精品解析：2025年山东省济南市商河县中考一模数学试题

2025年九年级学业水平第一次模拟考试 数学试题 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求． 1. 下列各组数中，互为相反数是（ ） A. 3和 B. 3和 C. 和 D. 3和 2. 截止2025年2月16日，电影《哪吒2》总票房已超过1150000万元．数字1150000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A.   B.   C.   D.   6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，则2次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 4 9. 如图，已知的顶点，，，按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；③作射线，交边的延长线于点．则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 5 10. 如果，，都在二次函数（）的图象上，且．则的取值范围（ ） A. B. 或 C. D. 或 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共24分．直接填写答案． 11. 因式分解：_________． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是_______． 13. 如图，已知，，，则_________． 14. 甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了_____分钟． 15. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________．  三、解答题：本题共10小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 如图，已知O为对角线的中点，过点O的直线与、的延长线相交于点E、F．求证：． 19. 图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆与水平桌面垂直，臂杆可绕点旋转调节，灯体可绕点旋转调节． 若，，在同一平面上，厘米，厘米，厘米，臂杆与座杆的夹角即，臂杆与灯体的夹角即，灯体上点到水平桌面的高度为． （1）求的度数． （2）求的长．（结果精确到厘米．参考数据：，，） 20. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 21. 某校开展课后延时服务，计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，由于师资等条件的限制，每人只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）； （2）m＝　 　，n＝　 　； （3）求扇形统计图中，“摄影”对应扇形圆心角的度数； （4）若该校共有1200名学生参加课后延时服务，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？ 22. 第九届亚洲冬季运动会已于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．A商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． （1）求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ （2）某中学八年级春季运动会上准备用吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为奖品，计划从商场购买两种吉祥物共90个，要求购买“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍，商场若一个“滨滨”、“妮妮”分别加价8元、5元出售．问该校从商场购买“滨滨”多少个时，可使花费总额最少？ 23 综合与实践    如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值． 【拓展应用】 外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______． 24. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图1，连接，，则的值为______． （2）如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接， ①的长度为______． ②求证：， （3）若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 25. 已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若连接，那么与否相等？请说明理由； （3）如图2，若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿着向点运动，到达点时停止，轴于点，直线交抛物线于点，以为直径的圆与线段交于点，当运动时间t为何值时的周长最大，并求出此时点的坐标及周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级学业水平第一次模拟考试 数学试题 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求． 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 3和 B. 3和 C. 和 D. 3和 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，根据定义判断即可． 【详解】解：A.3和不是相反数，故该项不符合题意； B.3和是相反数，故该项符合题意； C.和不是相反数，故该项不符合题意； D.3和，不是相反数，故该项不符合题意； 故选：B． 2. 截止2025年2月16日，电影《哪吒2》的总票房已超过1150000万元．数字1150000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选A． 3. 如图所示几何体的左视图是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．据此分析即可． 【详解】解：A．该图是所给几何体的左视图，故符合题意； B．该图是所给几何体的俯视图，故不符合题意； C．该图是所给几何体的主视图，故不符合题意； D．该图不是所给几何体的视图，故不符合题意； 故选A． 4. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴每一个外角为， ∴的度数为， 故选：C． 5. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的概念是做题的关键；“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，由此逐项判断即可． 【详解】解：、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的约分化简即可． 【详解】解：A． ，故不正确； B．不能化简，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的约分，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7. 一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，则2次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．利用画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出2次都摸到红球的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可． 【详解】解：画树状图如下： 一共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球有4种可能的结果， 次都摸到红球）． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点为线段中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故选：A． 9. 如图，已知的顶点，，，按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；③作射线，交边的延长线于点．则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过点G作于点M，过点A作于点N．证明 ，推出可得结论． 【详解】解：如图，过点G作 于点M，过点A作 于点N，则． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 由作图可知平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G的纵坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 如果，，都在二次函数（）的图象上，且．则的取值范围（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质， 由点，点可知抛物线的对称轴为直线，则，由可知，求得，即可判断点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，分两种情况讨论，得出关于的不等式（组，即可求得的取值范围． 根据题意得出关于的不等式（组）是解题的关键． 【详解】解：点，点，点都在二次函数的图象上， 对称轴为直线， 点和也在二次函数的图象上， ， ， ， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 抛物线开口向上， 时，随的增大而减小，，时随的增大而增大， 当在对称轴的左侧时，则有，解得， 当在对称轴的右侧时，则有，解得． 故的取值范围为或． 故选B． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共24分．直接填写答案． 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解，提公因式法，正确提取公因式是解本题的关键．先提出公因式分解即可． 【详解】解：， 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查几何概率．根据几何概率的求法：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为， 其中阴影部分面积为， ∴飞镖停留在阴影部分的概率是， 故答案为：． 13. 如图，已知，，，则_________． 【答案】40 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据平行线的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出答案，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴， 故答案为：40． 14. 甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了_____分钟． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解，看懂函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，甲的速度为米分， 设乙的速度为米分， 由图可得，， 解得， ∴乙的速度为米分， ∴甲到达终点的时间为分钟， 乙达到终点的时间为分钟， ∵甲先出发分钟， ∴乙先到终点原地休息了分钟， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________．  【答案】 【解析】 【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了带特殊三角函数值的二次根式的计算和负指数幂的计算，解决此题的关键是熟记特殊三角函数值；根据负指数幂的计算法则算出，再把特殊的三角函数值代入计算即可得到答案； 【详解】解： 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】﹣2≤x＜1，整数解有﹣2、﹣1、0． 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】， 解不等式①，得x≥﹣2， 解不等式②，得x＜1， ∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1， ∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 如图，已知O为对角线的中点，过点O的直线与、的延长线相交于点E、F．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出，，再用证明，即可证明，再利用线段的和差和等量代换即可证明． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵O为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 即． 19. 图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆与水平桌面垂直，臂杆可绕点旋转调节，灯体可绕点旋转调节． 若，，在同一平面上，厘米，厘米，厘米，臂杆与座杆的夹角即，臂杆与灯体的夹角即，灯体上点到水平桌面的高度为． （1）求的度数． （2）求的长．（结果精确到厘米．参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）如图所示，过点C作，延长交于H，由平角的定义得到，再根据三角形内角和定理推导求解即可； （2）解得到，解中得到，再证明四边形是矩形，得到，则，即的长为． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作，延长交于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的长为． 20. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 21. 某校开展课后延时服务，计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，由于师资等条件的限制，每人只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）； （2）m＝　 　，n＝　 　； （3）求扇形统计图中，“摄影”对应扇形圆心角的度数； （4）若该校共有1200名学生参加课后延时服务，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？ 【答案】（1）150，图见解析 （2）36、16 （3）129.6° （4）192人 【解析】 【分析】（1）根据参加书法的人数和所占百分比即可求得参加此次问卷调查的总人数，然后根据条形统计图中的数据即可求出参加航模兴趣小组的人数，问题得解； （2）在（1）中已经求得参加问卷调查的总人数，再根据条形统计图中给出的参加摄影和围棋的学生人数，即可求出m、n； （3）“摄影”对应扇形圆心角的度数是：摄影人数所占比例乘以360°，据此可得解； （4）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数． 【小问1详解】 参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150（人）， 航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人）， 补全图形如下： 【小问2详解】 根据题条件有： ，， 即m＝36、n＝16， 故答案为：36、16； 【小问3详解】 根据扇形统计图的知识可知， “摄影”对应扇形圆心角的度数是：摄影人数所占比例乘以360°， 即：； 【小问4详解】 ∵在抽样中，围棋人数占比为16%， ∴估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生为：1200×16%＝192（人）， 即估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数为192人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估算总体等知识，明确题意，数形结合是解答本题的关键． 22. 第九届亚洲冬季运动会已于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．A商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． （1）求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ （2）某中学八年级春季运动会上准备用吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为奖品，计划从商场购买两种吉祥物共90个，要求购买“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍，商场若一个“滨滨”、“妮妮”分别加价8元、5元出售．问该校从商场购买“滨滨”多少个时，可使花费总额最少？ 【答案】（1）600个；400个 （2）60个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出函数解析式． （1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，根据某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该校从A商场购买“滨滨”m个，则购买“妮妮”个，先根据“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍求出m的取值范围，再设该校花费总额w元，列出函数解析式求解． 【小问1详解】 解：设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个， 由题意得：，解得：， 答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个； 【小问2详解】 解：设该校从A商场购买“滨滨”m个，则购买“妮妮”个， 由题意得：，解得： 设该校花费总额w元，则 ∴ ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， ∴该校从A商场购买“滨滨”60个时花费总额最少． 23. 综合与实践    如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值． 【拓展应用】 外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______． 【答案】（1）；4；2；（2）不能，见解析；（3），8；（4） 【解析】 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题． （1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解； （2）画出的图象，观察图象得到与函数图象没有交点即可求解； （3）由直线与反比例函数的图象有唯一交点，可知由唯一解，即：方程只有一个解，利用根的判别式求得（负值舍去），进而可求得交点坐标为； （4）和的长均不小于，可得，直线在、上面或之间移动，可得求的范围． 利用数形结合数学思想是解决问题的关键． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）不能围出面积为 的矩形； 理由如下： 的图象，如图中所示： ∵与函数 图象没有交点， ∴不能围出面积为 的矩形． 故答案为：与函数 图象没有交点； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴由唯一解，即：方程只有一个解， ∴，解得：（负值舍去）， 此时：，解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为； （4）∵和的长均不小于 ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，直线在、上面或之间移动， 把代入得， ∴． 24. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图1，连接，，则的值为______． （2）如图，当点恰好落边上，连接交于点，连接， ①的长度为______． ②求证：， （3）若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；②见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到； （2）①根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到； ②如图1，过点作于点，由旋转可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分根据角平分线的性质得到由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到； （3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形．如图，令与的交点为，根据三角函数的定义得到，如图，同理可得 小问1详解】 解：由旋转的性质知，，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：四边形矩形， ，， ， ， 故答案为：； ②证明：如图1，过点作于点， 由旋转可知，， ， ， ， ， 平分 又，， 由旋转可知，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：的长为或，理由如下， 由旋转得，，， ， ， ， 在四边形中，， ， ， 为等边三角形， 同理为等边三角形． 如图2，令与的交点为， ，， ， ， 如图3，同理可得， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 25. 已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若连接，那么与是否相等？请说明理由； （3）如图2，若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿着向点运动，到达点时停止，轴于点，直线交抛物线于点，以为直径的圆与线段交于点，当运动时间t为何值时的周长最大，并求出此时点的坐标及周长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）秒，，最大周长： 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，得； （2）根据，得，，结合，，得，，取点，连接，得，，得，得，求出直线解析式，当时，，得点D在直线上，即得； （3）根据，，得是等腰直角三角形，当最大时，的周长最大，求出直线解析式为，设，则，得，当时，有最大值2，得，得周长最大值为，此时，得，得，得，得秒． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 取点，连接， 则，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴点D在直线上， ∴； 【小问3详解】 解：∵轴于点， ∴轴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴当最大时，的周长最大， ∵，， ∴设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值2， ∵， ∴， ∴周长最大值为：， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数与一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理推论，线段长周长问题产生的二次函数综合，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$