精品解析：江苏省南京市联合体2024-2025学年下学期中考一模数学练习卷

2025年中考模拟练习卷（一） 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 当时，下列式子有意义的是（ ） A. B. C. D. 4. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有一块三角形铁皮余料，，，．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（ ） A. 边上 B. 边上 C. 边上 D. 内 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 64的立方根为__________，若，则__________ 8. 某企业正在抓紧研制厚度为的芯片．用科学记数法表示是__________． 9. 计算的结果是__________． 10. 方程的两个根为，．若，则__________． 11. 若，则a，，的大小关系是__________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，分别是边的中点，若点的纵坐标分别是，则点的坐标是______． 13. 如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，，则的长为______． 14. 若二次函数有最大值为6，则的最小值为__________． 15. 如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为__________°． 16. 如图，在中，，，连接，过点作垂直于，垂足为，交于点，则______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组并写出不等式组的整数解． 19. 如图，在菱形中，过点A作、垂直于、，垂足分别为E、F． （1）求证； （2）若，的面积为4，则菱形的面积为__________． 20. 甲和乙2人去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下： 甲10次射击成绩统计表乙10次射击成绩分布图 命中环数 命中次数 5环 2 6环 1 7环 3 8环 3 9环 1 （1）完成下列表格： 平均数（单位：环） 中位数（单位：环） 方差（单位：环） 甲 7 7 ____①_____ 乙 7 _____②____ 5 （2）甲和乙很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由． 21. 2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》深受观众喜爱，甲、乙、丙三人从这两部电影中任意选择一部观看． （1）甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是__________； （2）用树状图或列表法求甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率． 22. 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 23. 综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥的桥塔的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点C，D，E依次在同一条水平直线上，，，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角为，测得桥塔底部A的俯角为，又在E处测得桥塔顶部B的仰角为．求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 24. 如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． （1）求证：； （2）连接，若为直径，，，求的半径． 25. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 26. 已知：线段c，d， （1）求作：，使，，高． （2）求作：，使，，角平分线． 要求：①作一个即可，用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 27. 【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟练习卷（一） 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，正数负数，负数的绝对值越大反而小． 根据有理数的大小比较法则进行比较即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴比小的数是． 故选：A． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方．熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则法则是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算即可解答． 【详解】解： 故选：D 3. 当时，下列式子有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件“分式的分母不等于0”和二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负的逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，分式的分母，分式无意义，则此项不符合题意； B、当时，分式的分母，分式有意义，则此项符合题意； C、当时，二次根式的被开方数，二次根式无意义，则此项不符合题意； D、当时，分式的分子的被开方数，无意义，则此项不符合题意； 故选：B． 4. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义即可求解． 【详解】解：五名同学捐款数分别是，，，，（单位：元），后来每人追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，不变的是方差；平均数，众数，中位数都会发生变化， 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的定义，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键． 5. 如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与折叠，勾股定理；根据矩形的性质与折叠得到，设，再利用勾股定理，解出的值即可求出． 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，， 在中， ∴ 设， 在中， ∴ 解得： ∴ 故选：B． 6. 如图，有一块三角形铁皮余料，，，．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（ ） A. 边上 B. 边上 C. 边上 D. 内 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，求三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 当圆心在三角形的边上，与另外两边相切时，半圆最大，再依次分析面积的值，即可求解． 【详解】解：当圆心在三角形的边上，与另外两边相切时，半圆最大， 圆心在上时，设切点为、，连接，， ，且，， 设半径是， 则， 同理设半径为，， 则， ， ， ， 面积最大的半圆的圆心在边上， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 64的立方根为__________，若，则__________ 【答案】 ①. 4 ②. 16 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，以及立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴64的立方根为4． ∵， ∴． 故答案为：4，16． 8. 某企业正在抓紧研制厚度为的芯片．用科学记数法表示是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法；根据科学记数法的表示形式为整数，即可求出结果． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 计算的结果是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先利用乘法分配律计算乘法，再计算减法即可． 【详解】解： 故答案为：5． 10. 方程的两个根为，．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系；根据题意得到求出，再利用根与系数的关系求出结果即可． 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴ ∴ 故答案为：． 11. 若，则a，，的大小关系是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握实数大小的比较方法． 根据实数大小的比较方法进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴a，，的大小关系是． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，分别是边的中点，若点的纵坐标分别是，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据菱形的性质的大，根据中点坐标得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，，如图所示，过点作轴于点，则，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵分别是边的中点，若点的纵坐标分别是， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 如图所示，过点作轴于点，则， ∴，，， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 找出半圆圆心，连接，根据三角形的内角和定理得， 又，，则，，求出，则，最后通过弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，找出半圆圆心，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 14. 若二次函数有最大值为6，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值6， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 15. 如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为__________°． 【答案】78 【解析】 【分析】连接AO、FO、、．由正六边形的性质可知，，，，，从而可求出，，，进而可求出．再由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，即得出． 【详解】如图，连接AO、FO、、． 由正六边形的性质可知，，，， ∴为等边三角形，， ∴． 由正五边形的性质可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：78． 【点睛】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．正确的作出辅助线是解题关键． 16. 如图，在中，，，连接，过点作垂直于，垂足为，交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，由四边形是平行四边形，得，，，，从而可证明四边形是平行四边形，然后由直角三角形的性质和勾股定理求出由勾股定理得，，再证明，通过相似三角形的性质求出，最后由线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先将括号内式子通分，再将分式除法转化为分式乘法，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 18. 解不等式组并写出不等式组的整数解． 【答案】不等式组的解集，整数解为3． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出不等式组的解集是解答此题的关键．先求出不等式组中每一个不等式的解集，即可求得整数解． 【详解】解： 解不等式①，， ． 解不等式②，， ． 原不等式组的解集为． 不等式组的整数解为：3． 19. 如图，在菱形中，过点A作、垂直于、，垂足分别为E、F． （1）求证； （2）若，的面积为4，则菱形的面积为__________． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ． ， ． 在和中， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及三角形面积公式，解题的关键是利用菱形性质得到相关线段和角的关系，进而证明三角形全等和判定三角形形状来求解． （1）利用菱形的性质得到，结合，通过“”证明，得出，根据等腰三角形等边对等角的性质，得到； （2）由菱形性质及，得出是等边三角形，再结合全等三角形性质推出，又因为，所以是等边三角形，设，根据等边三角形面积公式，在中，利用所对直角边是斜边的一半及勾股定理求出和的长度，根据菱形面积公式，求出菱形ABCD的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接AC，如下图， 四边形是菱形，， ， ∴是等边三角形． ∵， ∴， 又， ， ∵在菱形中，， ∴， 又∵， 是等边三角形， 设， 已知面积为4，则，解得， 在中，， ， 菱形面积， 故答案为： ． 20. 甲和乙2人去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下： 甲10次射击成绩统计表乙10次射击成绩分布图 命中环数 命中次数 5环 2 6环 1 7环 3 8环 3 9环 1 （1）完成下列表格： 平均数（单位：环） 中位数（单位：环） 方差（单位：环） 甲 7 7 ____①_____ 乙 7 _____②____ 5 （2）甲和乙很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由． 【答案】（1）①；②8 （2） 从方差来看：， ∴甲成绩更稳定． 从中位数来看： ∵甲的中位数是7环，乙的中位数是8环， ∴乙的成绩整体水平比甲高． 【解析】 【分析】本题主要考查了数据的分析中位数，方差的求法，以及用中位数，方差去分析数据，熟练掌握用中位数反映数据的集中趋势和用方差反映数据的波动情况是解此题的关键． （1）按方差计算公式即可得出甲10次射击成绩的方差；把乙10次射击成绩按从小到大的顺序排列，取第5个数和第6个数的平均数即可得出结果． （2）从两人的方差来比较，方差越大，成绩越不稳定，方差越小，成绩越稳定，甲成绩更稳定；从中位数来看，甲的中位数是7环，乙的中位数是8环，得出乙的成绩整体水平比甲高． 【小问1详解】 解：∵甲的平均数为7， ∴甲10次射击成绩的方差为， 从统计图可得： 把乙的10次成绩按从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，8，8，8，9，9，10， ∴乙的10次成绩的中位数是第5个数和第6个数的平均数（环）， 故答案为：①；②8． 【小问2详解】 略 21. 2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》深受观众喜爱，甲、乙、丙三人从这两部电影中任意选择一部观看． （1）甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是__________； （2）用树状图或列表法求甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）先求出从这两部电影中任意选择一部观看，甲共有2种等可能的结果，再利用概率公式计算即可得； （2）将电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》分别记为，画出树状图，从而可得甲、乙、丙三人选择一部观看的所有等可能的结果，再找出甲、乙、丙三人选择同一部电影的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵从这两部电影中任意选择一部观看，甲共有2种等可能的结果， ∴甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：将电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》分别记为，画出树状图如下： 由图可知，甲、乙、丙三人选择一部观看共有8种等可能的结果，其中，甲、乙、丙三人选择同一部电影的结果有2种， 则甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率是， 答：甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率是． 22. 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 【答案】符合， 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可． 【详解】略 23. 综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥的桥塔的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点C，D，E依次在同一条水平直线上，，，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角为，测得桥塔底部A的俯角为，又在E处测得桥塔顶部B的仰角为．求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． 设，解，得到．解，求出，再求出求出，根据即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：． ，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 24. 如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． （1）求证：； （2）连接，若为直径，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点F，连接，如图： 是的切线， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接并延长交于点F，连接，切线的性质得到，，再得到是的垂直平分线，再得出，即可得出结论； （2）连接，得到是的中位线，求出，设，在和中，由勾股定理得，即，，即，从而得到，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： 由（1）可得， ∵， ∴是的中位线， ， 设，在和中，由勾股定理得： ，即， ，即， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的半径为． 25. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 26. 已知：线段c，d， （1）求作：，使，，高． （2）求作：，使，，角平分线． 要求：①作一个即可，用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1） 如图所示为所求： （2） 如图所示为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——画直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线，圆周角定理熟练掌握几种基本尺规作图的方法是解题的关键． （1）先作射线，在射线截取，作线段的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，在线段的垂直平分线上截取，过点E作线段的垂直平分线的垂线交与点C，连接，则即为所求，过点C作的垂线于点D即可； （2）同理（1），以为直径作，作的垂直平分线交与E；过点B作垂线，在垂线上截取点F，；在线段上截取点G，使；在线段上截取点D，使；连射线，交于点C． 【小问1详解】 解：1.先作射线，在射线截取， 2.作线段的垂直平分线交于点O， 3.以点O为圆心，为半径画圆， 4.在线段的垂直平分线上截取， 5.过点E作线段的垂直平分线的垂线交与点C，连接，则即为所求； 6.过点C作的垂线于点D．        理由：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 【小问2详解】 解：1.同理（1），以为直径作，作的垂直平分线交与E； 2．过点B作垂线，在垂线上截取点F，； 3．在线段上截取点G，使； 4．在线段上截取点D，使； 5．连射线，交于点C． 理由：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，且， ∴中，，，角平分线． 27. 【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】 证明：（1）是的中位线， 且． 又绕点D按逆时针方向旋转得到 ． （2）由题意可知：，，． 作，则且， 又， ． 根据外角定理 ， ， ． 又，是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明； （2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明； （3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足． 【详解】略 【点睛】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $