成的角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，且平面，可得， 四边形为正方形，则， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）设在平面上的射影点为，连接， 可知是以边长为的等边三角形，则， 因为，即，解得， 设与平面所成的角的大小为，因为，则， 则，可得， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 【变式8-1】在三棱锥P-OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB= .（用角度表示） 【答案】 【详解】因为平面，所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为， 所以是直角三角形，， 又，所以， 因为平面，所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为， 所以是直角三角形，， 又，所以， 又，所以在中， ，所以． 故答案为：． 【变式8-2】如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 .    【答案】/ 【详解】    连接， 因为底面，，底面， 所以，， 又，所以， 又，，，平面， 所以平面， 所以直线与侧面所成的角为，即， 所以， 所以在中，， 该三棱柱的侧面积为. 故答案为：. 【变式8-3】如图，在三棱锥中，为的中点，是边长为1的等边三角形，. (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）是边长为1的等边三角形， 为的中点，， ，， ， 又平面平面； （2）由（1）知平面，且平面， 平面平面， 取的中点，连接， ，平面平面， 面， 即为与平面所成的角，， 为的中位线，， 在中，， 故三棱锥的体积为 . 一、单选题 1．已知为三条不同的直线，为三个不同的平面．若，，，，则（    ） A．与相交 B．与相交 C．与平行 D．与相交 【答案】C 【详解】如图：    由，，，得． 又，，所以， 结合，，得． 故选：C 2．在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， 故选：A． 3．已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在矩形中，有， 因为平面， 所以平面，则平面， 因为平面，所以 在中，，，则， 又因为为边的中点，所以， 易知， 因为 所以，则，因为， 则， 在中，， 则矩形的面积为. 因为平面， 所以平面，所以多面体的体积为： . 故选：A. 4．已知是从点出发的三条射线，若，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作平面于，在平面内过作， 垂足分别为，连接，则为直线与平面所成的角， ，平面，则平面， 又平面，则，同理，由， 得，又，因此四边形为正方形，， ，所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B 5．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，    因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故选：C. 6．如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，四个三角形为正三角形，分别是的中点，在此四棱锥中，则（    ） A．与是异面直线，且平面 B．与是相交直线，且平面 C．与是异面直线，且平面 D．与是相交直线，且平面 【答案】B 【详解】根据题意，画出几何体，如图所示， 因为分别是的中点，可得且， 又因为且，所以且， 所以四边形为梯形，所以与为相交直线， 因为为的中点，可得且， 所以四边形为平行四边形，可得， 又因为平面，平面，所以平面. 故选：B. 7．已知三棱柱的棱长均为3，为的中点，在上，且平面，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，因为三棱柱的棱长均为3，所以是边长为3的等边三角形， 因为为的中点，所以⊥，， 因为平面，且，平面，所以，， 则在中，， ． 因为，平面，平面，所以平面， 则上所有点到平面的距离相等， 因为⊥，，，平面， 所以⊥平面， 又因为在上，故点到平面的距离为， 所以. 故选：D 二、多选题 8．如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】ACD 【详解】连接MP，因为，别为棱，中点，所以MP//AD且因为为平行六面，所以且，所以且，故为平行四边形，，故A正确； 因为平面，平面，所以平面；同理平面，故C、D正确 因为与平面相交，且平面//平面，所以与平面相交，又因为平面相交，所以与互不平行.故B错误 故选：ACD 9．已知正方体，则（    ） A．直线与面平行 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面垂直 【答案】AD 【详解】 A：正方体中，易知，在平面内，面，所以A正确； B：为正三角形，又易知与所成的角为，所以B错误； C：连接交于点，则. 正方体中易知：平面平面，且相交于点， 平面即为直线与平面所成角的平面角， 设正方体棱长为2，则. ，所以C错误； D：且，都在平面面内， 面，所以D对. 故选：AD 三、填空题 10．正方体中，与平面平行的面对角线有 条． 【答案】3 【详解】 如图，连结、、. 由正方体的性质可得，，且，所以四边形是平行四边形， 所以. 因为平面，平面，所以平面. 同理可得，平面，平面. 其余面对角线均与、、有交点， 所以，与平面平行的面对角线有3条. 故答案为：3. 11．如图，在矩形中，，，和交于点，将沿直线翻折，则以下命题中，真命题的序号有 ．（写出所有真命题的序号） ①存在，在翻折过程中存在某个位置，使得； ②存在，在翻折过程中存在某个位置，使得； ③存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面； ④存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面. 【答案】①②③； 【详解】当时，所以此时矩形为正方形，则， 将沿直线翻折，若使得面面，由平面， 面面，所以面，又面，所以，故①正确； 当时，由，且，面， 所以面，又面，所以，故②正确； 在矩形中，，所以将沿直线翻折时， 总有，取，当将沿直线翻折到时， 有，即，且，平面， 此时满足平面，故③正确； 若平面，又平面，则， 所以在中，为斜边，这与相矛盾，故④不正确． 故答案为：①②③． 四、解答题 12．如图，在四棱锥中，底面是菱形且，是边长为的等边三角形，，，分别为，，的中点，与交于点．证明：平面.      【答案】证明见解析 【详解】如图，设与交于点，连接， 因为分别为的中点，底面是菱形， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，即， 因为为的中点，所以为的中点， 因为为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面.    13．如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【详解】（1）平面， 为直线与平面ABCD所成的角， 在中，， 直线与平面ABCD所成角的正切值为. （2）证明：平面，平面，， 又四边形为正方形，则， ∵，平面， 平面， 平面，. 14．如图，正三棱柱中，为的中点．    (1)求证：平面； (2)当的值为多少时，平面?请给出证明． 【答案】(1)证明见答案. (2) 【详解】（1）    连接,交于点，连接， 因为是的中点，为的中点， 所以是的中位线，即, 平面，平面， 所以平面. （2）时，平面，证明如下： 因为，，， ， ，，即. 因为三棱柱为正三棱柱，为正三角形，且平面， ，，平面，平面， 平面，因为平面， 所以，，平面， 平面. . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$