精品解析：重庆市字水中学2024—2025学年高三下学期2月开学考试数学试题

2024—2025学年高三（下）学期2月开学考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，根据真子集定义求解. 【详解】由，解得， ， 所以集合A的真子集有个. 故选：C. 2. 复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其共轭复数的虚部. 【详解】依题意，， 所以的虚部是. 故选：B 3. 已知是空间中三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. ，则 B. 且，则 C. ，则 D. ，则 【答案】B 【解析】 【分析】A. 利用线面的位置关系判断；B.由线面垂直的性质判断； C.利用线面的位置关系判断； D.利用直线与直线的位置关系判断. 【详解】A. 若，则或，故错误； B. 若且，则，故正确； C. 若，则或或与相交，故错误； D. 若，则或l与n异面，故错误. 故选：B 4. 月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则（ ） A 40 B. 80 C. 96 D. 112 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件和等比数列等差数列的性质，得，又q，d均为正整数，求解q的值得. 【详解】依题意，有，， 时，d不是正整数；时，；时，，d不是正整数. 所以，，. 故选：B 5. 在中，是直线上一点且，则（ ） A. -2 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求出，再利用数量积的运算律及定义计算得解. 【详解】由，，得，由共线， 得，解得，则，， 所以. 故选：B 6. 某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（　　） A. 168 B. 192 C. 240 D. 336 【答案】C 【解析】 【分析】先安排第一位和最后一位出场讲演的女生，再对中间4人，为2男2女全排列，减去中间2名女生情况，然后利用分步计数原理求解. 【详解】第一位和最后一位出场讲演的是女生，有种， 中间4人，为2男2女，任意排列有种， 若中间2名女生，则有种，则满足条件的有种， 则共有种不同的安排方法． 故选：C． 7. 在中，内角的对边分别为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先通过三角恒等变换变换得，进一步结合正弦定理即可得解. 【详解】因为，， 所以，，为外接圆的半径， 所以. 故选：C. 8. 已知实数 满足，则 的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数和即可求导，得函数的最值，进而根据得，求解. 【详解】由题意可得， 设则， 故，即， 令，则 当时，，， 故在单调递增，在单调递减， 所以， 令则， 故当，故在单调递减，在单调递增， 故， 由题意可知故，， 此时且解得，故， 故选：A 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C. 已知随机变量 ，若 ，则 D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次． 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用方差的性质计算判断A；利用平均数、中位数的意义判断B；利用正态分布的对称性计算判断C；利用二项分布的概率最大求解判断D. 【详解】对于A，设样本数据为，则，解得， 数据的方差为，A正确； 对于B，一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数，B错误； 对于C，随机变量，由，得，C正确； 对于D，依题意，运动员击中次数，击中次的概率为， 由，解得，因此最有可能击中的次数是8，D正确. 故选：ACD 10. 已知椭圆左焦点，左顶点，经过的直线交椭圆于两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的斜率 B. 的最小值为 C. 以为直径的圆与圆相切 D. 若直线的斜率为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及即可验算；对于B，由弦长公式、韦达定理可得为定值，结合基本不等式之“乘1法”即可判断；对于C，结合椭圆定义以及两点间距离公式即可判断C；对于D，由韦达定理以及斜率公式即可判断D. 【详解】 易知：，对于A，若，显然直线斜率存在且大于0， 设直线，联立椭圆方程， 化简整理得，显然 又，故， 由，解得，又，故，A错误； 对于B，由点在轴的上方，显然， 又， ， 故 ， 当且仅当，即时取等，B正确； 对于C，设，的中点为，则， 又，由椭圆定义知：， 即，又的圆心为，半径为2， 故以（）为直径的圆与圆相切，C正确； 对于D，， ，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：判断B选项的关键是首先得出为定值，判断C选项的关键是结合椭圆定义以及圆相切的条件，从而即可顺利得解. 11. 已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. 的图像关于点成中心对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B，利用赋值法进行计算即可得；对C、D，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得. 详解】对A：令，则有，即，故A正确； 对B：令，则有，又，故， 令，，则有，故，故B错误； 对C：令，则有，即， 则 ，故C正确； 对D：令，则有，即， 则，即， 又，故， 则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题C、D选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在两端且 3 位男生中有且只有 2 位相邻，则不同的站法有_____ 【答案】24 【解析】 【分析】根据甲在第一位以及第五位，即可分类求解. 【详解】若甲在第一位，则两个相邻的男生必须站在23位或者45位，此时有, 同理可得甲在第五位，， 因此共有种方法， 故答案位： 13. 如图，在正四棱柱中，为的中点，则中点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】中点到平面距离为到平面距离的一半，由，等体积法求点到平面的距离. 【详解】设中点为O，O到平面距离为到平面距离的一半，连接， 设到平面的距离为，由，即， ，∴O到平面CDE的距离为. 故答案为：. 14. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. （1）这个数列的第211项为____；  （2）设该数列的前n项和为，则____.（保留幂形式） 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】对数列进行分组如下：第一组：20，1个数；第二组:20，21，2个数；第三组:20，21，22，3个数；…；第k+1组:20，21，22，…，2k，k+1个数，然后求出前组的项数和和，然后可算出答案. 【详解】对数列进行分组如下：第一组：20，1个数；第二组:20，21，2个数； 第三组:20，21，22，3个数；…；第k+1组:20，21，22，…，2k，k+1个数. （1）由，可得，且， 所以第211项是第21组的第1个数，即20=1. （2）该数列前k组的项数和为， 当k=44时，，第组的和为， 所以前k组的和为， 故答案为：1； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前项和为，同时满足成等差数列，是和的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）当时，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助等差数列基本量及等比中项性质计算即可得； （2）借助分组求和及裂项相消法求和即可得. 【小问1详解】 设数列的公差为，则由成等差数列可得： ，整理得， 由是和的等比中项，可得， 代入，可得，即， 即，故或，又，故， 则，即； 【小问2详解】 由， 故， 则 16. 已知的内角，，的对边分别是 ，，，已知 ． （1）求角; （2）若为外一点，在四边形中，边长 ， 求边的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）设，，再表示其他角，两个三角形中根据正弦定理表示，结合三角函数恒等变换，以及三角函数性质，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理， 所以，即， 由正弦定理可得， 即，所以， 又，所以，所以，即， 又，所以； 【小问2详解】 在和中，由正弦定理可得，， 设，，则，，， 故两式相除可得， 即， 因此， 故当时，即时，此时取最大值1，故取最小值. 17. 某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生是否同意“三项体育活动中要有篮球”，学校随机调查了名学生，数据如表： 男生 女生 合计 同意 不同意 合计 （1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? （2）现有足球、篮球、跳绳供学生选择．若甲、乙两学生从三项运动中随机选一种（他们的选择相互独立）．若在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为．记事件为“甲学生选择足球”，事件为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件是否独立，并说明理由． （3）经观察，该校学生每分钟跳绳个数，由往年经验，训练后每人每分钟跳绳个数比开始时增加个，该校有名学生，预估经过训练后每分钟跳个以上人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中； 若，则，，． 【答案】（1）有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关 （2）独立，理由见解析 （3）约人 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）求出，，即可得到，从而得到，即可判断； （3）由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，根据正态分布的性质求出，从而估计出人数. 【小问1详解】 提出零假设：学生对该问题的态度与性别无关． 根据列联表中的数据可求得，． 因为当成立时，概率约为， 所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关． 【小问2详解】 事件、独立．理由如下： 因为，， 所以， 所以，即事件、独立． 【小问3详解】 记经过训练后每人每分钟跳绳个数为， 由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数， 即，因为， 所以， 所以（人）． 所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为． 18. 如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：； （3）若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的标准方程； （2）要证，只需证，通过直线与椭圆联立方程组，由韦达定理和两点间距离公式证明； （3）由题意有，由韦达定理和距离公式化简得，由题意，所以，可得. 【小问1详解】 由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有，， 又点在椭圆上，有，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 要证，即证， 设， 当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立， 当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为， 由得， ， 由得， ， 得，， ，，则有. 所以与等底等高，有. 【小问3详解】 由（2）可知，同理有， 由，可得，则有， 设直线的斜率为，直线方程为，设， 由得， ， ， ， 所以， 即， 化简得，即，由题意，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知函数，. （1）若，求实数的值； （2）当时，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意推到，从而求得，再检验当时，成立，从而得解； （2）利用小问（1）得不等式，再构造函数证得，从而证得，再利用累加法即可得解. 【小问1详解】 因为，注意到， 所以当恒成立时，是的最小值点，也是极小值点，则， 而，所以，解得， 当时，，， 令，得，则在区间上单调递减， 令，得，则在区间上单调递增， 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，，即，当且仅当时等号成立， 令，则，，， 所以，，， 令，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 故当时，，即． 所以，，， 所以 . 【点睛】关键点睛：本题求解的关键是借助得出，结合累加求和可证结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高三（下）学期2月开学考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. 7 D. 8 2. 复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A B. C. D. 3. 已知是空间中三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. ，则 B. 且，则 C. ，则 D. ，则 4. 月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则（ ） A. 40 B. 80 C. 96 D. 112 5. 在中，是直线上一点且，则（ ） A. -2 B. C. D. 0 6. 某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（　　） A. 168 B. 192 C. 240 D. 336 7. 在中，内角的对边分别为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知实数 满足，则 的值为（ ） A B. C. D. 3 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C. 已知随机变量 ，若 ，则 D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次． 10. 已知椭圆左焦点，左顶点，经过的直线交椭圆于两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的斜率 B. 的最小值为 C. 以为直径的圆与圆相切 D. 若直线的斜率为，则 11. 已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. 的图像关于点成中心对称 C D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在两端且 3 位男生中有且只有 2 位相邻，则不同的站法有_____ 13. 如图，在正四棱柱中，为的中点，则中点到平面的距离为______． 14. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. （1）这个数列的第211项为____；  （2）设该数列的前n项和为，则____.（保留幂形式） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前项和为，同时满足成等差数列，是和的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）当时，求数列的前项和． 16. 已知内角，，的对边分别是 ，，，已知 ． （1）求角; （2）若为外一点，在四边形中，边长 ， 求边的最小值． 17. 某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生是否同意“三项体育活动中要有篮球”，学校随机调查了名学生，数据如表： 男生 女生 合计 同意 不同意 合计 （1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? （2）现有足球、篮球、跳绳供学生选择．若甲、乙两学生从三项运动中随机选一种（他们的选择相互独立）．若在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为．记事件为“甲学生选择足球”，事件为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件是否独立，并说明理由． （3）经观察，该校学生每分钟跳绳个数，由往年经验，训练后每人每分钟跳绳个数比开始时增加个，该校有名学生，预估经过训练后每分钟跳个以上人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中； 若，则，，． 18. 如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：； （3）若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 19. 已知函数，. （1）若，求实数的值； （2）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $