精品解析：2025年广东省汕头市潮南区陈店公立学校等中考一模数学试题

2024~2025学年度第二学期 九年级数学科模拟考试卷（C） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A. B. C. D. 2. 不论x取何值，下列代数式值不可能为0的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件 B. 抛出的篮球会下落是随机事件 C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定 5. 若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若一个等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x的取值范围是（　　） A. x＞3 B. x＞6 C. 0＜x＜3 D. 3＜x＜6 7. 若，为实数，且，则值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ） A B. C. D. 10. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示是__________． 12. 因式分解：______________． 13. 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则的度数为______________． 14. 刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中为红珠，为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个． 15. 在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则 如图①当时， 如图②当时， 如图③当时， …… 直接写出，当时，______． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． （1）转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________； （2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 21. 如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 11 19 日销售量y（件） 18 2 请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期 九年级数学科模拟考试卷（C） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数负数，即可进行解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴比1小的正无理数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数． 2. 不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断． 【详解】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意； B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意； C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意； D、当x=-1时，，故不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 3. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义即可判断出答案． 【详解】解：选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选： 【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件 B. 抛出的篮球会下落是随机事件 C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定 【答案】D 【解析】 【分析】依据随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A不符合题意； B、抛出的篮球会下落是必然事件，故B不符合题意； C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故C不符合题意； D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故D符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，解题的关键是掌握相应知识点的概念． 5. 若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法求出，的值，根据各象限点的特征即可求得． 【详解】∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴, ∴为， ∴在第二象限， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 6. 若一个等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x的取值范围是（　　） A. x＞3 B. x＞6 C. 0＜x＜3 D. 3＜x＜6 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形两腰相等和三角形中任意两边之和大于第三边列不等式，求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的底边长6，等腰三角形的两腰相等，且三角形中任意两边之和大于第三边 ∴2x＞6， ∴x＞3 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三边关系，掌握等腰三角形三边关系是解题的关键． 7. 若，为实数，且，则值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 9. 如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=，最后利用三角函数定义计算即可． 详解】解：连接OA ∵、分别与相切于点A、， ∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP， ∴∠APD=∠BPD， 在△APD和△BPD中， ， ∴△APD≌△BPD（SAS） ∴∠ADP=∠BDP， ∵OA=OD=6， ∴∠OAD=∠ADP=∠BDP， ∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 在Rt△AOP中，OP=， ∴sin∠ADB=． 故选A． 【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键． 10. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴＞0 ∵抛物线对称轴＞0 ∴b＜0 ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上 ∴c＞0 ∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限； 当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示是__________． 【答案】s． 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】∵， ∴=20×10-9s， 用科学记数法表示得s， 故答案为：s． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 12. 因式分解：______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则的度数为______________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， 故答案为：． 14. 刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中为红珠，为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个． 【答案】20 【解析】 【分析】设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据总数不超过50个列出不等式求解即可． 【详解】解：设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据题意得， ， 由①得，， 结合②得， 解得，， 又因为总弹珠数量、红珠数量和绿珠数量都是整数， 所以，刘凯的蓝珠最多有20个． 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，能够找出不等关系是解答此题的关键． 15. 在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则 如图①当时， 如图②当时， 如图③当时， …… 直接写出，当时，______． 【答案】##0.73 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n时，，代入即可． 【详解】解：根据题意可得，当时，， 则当时，， 故答案为：． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的乘方，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简是解题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将除法转化为乘法，因式分解，约分，分式的减法运算，再将字母的值代入求解即可． 【详解】 ． 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键． 18. 如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析，猜想：DF=3BF，证明见解析． 【解析】 【分析】根据角平分线的作法作出的角平分线即可；由平行四边形的性质可得出.,由AC=2AB得出AO=AB，由等腰三角形的性质得出，从而可得出结论． 【详解】解：如图，AE即为的角平分线， 猜想：DF=3BF 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO，BO=DO ∴ ∵AC=2AB ∴AO=AB ∵AE是的角平分线 ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． （1）转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________； （2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平． 【答案】（1） （2）这个游戏公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）转盘指针指向正数的概率，据此即可求解； （2）通过列表找出事件的所有等可能结果，分别计算小明获胜的概率、小聪获胜的概率即可进行判断． 【小问1详解】 解：∵为正数 ∴转盘指针指向正数的概率为： 【小问2详解】 解：列表得： 6 4 一共有9种等可能的结果 其中的有4种、、、； 其中的有4种、、、 ∴（小聪获胜）；（小明获胜） （小聪获胜）（小明获胜） ∴这个游戏公平 【点睛】本题考查了概率的应用．熟记概率的计算公式以及列表法（或树状图）是解题关键． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 【答案】（1）k＜；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得：k＜； （2）∵k为正整数， ∴k=1或2． 当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意； 当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意． ∴k的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 21. 如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等可得，由得，根据等角对等边可得结论； （2）先证明，，由ASA证明，得，；再求，，再证明得，利用可得结论. 【详解】解：（1）在中，∵与都是所对圆周角， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）∵是的切线，是的直径， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵ ∴， ∴，． 在中，∵，， ∴，即． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵，且， ∴， ∴，即． ∵与都是所对的圆周角， ∴． 在中，， ∴，即． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地识别图形是解题的关键． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 11 19 日销售量y（件） 18 2 请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件；（2）y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3）当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可； （2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可； （3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得： ， 解得：． ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件． （2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得： ，解得：． ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）． （3）由题意得： w＝（﹣2x+40）（x﹣10） ＝﹣2x2+60x﹣400 ＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）． ∴当x＝15时，w取得最大值50． ∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键． 23. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1） （2）成立；理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$