精品解析：湖南省娄底市2025年初中毕业学业作业（二）数学试题卷

2025年初中毕业学业作业（二） 数 学 温馨提示： 1、本学科作业分试题卷和答题卡两部分，数学卷面满分120分，考试时量120分钟． 2、请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． 3、请你在答题卡规定区域内作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确是（　　） A B. C. D. 3. 年月日，在巴黎奥运会跳水女子双人米台比赛中，中国组合全红婵/陈芋汐夺得金牌，她们每一跳的成绩分别是，，，，．这组数（成绩）的中位数是（　　） A. B. C. D. 4. 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 若一个正多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 如图，四边形内接于平分，若，则（　　） A. 5 B. C. 6 D. 4 7. 如图，在菱形中，，内切于菱形，则面积与菱形的面积之比是（　　） A. B. C. D. 8. 若不等式组的解集不是空集，则的取值范围为（　　） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图是函数的图象，下列说法正确的有（　　） ①当时，随的增大而减小； ②是由先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； ③与直线没有交点； ④若的图象与的图象只有1个交点，则或0 A. ③ B. ②③④ C. ③④ D. ①②③ 10. 如图，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，则和周长之和的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 的平方根是______． 12. 函数自变量x的取值范围是 _____. 13. 2024年巴黎奥运会共有206个国家10500位运动员参与，10500用科学记数法表示为________． 14. 容融要从波月洞、紫鹊界梯田、湄江国家地质公园、天籁寺、曾国藩故居中选一个作为暑假旅游景点，其中选中天籁寺的概率为______． 15. 若是方程的两个实数根，则_______． 16. 一个直角三角形的两直角边长度分别为、，将这个直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为______． 17. 如图，在中，，，点E、F在对角线上，且，，连接，则______． 18. 如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时，_________________ ． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中为正整数且． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 21. 为了了解学生在周末的上网情况，某中学随机抽取了部分学生对他们周末的上网时间(）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图． （1）本次调查的学生共_____名； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，所对应的圆心角为_____； （4）根据调查结果，请你针对周末上网时间为学生提一条合理化的建议． 22. 如图，是的直径，点、在上，且，，过点的直线与的延长线交于点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 23. 中考在即，为了缓减学生的学习压力，某中学组织九年级450名师生前往曾国藩故居开展研学活动，如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位． （1）求每辆A型巴士和每辆B型巴士的座位数； （2）学校决定租用两种型号的巴士共20辆，且B型巴士最多租8辆，已知每辆A型巴士和每辆B型巴士的租金分别为750元和900元，若要使参加活动的师生均有座位，则共有多少种租车方案？最低租车费用是多少？ 24. 几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 篮球架的结构 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上． 测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到：，，，，，． 请根据表格中提供信息，解决下列问题（结果精确到） （1）求立柱的高度； （2）已知墩墩站立时手臂举至最高处，手掌距地面最大高度为，若墩墩站在地面上想摸到篮筐，则墩墩至少跳多高才能摸到篮筐？ 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 25. 如图1，，以直角三角形的三条边为边分别向外作等边三角形． （1）求证：； （2）如图2，连接、、，已知三线交于点， ①求证：； ②若，求的长． 26. 如图1，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． （1）请直接写出点、、的坐标； （2）如图1，过定点的直线与此抛物线交于两点，连接，当时，求直线的解析式； （3）如图2，若点、是此抛物线上的两个动点，且，连接，以、分别为切点作此抛物线的切线，两切线交于点，过点作轴交于点，求证：线段的长度为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业学业作业（二） 数 学 温馨提示： 1、本学科作业分试题卷和答题卡两部分，数学卷面满分120分，考试时量120分钟． 2、请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． 3、请你在答题卡规定区域内作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据绝对值、相反数的定义化简，再根据倒数的定义即可解答． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，熟练掌握相关运算公式是解题的关键．分别利用整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方进行计算即可． 【详解】解：A中，和不是同类项，不能合并，故选项错误，故不符合题意； B中，，故选项正确，故符合题意； C中，，故选项错误，故不符合题意； D中，，故选项错误，故不符合题意； 故选：B． 3. 年月日，在巴黎奥运会跳水女子双人米台比赛中，中国组合全红婵/陈芋汐夺得金牌，她们每一跳的成绩分别是，，，，．这组数（成绩）的中位数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，熟练掌握中位数的定义是解答本题的关键． 根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：将这个数按照从小到大排列为： ，，，，， 这组数（成绩）的中位数是， 故选：A． 4. 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 若一个正多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的问题，设这个多边形的边数为n，根据“正多边形的外角和是其内角和的”列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 6. 如图，四边形内接于平分，若，则（　　） A. 5 B. C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了平行线的性质，圆周角定理，等角对等边，连接，根据，得出，根据角平分线得出， 等量代换得出，等角对等边得出，圆周角定理和等量代换得出，等角对等边得出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，在菱形中，，内切于菱形，则的面积与菱形的面积之比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，菱形的性质，解直角三角形等知识，正确添加常用辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 设、、上的切点分别为，连接，则，再说明是直角三角形，分别用表示出的长，最后根据面积法求解即可． 【详解】解：如图：设、、上的切点分别为，连接，则， ∵内切于菱形， ， 平分，平分， ， ， ∵菱形中，， ∴， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 若不等式组的解集不是空集，则的取值范围为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集不是空集得出即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集不是空集， ∴， 当时，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上，的取值范围为或． 故选：C． 9. 如图是函数的图象，下列说法正确的有（　　） ①当时，随的增大而减小； ②是由先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； ③与直线没有交点； ④若的图象与的图象只有1个交点，则或0 A. ③ B. ②③④ C. ③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，观察图象判定①和②；根据当时，无意义即可判断③；联立方程组，展开化简得，然后分和讨论，即可判定④． 【详解】解：观察图象知：当时，随的增大而减小；是由先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； 故①、②错误； 当时，无意义， ∴与直线没有交点， 故③正确； 联立方程组， 化简得， 当时， ∵的图象与的图象只有1个交点， ∴， 解得， 当时，方程可化为，解得，符合题意， 综上，的图象与的图象只有1个交点，则或， 故④正确， 故选：C． 10. 如图，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，则和周长之和的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得出的周长的周长，即可得的周长的周长取最小值时，则最小即可，如图，在上截取，连接，证明，得出，平移至，连接，连接交于点，此时，，得出当三点共线时，最小，最小值为，证明四边形是平行四边形，得出，即可得，即点与点重合，此时，，过点作交于点，过点作交于点，在中，求出，得出，在中求出，得出，在中，勾股定理求出，即可得，求出的最小值，即可求出的周长的周长最小值． 【详解】解：∵， ∴的周长的周长 ， ∴的周长的周长最小值时，则最小即可， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 平移至，连接，连接交于点， 此时，， ∵， ∴当三点共线时，最小，最小值为， 根据平移可得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，即点与点重合， 此时，， 过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴的周长的周长最小值， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了平移的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形三边关系，二次根式的性质等知识点，解题的关键是通过转化确定的最小值． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，满足，那么a就叫做b的立方根，据此先求出的结果， 再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故答案为：． 12. 函数自变量x的取值范围是 _____. 【答案】x≥1且x≠3 【解析】 【分析】根据分式成立的条件，二次根式成立的条件列不等式组，从而求解. 【详解】解：根据题意得：， 解得x≥1，且x≠3， 即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3． 故答案为x≥1且x≠3． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件． 13. 2024年巴黎奥运会共有206个国家10500位运动员参与，10500用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案：． 14. 容融要从波月洞、紫鹊界梯田、湄江国家地质公园、天籁寺、曾国藩故居中选一个作为暑假旅游景点，其中选中天籁寺的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：从波月洞、紫鹊界梯田、湄江国家地质公园、天籁寺、曾国藩故居中选一个作为暑假旅游景点，其中选中天籁寺的概率为， 故答案为：． 15. 若是方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，分式化简求值．正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据题意得出，再得出，进而变形求出答案即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ， ， ∴， ， 故答案为：． 16. 一个直角三角形的两直角边长度分别为、，将这个直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积、圆锥的表面积及其性质，熟练掌握圆锥的表面积的计算方法是解题的关键．先求出直角三角形的斜边长，设斜边上的高为，利用等面积法求出，所得几何体是两个共底的圆锥，其底面半径为，母线长分别为、，即可得出． 【详解】解：直角三角形的斜边长为， 设斜边上的高为， 则直角三角形面积为， ∴， 将这个直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周所得几何体是两个共底的圆锥， 其底面半径为，母线长分别为、， ∴其表面积为． 17. 如图，在中，，，点E、F在对角线上，且，，连接，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】先证明，从而得到，再由，则，，在中，由勾股定理，得求得，继而求得，，设对角线线相交 于O，则，，在中，由勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，， 在中，，， 由勾股定理，得 即 ∴ ∴，， 设对角线线相交 于O，如图， ∵ ∴，， 在中，由勾股定理，得 ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 18. 如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时，_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，得到直线与圆位置关系是解题的关键． 首先根据直角三角形斜边中线性质确定点C的运动轨迹，得到点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆，再利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一性质来求解b的值 【详解】解：∵，C是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，已知，则, ∴点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 设直线l与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，作于点D，如下图： 当直线l与圆只有1个交点时，直线l与圆相切，此时圆心到直线l的距离等于圆的半径， ∴， 在直线中，令，则，令，则求得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式，特殊角的三角函数，熟练掌握相关定义和运算是解题的关键．先利用零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式，特殊角的三角函数化简，再进行加减． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中为正整数且． 【答案】化简得，求值得 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，代数式求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简步骤是解题的关键．先化简分式，再利用分式有意义的条件结合为正整数且，确定的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵为正整数且，且，， ∴， ∴原式． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 21. 为了了解学生在周末的上网情况，某中学随机抽取了部分学生对他们周末的上网时间(）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图． （1）本次调查的学生共_____名； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，所对应的圆心角为_____； （4）根据调查结果，请你针对周末的上网时间为学生提一条合理化的建议． 【答案】（1）200 （2） 补图，如下： （3）45 （4） 学生应控制周末的上网时间． 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形图中某部分所占的百分比，补全条形图，掌握以上基础统计知识是解本题的关键． （1）由组有45人，占比，从而可得总人数； （2）先求解组和组的人数，再补全图形即可； （3）用乘以组所占百分比即可； （4）根据题意解答即可． 【小问1详解】 解：（名）， ∴本次调查的学生共 200 名， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：组所占百分比为， 组所占百分比为， 组人数为人， 组人数为人， 【小问3详解】 解：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：学生应控制周末的上网时间． 22. 如图，是的直径，点、在上，且，，过点的直线与的延长线交于点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，，得出是等边三角形，，根据圆周角定理得出，等边对等角得出，从而得出，根据，求出，求出，即可证明． （2）过点作，根据（1）可得是等边三角形，即可得，根据（1）可得，即可求出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作， 根据（1）可得是等边三角形， ∴， 根据（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】该题主要考查了切线的判定，等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 23. 中考在即，为了缓减学生的学习压力，某中学组织九年级450名师生前往曾国藩故居开展研学活动，如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位． （1）求每辆A型巴士和每辆B型巴士的座位数； （2）学校决定租用两种型号的巴士共20辆，且B型巴士最多租8辆，已知每辆A型巴士和每辆B型巴士的租金分别为750元和900元，若要使参加活动的师生均有座位，则共有多少种租车方案？最低租车费用是多少？ 【答案】（1）每辆A型巴士的座位数为20个，每辆B型巴士的座位数为30个 （2）共有4种租车方案，最低租车费用为15750元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是： （1）设每辆A型巴士的座位数为m个，每辆B型巴士的座位数为n个，根据“如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位”列方程组求解即可； （2）设租用A型巴士x辆，则租用B型巴士辆，以此可列出一元一次不等式，求得m的范围，设租车的总费用为w（元），因此，根据一次函数的性质，结合m的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：设每辆A型巴士的座位数为m个，每辆B型巴士的座位数为n个， 根据题意，得， 解得， 答：每辆A型巴士的座位数为20个，每辆B型巴士的座位数为30个； 【小问2详解】 解：设租用A型巴士x辆，租用B型巴士辆， 根据题意，得， 解得， ∵x为整数， ∴x的取值为12、13、14、15， ∴共有4种租车方案， 设租车总费用为w元， 则， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取最小值，最小值为， 答：共有4种租车方案，最低租车费用为15750元． 24. 几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 篮球架的结构 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上． 测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到：，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到） （1）求立柱的高度； （2）已知墩墩站立时手臂举至最高处，手掌距地面最大高度为，若墩墩站在地面上想摸到篮筐，则墩墩至少跳多高才能摸到篮筐？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角函数的实际应用，矩形的判定与性质，熟练根据题意正确构造直角三角形，并熟练掌握解三角形是解题的关键． （1）在中，利用求解即可； （2）过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点，确定四边形和四边形是矩形，利用求出，在中利用三角函数求出，则可求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∵，的长为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点， ∵是水平线，立柱垂直地面， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵平行地面，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵手掌距地面最大高度为， ∴ ∴墩墩至少跳才能摸到篮筐． 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 25. 如图1，，以直角三角形的三条边为边分别向外作等边三角形． （1）求证：； （2）如图2，连接、、，已知三线交于点， ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：过点分别作的垂线，垂足分别为，如图， ∴， 在等边中， ∴， 则， ∴， 同理可得：， ； 又 ∵在 中，， ． （2）①证明：在等边和等边中，， ， ， 在和中， ， ， ， 在等边和等边中，， ， ， 在和中， ， ， ， ． ② 【解析】 【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，如图，在等边中，得出，，同理可得：，即可得，在中，根据勾股定理得，即可证明． （2）①在等边和等边中，得出，证明，得出，在等边和等边中，，证明，得出，即可得． ②根据，得出，证明，，过点作，垂足为点，如图，根据，求出，结合，得出，勾股定理求出，则，设，则，根据相似三角形的性质得出，表示出，列方程求出，即可得，证明，根据相似三角形的性质得出，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，得出，根据，得出，在和中，求出，根据，证明，设，则， 列方程求出时，即得，，过点作，垂足为点，如图，证明，得出，，勾股定理求出，根据等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵， ， 设交于点O， 在和中， ∵， ∴，且， 过点作，垂足为点，如图， ， ， 又， ， ∴， 则， ， ， 设，则， 即， ， ， 解得：， ， ， ， 又 ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ∴， 又 ∵， ∴； ∵，， ∴； 设交于点P， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又 ∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得：， 当时，即，则， 又 ∵，则不合题意，故舍去， 当时，即， 则，符合条件， 过点作，交的延长线于点，如图， ∴， 又 ∵， ∴， 则， ， ， 又， ． 【点睛】该题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解分式方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，并正确做出辅助线． 26. 如图1，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． （1）请直接写出点、、的坐标； （2）如图1，过定点的直线与此抛物线交于两点，连接，当时，求直线的解析式； （3）如图2，若点、是此抛物线上的两个动点，且，连接，以、分别为切点作此抛物线的切线，两切线交于点，过点作轴交于点，求证：线段的长度为定值． 【答案】（1），， （2）或 （3）1 【解析】 【分析】（1）分别令和求解即可； （2）首先求出顶点，如图所示，设点，连接，然后求出，然后根据求出，得到，然后表示出直线表达式为，然后与抛物线联立，求出，，然后代入求解即可； （3）设待定系数法求得直线的解析式为：，联立抛物线解析式得出，根据根与系数的关系得出，进而求得，得出，代入得，进而求得的长为定值，即可求解． 【小问1详解】 ∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 ∵， ∴顶点， ∵过定点的直线与此抛物线交于两点， ∴如图所示，设点，连接， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将代入得，， ∴， ∴， ∴将直线和抛物线联立得， ， 整理得，， ∴，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为或； 【小问3详解】 证明：设， ， 则， ∴， 待定系数法求得直线的解析式为：， 联立， 解得， ， 设解析式为， 联立得， ∵与抛物线相切线交于点， ∴与抛物线只有1个交点，此交点为， 则， ， ， 同理可得， 联立， 解得：， 又∵ ， ， 则， ∵轴， ， 将代入， 得， ， ∴线段的长度为定值． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，面积问题，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $