精品解析：甘肃省平凉市第一中学2025届高三下学期高考冲刺压轴（二）数学试卷

2025年全国高考冲刺压轴卷（二） 数 学 注意事项： 1. 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法运算，结合几何意义可得. 【详解】因为，所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，则集合B中的元素的个数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】通过集合，利用，，，求出集合中元素个数． 【详解】解：因为集合，2，3，，，，， 所以当时，或或， 当时，或， 当时，， 即 所以集合中的元素个数为6． 故选：． 3. 已知M，N是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由概率乘法公式可得，再由条件概率公式即可解出. 【详解】注意到，，则. 则. 故选：D 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质以及指数函数、幂函数和对数函数的性质即可判断. 【详解】，∴幂函数在上为增函数. 又，，故A错误； ，∴指数函数在上为减函数. 又，，故B错误； ，指数函数在上为减函数，，. ，∴对数函数在上为增函数， 又，，，故C错误； ，∴对数函数在上单调递减，∴， ∴，即，故D正确. 故选：D. 5. 中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（ ） A. 150 B. 180 C. 240 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】先按照两种比例进行分组，再将分好的三组进行工作分配，最后按照两种计数原理计算即可. 【详解】按照1:1:3的比例分组，共有种分组方法， 按照2:2:1的比例分组，共有种分组方法， 将分好的三组安排除“炉火”活计之外的三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是. 故选：A 6. 一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积（球冠面积），其中R是球的半径，H是球缺的高.若球缺的底面面积为，高，球半径，则该球缺曲面部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作过球心的球的截面，利用底面面积求出半径，再利用公式求出，最后利用公式计算. 【详解】如图，为过球心所作的球的截面，且与球缺的底面垂直，则，， 设球缺的底面圆的半径为，则球缺的底面面积为，解得，即， 则，即，即，解得， 所以该球缺曲面部分的面积. 故选：B. 7. 设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边三角形的几何性质，结合向量的运算即可求解. 【详解】如图，设为各边三等分点， 根据等边三角形可知，相交于中心点， 根据等边三角形可知：四边形是菱形， 则由菱形的对角线互相垂直平分可得：是线段的垂直平分线， 所以当点时，动点一定在上， 同理可得：动点一定在上，动点一定在上， 所以当，时，结合点在三角形的内部， 可得集合S为正六边形及其内部区域， 所以当P与F重合时，，即可取到最小值， 当P与C重合时，， 即可取到最大值. 故选：B. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】探索可得，利用结论，结合倒序相加法可得的关系，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由题知， 令， 又， 于是有，所以， 因此， 所以，当且仅当时取等号. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（ ） 价格（千元） 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5 B. 估计1000名用户购买手机价格平均数为8.45 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的分位数不超过12 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，先确定众数落在区间上，中间值为7.5，A正确；B选项，根据平均数的定义进行计算；C选项，中位数落在中，利用中位数的定义计算出答案；D选项，先得到分位数落在中，利用百分位数定义得到答案. 【详解】A选项，1000名用户购买手机价格的众数落在区间上，中间值为7.5，A正确； B选项，同一组中的数据用该区间的中点值代表， 故平均数为，B正确； C选项，，，故中位数落在中， 中位数为，C错误； D选项，，， 故分位数落在中， 1000名用户购买手机价格的分位数为，D错误． 故选：AB 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 为的一个周期 C. 为曲线的一条对称轴 D. 在上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，，，利用二次函数求最值；对于B，验证与的关系判断B；对于C，验证得，，判断C；对于D，在上得，判断D. 【详解】对于A，因为， 而，所以当时，的最大值为，故A正确； 对于B，因为， 所以为的一个周期，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C错误； 对于D，因为，故D错误. 故选：AB. 11. 已知双曲线，直线l与双曲线右支交于点B，C（B在x轴上方，C在x轴下方），与双曲线渐近线交于点A，D（A在x轴上方），O为坐标原点，则（ ） A. 直线l的倾斜角范围为 B. C. 面积的最小值为1 D. 若，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】当直线l斜率不存在时，符合题意，当直线l斜率存在时，设l：，代入，由即可得出直线倾斜角的范围判断A；设，，由，得出和的中点重合，判断B；，结合A选项中判断C；由得，进而得出，判断D． 【详解】对于A，当直线l斜率不存在时，符合题意； 当直线l斜率存在时，设l：，代入，得，① 显然，，即， 设，，则，是方程①的两个根， 有，， 由得或，所以直线倾斜角范围为，故A正确； 对于B，设，，由得； 由得； 所以，即和的中点重合，则恒成立，故B正确； 对于C，， 由A知，，则，故C错误； 对于D，若，则， 所以，即， 所以，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】由直线方程求得与坐标轴的交点，根据已知焦点求得抛物线的标准方程，可得答案. 【详解】令得，令得，所以抛物线的焦点为或. 当焦点为时，抛物线方程为；焦点为时，抛物线方程为. 故答案为：或. 13. 已知函数在上只有一个零点，则实数k的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，将问题转化为直线与的图象有1个交点，利用导数确定函数的单调区间及最值，作出图象，利用思想结合的思想求解． 【详解】令，则有，令， 则直线与的图象有1个公共点， 因为， 所以当时，，单调递增； 时，，单调递减，所以. 又当时，，当时，， 故的图象大致如图所示， 所以，即实数k的值为， 故答案为：. 14. 已知，，，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式结合同角三角函数关系得出，再应用两角差的正切公式结合基本不等式得出最大值. 【详解】因为， 所以， 即， 即，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，取得最大值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的各项都不为0，其前n项和为，q为不等于0的常数，且. （1）证明：是等比数列； （2）若，，成等差数列，求q的值. 【答案】（1）证明：因为，① 所以，② ②－①得，即. 当时，，即，即， 所以是首项为，公比为q的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由和作差结合等比数列定义即可证明； （2）由等差中项公式结合等比数列前n项和公式即可计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及，，成等差数列得，且， 即，化简得. 所以，，所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面.点在侧棱上（端点除外），平面交于点. （1）求证：四边形为直角梯形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为平面平面，则平面. 因为平面，平面平面，则. 又，所以四边形为梯形. 因为平面平面，则， 又平面，所以平面. 又平面，则，所以四边形为直角梯形. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理和判定定理证明，再由线面垂直的性质定理和判定定理证明，即可证明四边形为直角梯形； （2）解法一：以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面和直线的方向向量，由线面角的向量公式求解即可；解法二：作，垂足为，由面面垂直的判定定理证得平面，连接，则为直线与平面所成的角，在Rt中，求出，由，代入求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：以为原点，向量的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则， . 因为，则. 设为平面的法向量，则即 取，则，所以. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：因为平面，平面，则平面平面. 平面平面，作，垂足为， 平面，则平面. 连接，则为直线与平面所成的角. 在Rt中，因为，则. 因为，则. 在中，因为， 由余弦定理，得，则. 由，得，则. 因为，所以， 则. 在Rt中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为 17. 如图，在中，，，点E，F在边上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且，. （1）若，求的值； （2）试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求出，再由正弦定理求出，继而在中，利用正弦定理即可求得； （2）利用正弦定理求出，代入三角形面积公式，经三角恒等变形得，根据正弦函数的图象性质即可求得面积的最小值. 【小问1详解】 由题意可得，， 在中，由余弦定理 ，即， 又由正弦定理，，则， 因，所以. 在中，，由正弦定理，，所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理，， 则， 在中，由正弦定理，， 则， 故的面积 . 因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的面积最小，且最小值为. 18. 已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点恰好是一个直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T. （1）求椭圆E的方程及点T的坐标； （2）设O是坐标原点，直线，m与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P. ①求面积的最大值； ②证明：存在常数，使得，并求出的值. 【答案】（1）， （2）①； ②由解得， 则， 因线段在轴上的投影长度为，直线的斜率为， 则，同理， 故 ， 所以，即存在满足题意. 【解析】 【分析】（1）利用条件结合图形易得，再由直线与椭圆E相切，求得，回代入直线与椭圆方程即可； （2）①条件设，与椭圆方程联立，写出韦达定理，求得弦长和点到直线AB的距离，继而求得的面积表示式，利用二次函数的性质即可求得其最大值；②将直线方程联立，求出点坐标，计算并化简与，即可推得，从而得证. 小问1详解】 设短轴一端点为，左、右焦点分别为，， 因为直角三角形，则，即得，则， 故椭圆E的方程为； 将代入上式，整理得：， 因直线l与椭圆E只有一个交点，则，解得， 则椭圆E的方程为. 由，代入，解得，代入，可得，即点T的坐标为. 【小问2详解】 ①因为直线，可设直线m的方程为，则，设，， 由消去y得：， 由，解得且. 则，， 所以 ， 点到直线AB的距离为， 所以 ， 因且，故当时，的面积有最大值. ②略 19. 若函数，的图象与直线分别交于A，B两点，与直线分别交于C，D两点（），且直线，的斜率互为相反数，则称，为“相关函数”. （1）若，均为定义在区间I上的单调递增函数，证明：不存在实数m，n，使得，为“相关函数”； （2）已知，，其中，若存在实数，使得，为“相关函数”，且，求实数a的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 设，.由单调递增，则， 则，同理可得，. 所以直线，的斜率均为正数，不可能互为相反数， 即不存在实数m，n，使得，为“相关函数”； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调递增，可推出直线、的斜率均为正数，即可证明； （2）首先讨论是否满足题意，由题可知时满足题意；再讨论时，，或，联立且由(1)可判断出，由此可得出和的等式关系,建立一个关于和的方程，将方程根的问题转化为函数零点问题，利用导数求出函数单调区间，讨论的取值范围对零点的影响即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为“相关函数”，所以有. 因为，所以有或. ①联立可得，所以（舍）. ②联立可得， 即，则. 当m，时，因为，均为上的单调递增函数， 由（1）知不存在实数m，n，使得，为“相关函数”，所以. 则由可得，可得， 所以，同理可得， 则在上存在两个不同的实数根.（*） 记，则. 记，则. 由，得，所以在上单调递增； 由，得，所以在上单调递减. 所以在处取得极小值. （i）当时，， 此时有，即在单调递减. 又，， 则根据零点存在定理可得，存在唯一，使得， 即有唯一负根，不符合（*）式. （ii）当时，. 因为，且，， 根据零点存在定理可得，，使得； ，使得. 所以当时，，此时，在上单调递减； 当时，，此时，在上单调递增； 当时，，此时，在上单调递减. ， 令，，则. 因为，所以，则，在上单调递增， 所以，所以， 则 根据零点存在定理可知，，使得. 取，即有，符合题意. 综上所述，a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年全国高考冲刺压轴卷（二） 数 学 注意事项： 1. 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，则集合B中的元素的个数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知M，N是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（ ） A. 150 B. 180 C. 240 D. 300 6. 一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积（球冠面积），其中R是球的半径，H是球缺的高.若球缺的底面面积为，高，球半径，则该球缺曲面部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（ ） 价格（千元） 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5 B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数为8.45 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的分位数不超过12 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 为的一个周期 C. 为曲线的一条对称轴 D. 在上单调递减 11. 已知双曲线，直线l与双曲线右支交于点B，C（B在x轴上方，C在x轴下方），与双曲线渐近线交于点A，D（A在x轴上方），O为坐标原点，则（ ） A. 直线l的倾斜角范围为 B. C. 面积的最小值为1 D. 若，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为______. 13. 已知函数在上只有一个零点，则实数k的值为______. 14. 已知，，，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的各项都不为0，其前n项和为，q为不等于0的常数，且. （1）证明：是等比数列； （2）若，，成等差数列，求q的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面.点在侧棱上（端点除外），平面交于点. （1）求证：四边形为直角梯形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在中，，，点E，F在边上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且，. （1）若，求的值； （2）试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值. 18. 已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点恰好是一个直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T. （1）求椭圆E的方程及点T的坐标； （2）设O是坐标原点，直线，m与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P. ①求面积的最大值； ②证明：存在常数，使得，并求出的值. 19. 若函数，的图象与直线分别交于A，B两点，与直线分别交于C，D两点（），且直线，的斜率互为相反数，则称，为“相关函数”. （1）若，均为定义在区间I上的单调递增函数，证明：不存在实数m，n，使得，为“相关函数”； （2）已知，，其中，若存在实数，使得，为“相关函数”，且，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $