专题训练 一次函数的应用问题精练-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

一次函数的应用问题 分配方案问题 1．（23-24八年级下·山西运城·期中）为贯彻落实2024年教育部提出的：保障学生每天1小时体育锻炼和充足的课间活动，着力解决小眼镜、小胖墩和学生心理健康问题，某校计划为学生购买一批羽毛球，甲、乙两商店的羽毛球拍均标价60元/副，羽毛球标价3元/个，现甲商店和乙商店各推出以下活动： 甲商店：羽毛球和羽毛球拍均打八折； 乙商店：羽毛球拍打八五折，买一副羽毛球拍送5个羽毛球，超出的羽毛球按原价购买．学校计划买副羽毛球拍和200个羽毛球，从甲商店购买的费用记为（元），从乙商店购买费用记为（元）． (1)请直接写出、与之间的函数表达式； (2)该校购买羽毛球拍的个数在什么范围时在乙商店购买费用更少？请说明理由． 【答案】(1)， (2)该校购买羽毛球拍的个数在时在乙商店购买费用更少，见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，由甲乙商店的优惠方案可得，甲商店购买的费用；乙商店购买的费用，进而可以判断得解； （2）依据题意，要使得乙商店购买的费用少，则，从而，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，甲商店购买的费用； 乙商店购买的费用． （2）解：由题意，要使得乙商店购买的费用少， ． ． ． 又， ． 答：该校购买羽毛球拍的个数在时在乙商店购买费用更少． 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）即墨区某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价300元，领带每条定价50元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案． 方案一：购买一套服装赠送一条领带； 方案二：服装和领带均按定价的九折出售． 城阳区某服装店老板现要到服装厂采购服装30套，领带条． (1)采用方案一和方案二的采购费用分别为元和元，分别求出，与x的函数关系式； (2)请根据x的不同取值，帮助服装店老板选择最省钱的方案． 【答案】(1), (2)当时，全部按方案一购买更省钱；当时，先按方案一购买30套西服，然后余下的条领带按方案二购买更省钱． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程和不等式的应用，读懂题意，正确列出一次函数是解题的关键． （1）根据两种优惠方案分别表示即可； （2）根据题意分3种情况列出不等式或方程求解判断即可． 【详解】（1）解：采用方案一购买，应付款：（元）， 采用方案二购买，应付款：（元）； （2）解：先按方案一购买30套西服并获赠30条领带，然后余下的条领带按方案二购买， 此时应付款：（元）， ∵， ∴此时比全部按方案二购买更省钱； 当时， 解得， ∴当时，按方案一购买30套西服并获赠30条领带，然后余下的条领带按方案二购买比全部按方案一购买更省钱； 当时， 解得，即按方案一购买30套西服，并获赠30条领带， ∴当时，全部按方案一购买更省钱； 答：当时，全部按方案一购买更省钱；当时，先按方案一购买30套西服，然后余下的条领带按方案二购买更省钱． 3．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学九年级名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有，两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金元，型客车每辆租金元．” 小强：“七年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 小国：“八年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆型客车和型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用，两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？ 【答案】(1)每辆型客车坐满后的载客人数为60人，每辆型客车坐满后的载客人数为45人 (2)九年级租用4辆型客车，6辆型客车所需的租金最少，最少为8800元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键． （1）设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，再表示出，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人， 根据题意，可得，解得， 答：每辆型客车坐满后的载客人数为60人，每辆型客车坐满后的载客人数为45人； （2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元， 根据题意，可得， 解得， ∵租金， 又∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最小值，最小值为（元）， 此时（辆）， 答：九年级租用4辆型客车，6辆型客车所需的租金最少，最少为8800元． 4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷数量不低于购买A种型号帐篷数量的3倍，请设计出最省钱的购置方案，并求出最少的费用． 【答案】(1)每顶种型号帐篷的价格为800元，每顶种型号帐篷的价格为1000元 (2)当种型号帐篷为7顶时，种型号帐篷为21顶时，总费用最低，为26600元 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键． （1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案； （2）根据购买种型号帐篷数量不低于购买种型号帐篷数量的3倍，列出一元一次不等式，得出种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取种型号帐篷数量的最小值时总费用最少，从而得出答案． 【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为：， 解得：， 答：每顶种型号帐篷的价格为800元，每顶种型号帐篷的价格为1000元． （2）解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶， 由题意得， 其中，得， ∵， ∴随m的增大而减小， 故当种型号帐篷为7顶时，总费用最低，总费用为， 答：当种型号帐篷为7顶时，种型号帐篷为21顶时，总费用最低，为26600元． 5．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）【综合与应用】某校在冬季运动会来临之际准备购进一批奖杯用于鼓励运动员，现了解到甲、乙商场对两种奖杯推出了不同的优惠活动，那么选择到哪个商场按何种方案更优惠呢？某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的奖杯购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A种奖杯和4个B种奖杯共需180元；购买1个A种奖杯和2个B种奖杯共需80元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场：A、B两种奖杯均按原价的9折销售． 乙商场：①购买A种奖杯的数量不超过10个时，按原价销售；数量超过10个时，超过的部分按原价的8折销售．②购买B种奖杯不打折． 问题解决 任务一 （1）求A、B两种奖杯的原价． 任务二 （2）学校打算购买A、B两种奖杯共100个，若设购买A种奖杯个，选择在甲商场购买的总费用为元，选择在乙商场购买的总费用为元．请直接写出和关于的函数表达式，并为学校设计比较合算的购买方案． 【答案】（1）A种奖杯的原价为20元，B种奖杯的原价为30元； （2）学校购买方案如下：当A种奖杯数量少于68个时，在甲商场购买比较合算； 当A种奖杯数量等于68个时，在甲、乙商场购买一样合算； 当A种奖杯数量多于68个且不超过100个时，在乙商场购买比较合算． 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式，并掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）设A、B两种奖杯的原价分别为元、元，根据数量关系列式求解即可； （2）根据数量关系求解析式，根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：（1）设A、B两种奖杯的原价分别为元、元， 根据题意，可列方程组， 解得， 答：A种奖杯的原价为20元，B种奖杯的原价为30元． （2）， 当时，， 当时，， 即， ∴所求函数表达式分别为 ， 当时，， 令， 解得， 当时，， 当时，， 当时，． 综上所述，学校购买方案如下： 当A种奖杯数量少于68个时，在甲商场购买比较合算； 当A种奖杯数量等于68个时，在甲、乙商场购买一样合算； 当A种奖杯数量多于68个且不超过100个时，在乙商场购买比较合算． 6．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． (1)该学校有几种购买方案？ (2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 【答案】(1)共有6种购买方案； (2)，购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 【分析】（）根据题意列出不等式组，求解即可； （）列出函数关系式，再利用一次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用及不等式组的应用，读懂题意，列出不等式组和函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设种奖品的数量是件，则种奖品的数量是件， ， 解得：， ∵是正整数， ∴种奖品的数量范围且是正整数； ∴共有6种购买方案； （2）解：由题意得， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，最小，为（元）． 即购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 7．（23-24八年级下·广东梅州·期中）实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折销售； B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题： (1)分别写出与x之间的关系式： (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案． 【答案】(1)在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 (2)见解析 (3)在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）根据优惠方案，分别列出函数关系式即可； （2）分，和三种情况，进行求解即可； （3）分去A超市，B超市，以及去B超市买球拍，A超市买羽毛球，三种方案，分别求出费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ； ∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为； （2）当时，即， 解得， ∴时，去A超市买更划算； 当时，即， 解得， ∴时，去A、B超市买花费一样多； 当时，即， 解得， ∴时，去B超市买更划算； （3）如果选择A超市，那么总费用为：（元）， 如果选择B超市，那么总费用为：（元）， 如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：（元）， ∵， ∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱． 最大利润问题 1．（2025·广西桂林·一模）为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买，已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． (1)求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． (2)若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元． (2)购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用． （1）设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元，根据采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元建立二元一次方程组求解； （2）设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元，根据“总利润太阳帽的利润太阳伞的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元， 根据题意，得， 解得， 答：每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元； （2）解：设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元， 购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍， ， 解得， 根据题意，得， ， w随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为， 此时， 答：购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． (1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ (2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 【答案】(1)香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元 (2)总利润的最大值是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据“购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的销售利润×购进橙子的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子， 根据题意得：， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元）． 答：总利润的最大值是元． 3．（2025·广西防城港·一模）为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． (1)求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． (2)若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元． (2)购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的方程，函数关系和不等式是解题的关键． （1）设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元，根据采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元建立二元一次方程组求解； （2）设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元，根据“总利润太阳帽的利润太阳伞的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元， 根据题意，得， 解得， 答：每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元； （2）解：设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元， 购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍， ， 解得， 根据题意，得， ， w随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为， 此时， 答：购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 4．（24-25九年级下·陕西西安·期中）年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧 某文具店果断订购了印有影片图案的、B两种书签．经统计：订购张种书签与张种书签，成本共计元；而订购张种书签和张种书签，则需花费元． (1)求、两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文具店计划购进、两种书签共张，由于种书签更契合消费者喜好，种书签的购进数量不超过种书签数量三分之一，已知、两种书签的销售单价分别为元和元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)种书签每张进价元，种书签每张进价元； (2)购买张种书签、张种书签时，所获利润最大，最大利润为元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买种书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． 设种书签每张进价元，种书签每张进价元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； 设文具店共购进张种书签，则购进种书签张，可以得到所获利润与购买种书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【详解】（1）解：设种书签每张进价元，种书签每张进价元， 根据题意可得：， 解方程组得：， 答：种书签每张进价元，种书签每张进价元； （2）解：设文具店共购进张种书签，则购进种书签张， 根据题意可得：， 解得：， 文具店在这批书签全部售出后获得利润为: ， 销售利润随着的增大而增大， 当时，销售利润最大， 最大利润为(元)， (张)， 当购买张种书签、张种书签时，所获利润最大，最大利润为元． 5．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，如表是前两月两种型号水杯的销售情况： 时间 销售数量（个） 销售收入（元） 甲种型号 乙种型号 第一月 22 8 1100 第二月 38 24 2460 (1)求甲、乙两种型号水杯的售价； (2)第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下，该超市如何购进甲、乙两种型号水杯才能使第三个月的利润最大，并求出第三月的最大利润． 【答案】(1)甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元； (2)当甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，时，第三月利润达到最大，最大利润为：元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，根据题意列出方程组求解即可， （2）设甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，利润为元，根据题意写出利润关于的一次函数关系式，列不等式组求解的范围，从而利用一次函数的性质求利润的最大值． 【详解】（1）解：设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，则 ①②得：， ， 把代入①得：， ， 答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元； （2）解：设甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，利润为元， 所以：， 又 由①得：， 所以不等式组的解集为： 其中为正整数，所以 随的增大而减小， 当时，第三月利润达到最大，最大利润为：元． 即当甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，时，第三月利润达到最大，最大利润为：元． 6．（2025·山东济南·一模）“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 泥塑兔子王 15 25 清照团扇 10 17.5 (1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？ (2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件； (2)第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）根据题意得到，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件， 根据题意得，， 解得， 答：该文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件； （2）解：由题知：， 解得，， ， ， 随的增大而增大， 当时，元， 此时，件， 答：第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元． 7．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．用2000元购进品种柑橘礼盒数与用2500元购进品种柑橘礼盒数相同． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)、两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元 (2)要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒595盒，售出种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出正确的方程是解题的关键． （1）设种柑橘礼盒每件的售价为元，则种柑橘礼盒每件的售价为元，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设种柑橘礼盒每件的售价为元，则种柑橘礼盒每件的售价为元， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴、两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元． （2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒， 根据题意得：， 解得：， 设收益为元，根据题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴售出种柑橘礼盒（盒）， ∴要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒595盒，售出种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元． 行程问题 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明和小亮喜欢骑自行车，某个周末，两人相约从绿博园北门出发前往开封金明广场．小明骑车的速度较快，如果两人同时出发，小明肯定先到达．现在小明先让小亮骑若干千米，小明在上午出发．图中，分别表示两人行驶的路程与小明行驶时间的关系． (1)小亮先骑了 ， 先到达目的地， （填“”或“”）表示小明行驶的路程与行驶时间之间的关系； (2)请分别求出小明和小亮在这段时间内，与之间的函数表达式； (3)若图中，交点坐标为，的实际意义是什么？ (4)请直接写出小明和小亮在什么时间两人相距？ 【答案】(1)，小明，； (2)，； (3)见解析； (4)在时或时，小明和小亮相距． 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，用待定系数法求解函数表达式，一次函数的实际应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象即可求解； （）利用待定系数法分别求出解析式即可； （）图中，交点坐标为，即小明和小亮相遇，从而可判断的实际意义； （）分当小明与小亮相遇前和当小明与小亮相遇后进行分析即可． 【详解】（1）解：根据图象可知，表示小亮行驶的路程与小明行驶时间的关系，表示小明行驶的路程与行驶时间的关系， ∴小亮先骑了，小明先到达目的地， 故答案为：，小明，； （2）解：设直线函数表达式是，根据图象可知，直线过点， ，解得：， ∴直线函数表达式是， 设直线函数表达式是，把和代入， 得， 解得：， ∴直线函数表达式是； （3）解：∵图中，交点坐标为， ∴的实际意义小明出发后小时追上小亮（或小明在追上小亮或小明小亮两个人在相遇）； （4）解：当小明与小亮相遇前， ∴， 解得：， ∴时小明和小亮相距； 当小明与小亮相遇后， ∴， 解得：， ∴， ∴时小明和小亮相距； 综上可知：在时或时，小明和小亮相距． 2．（2025·天津南开·一模）如图①所示，李华的家、公园、超市依次在同一条直线上，公园距离李华家，超市距离李华家．李华从家里出发，匀速步行了到公园，他在公园停留了一段时间，之后他匀速步行了到超市，在超市停留购买商品后，再匀速骑行了返回家．下面图②中（单位：）表示李华离开家的时间，（单位：）表示李华离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：km） 0 (2)填空： ①超市到公园的距离为_____km； ②李华在公园停留的时间为_____； ③李华从超市返回家的速度为_____； ④当时，请直接写出李华离家的距离关于时间的函数解析式； (3)当李华离开家时，他的妈妈从超市出发匀速步行了直接返回家中，那么妈妈在回家途中，两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)见解析 (2)①；②12；③； (3)两人相遇时离家的距离或． 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）结合函数图象即可得出结果； （2）①根据图象作答即可； ②根据图象作答即可； ③根据图象作答即可； ④分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可； （2）李华妈妈距家的路程与李华离开家的时间的关系式，然后分两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：∵公园距离李华家，匀速步行了到公园， ∴离开家时，离家的距离为：， 由函数图象得：离开家时，离家的距离为， 填表如下： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：） 0 （2）解：①根据图象得：超市到公园的距离为：， 故答案为： ②根据图象得：， 故答案为：12． ③根据图象得：， 故答案为：； ④当时，李华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：． （3）解：设李华妈妈距家的路程与李华离开家的时间的关系式为， 则，解得：， ∴ 当李华从公园到超市的途中相遇时， ， 解得：， ∴； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 当李华从超市返回的途中相遇时， ， 解得：， ∴； 综上可得：两人相遇时离家的距离或． 3．（2025·天津河东·一模）某无人机表演公司进行无人机表演训练，甲无人机从地而起飞匀速上升，8秒时到达距离地面48米的高度，并停止上升开始第一次表演，完成表演规定动作后，按原速继续飞行上升、到达距离地面96米的高度，进行了时长为20秒的第二次表演，表演完成后立即匀速返回地面．如图，图中表示甲无人机飞行的时间，表示甲无人机所在的位置距离地面的高度．图象反映了这个过程中甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 无人机飞行的时间（单位：秒） 1 8 13 30 无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米） ___ 48 ＿ __ ②填空：甲无人机返回地面的速度为_________米/秒； ③当时，请直接写出甲无人机所在的位置距离地面的高度关于甲无人机飞行时间的函数解析式； (2)当甲无人机从地面起飞时，乙无人机同时从距离地面27米高的楼顶起飞，与甲无人机同时匀速上升，并与甲无人机同时到达距离地面96米的高度进行联合表演，表演完成后甲乙两架无人机以相同的速度大小同时返回地面，那么两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①6，48，96；②6；③ (2)5秒或11秒或19秒 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）无人机上升的速度为（米/秒），再结函数图象分析即可； （2）根据函数图象可得当时分成三部分，根据无人机上升的速度为（米/秒）求解析式即可； （3）先求出乙无人机所在的位置距离地面的高度关于乙无人机飞行时间的函数解析式为，再根据两架无人机距离地面的高度差为12米，列方程求解． 【详解】（1）解：①无人机上升的速度为（米/秒）， 根据图象可得， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表如下： 无人机飞行的时间（单位：秒） 1 8 13 30 无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米） 6 48 48 96 ②甲无人机返回地面的速度为 ③当时，， 当时，， 当时，； ∴当时，甲无人机所在的位置距离地面的高度关于甲无人机飞行时间的函数解析式为； （2）解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度关于乙无人机飞行时间的函数解析式为； 由题意可得，过和两点， ∴，解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度关于乙无人机飞行时间的函数解析式为； ∵两架无人机距离地面的高度差为12米， 当时，，，解得（舍去）或； 当时，，，解得（舍去）或； 当时，，，解得（舍去）或； ∴两架无人机距离地面的高度差为12米，两架无人机表演训练到5秒或11秒或19秒． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示． (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)求乙到达A地时，甲距B地的距离； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 【答案】(1)， (2) (3)11时或13时 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确读取信息，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可． （2）根据两人相遇前，相遇后两种情形，解方程即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 故； 当时，， 故图象交点的坐标为， 设，根据题意， 得， 解得， ∴， （2）解：∴， 解得， ∴， 则， 故乙到达A地时，甲距B地的距离为． （3）解：设经过，甲、乙相距90千米， ①甲乙相遇前， 根据题意，得则， 解得（小时），此时为11时． ②甲乙相遇后， 根据题意，得则， 解得（小时），此时为13时． 综上：行驶过程中甲、乙二人在11时或13时相距． 5．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图1，甲、乙两人在一条笔直的公路上同向匀速而行，甲从A点开始追赶乙，甲超过乙之前，甲、乙两人之间的距离与追赶的时间的关系如图2所示，已知乙的速度为． (1)求甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式； (2)甲从A点追赶乙，经过，求甲前行了多少米？ (3)甲追赶后，甲、乙相距多少米？若此时甲速度增加，提速后甲追上乙还需要多少秒？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）先设出函数解析式，然后根据图象中数据，即可求得该函数的解析式； （2）根据图象中的数据，可以求得甲的速度，然后即可计算出甲从A点追赶乙，经过走的路程； （3）将代入（1）中的函数解析式求出相应的y的值，然后根据（2）中甲的速度，可以求出加速后的速度，最后即可计算出提速后甲追上乙还需要多少秒． 【详解】（1）解：设甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式为； （2）解：甲的速度为：（）， 则甲从A点追赶乙，经过，甲走的路程为：（米）， 答：甲从A点追赶乙，经过，甲前行了272米； （3）解：将代入，得， 设甲提速后，追上乙需要m秒， （秒）， 答：甲追赶10s后，甲、乙相距72米，若此时甲速度增加，提速后甲追上乙还需要24秒． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小明、小亮两家相约周末从学校出发，自驾沿同一路线去湿地公园游玩，小明家先出发匀速前往，后，小亮从家出发，匀速行驶一段时间后，小亮家联系发现已经超过了小明家，于是在途中休息半小时，并且将速度减少了，结果与小明家同时到达B地，两家距学校的路程与小亮家车子行驶时间之间的函数图象如图所示． (1) ，学校到公园的距离为 ； (2)写出C点的坐标，并说出C点表示的实际意义是什么； (3)求出线段对应的函数表达式； (4)小亮家出发后两车距离最远时相距多少千米？ 【答案】(1)、460 (2)C的坐标为，C点表示的实际意义是小亮家出发时小明家已走的路程为 (3) (4)80千米 【分析】本题主要考查了函数图象、一次函数的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）根据题意可得以及学校到公园的距离为．据此即可解答； （2）用路程除以时间可得小明的速度为，可求得小明先出发40min所行驶路程，即可确定C的坐标以及C点表示的实际意义； （3）用待定系数法可得线段对应的函数表达式即可； （4）由图图象可知：当小亮家开始休息时，两车距离最远，再求得当时，小明家的路程为，即小亮减速前的小明家路程为，设减速前小亮家的速度为，则减速后的速度，然后列方程求的v，当时，小亮的路程为：，最后作差即可解答． 【详解】（1）解：∵小亮家联系发现已经超过了小明家，于是在途中休息半小时， ∴， 由图可知，学校到公园的距离为． 故答案为：、460． （2）解：∵小明家先出发匀速前往，后，小亮从家出发， ∴小明的速度为； ∴小明的路程为：， ∴C的坐标为，C点表示的实际意义是小亮家出发时小明家已走的路程为． （3）解：设线段对应的函数表达式为， 把代入得： ，解得：， ∴线段对应的函数表达式为． （4）解：由图象可知：当小亮家开始休息时，两车距离最远， 当时，小明家的路程为：， ∴小亮家休息前小明家的路程为， 设小亮家减速前的速度为，则减速后的速度， 由题意可得：，解得：， ∴当时，小亮的路程为：， ∴小亮家出发后两车距离最远时相距80千米． 7．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）周末小佳和小乐相约去农庄游玩，小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变，根据图中信息，解答下列问题： (1)小佳骑电动车的速度为______． (2)求线段所在直线的函数表达式并写出自变量的取值范围． (3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意可知小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，进而可得出答案； （2）求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式； （3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程． 【详解】（1）解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为， ∴小佳骑电动车的速度； 故答案为：． （2）根据题意，点E坐标为，A点坐标为， 则点B坐标为， ∵乙小区到超市，用时6分钟， ∴小乐的速度为， ∴小乐从超市到农庄所用时间为， ∴点C坐标为， 设线段的函数表达式为， 把，，代入解析式得， 解得：， ∴线段的函数表达式为； （3）线段的函数解析式为 把点代入解析式得：， 解得， ∴线段的函数解析式为， 当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同， ∴， 解得， ∴． ∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程 8．（24-25九年级下·陕西汉中·阶段练习）为了提升中小学生的自理能力，创新精神和实践能力，某校八年级开展了研学旅行活动，甲，乙两个班学生分别乘坐两辆不同型号的大巴车从学校出发，沿着同一条高速公路前往革命圣地延安开展研学活动，并以各自的速度匀速行驶，到达目的地停止，途中乙班学生乘坐的大巴车停了一段时间，然后又继续前行．甲，乙两班学生乘坐的大巴车各自行驶的路程与所用时间之间的函数图象如图所示． (1)求乙班学生乘坐的大巴车停止后所行的路程与之间的函数关系式； (2)两大巴车相遇时，距离革命圣地延安还有多远？ 【答案】(1)； (2)两大巴车相遇时，距离革命圣地延安还有或者． 【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键； （1）由图可知，设甲班学生乘坐的大巴车所行的路程与之间的函数关系为，将点代入得出，则当时，，设乙班学生乘坐的大巴车停止后所行的路程与之间的函数关系为，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据函数图象可得相遇前，距离革命圣地延安，由（1）知，相遇后，两车所行驶的路程与之间的函数图象交点为，可得相遇后为,即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，设甲班学生乘坐的大巴车所行的路程与之间的函数关系为， 将点代入解得， 所以， 当时， 设乙班学生乘坐的大巴车停止后所行的路程与之间的函数关系为 ∵该函数图象经过和两点，由题意得 解得 ∴和之间的函数关系为； （2）由图可知，当乙班学生乘坐大巴车所行的路程为时，两车相遇，此时距离革命圣地延安还有； 当乙班学生乘坐的大巴车继续前行时，两车又一次相遇， 由（1）知，两车所行驶的路程与之间的函数图象交点为， 所以距离革命圣地延安还有 综上所述，两大巴车相遇时，距离革命圣地延安还有或者． 9．（2025·吉林长春·一模）某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件．甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离y（千米）与甲车出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)乙车的行驶速度为__________千米／小时，__________； (2)甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式； (3)若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为__________小时． 【答案】(1)80；5.5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像上获取信息是解题的关键． （1）结合函数图像求解即可． （2）设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为结合（1）得出点在函数图像上，利用待定系数法求解即可． （3）结合函数图像分段讨论即可． 【详解】（1）解：乙车的行驶速度为：（千米／小时） 甲车的速度为：（千米／小时）， 则， 解得：， 经检验， 是原分式方程的解， 故． 故答案为：80；5.5 （2）解：设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为， 把点代入，得： ， 解得：， 则甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为． （3）解：， 解得， 根据图像可知两车第一次相遇的时间为2.5， ∴当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时）， 当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时）， 当时，乙车的路程为：（千米），而甲仍在120千米的位置， 且甲的速度为60千米／小时，乙车的行驶速度为80千米／小时， 则直到乙车到达目的地时，两车之间没有不超过20千米的时间， 乙车到达目的地的时间为：， 故当，则两车相距不超过20千米的时间有：（小时）， 综上：乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为：（小时） 10．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． (2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【答案】(1)， (2)甲的速度为，乙的速度为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，行程问题，从函数图象上有效地获取信息是解题的关键． （1）根据图象信息即可求得乙在第一个补给点停留的时间及m的值； （2）结合图象中的数据和速度公式即可计算出甲、乙两人的速度； （3）根据（2）中的数据和待定系数法可求出和的解析式，结合题意分情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为， 由直线可得，， 当时，； （2）由（1）得， ∵直线过点， ， ∴， ∴甲的速度为，乙的速度为； （3）由（2）可得，直线的解析式为：， 直线的解析式为：， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，乙经过第一个补给点后或或或，甲乙两名选手相距． 函数图像或表格获取信息问题 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）某实践小组观察记录了莴笋的成长过程，如图表示一种莴笋的高度与观察时间（天）之间的函数图象（平行于轴）．由图象可知，这种莴笋第60天时的高度是 ． 【答案】32 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图象得到：莴笋的成长过程的图象是一次函数，设出一次函数解析式，把，代入解析式中，求出函数解析式；再根据C点的横坐标是50，求出纵坐标即可． 【详解】解：设一次函数解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴一次函数解析为：． 当时，， ∵平行于轴 ∴这种莴笋第60天时的高度是． 故答案为：32． 2．（2025·吉林长春·一模）用甲、乙两个机器同时开始加工一批零件．加工一段时间后，甲机器停工进行检修，乙机器以原来的效率继续加工，乙机器工作效率始终不变．检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，共用了5小时完成任务．两个机器加工的零件总数y（件）与乙机器加工时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)乙机器的工作效率是 件/时． (2)甲机器检修结束后，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围 (3)在整个加工过程中，当甲机器与乙机器加工的零件个数相等时，求乙机器的加工时间． 【答案】(1) (2) (3)乙机器的加工时间为小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，一元一次方程的运用，弄清题意，读懂函数图象，理清各量间的关系是解题的关键. （1）根据图象中数据即可求解乙机器的工作效率； （2）甲机器检修结束后，设与之间的函数解析式为，根据图象中数据，利用待定系数法求解即可； （3）分阶段，根据甲机器与乙机器加工的零件个数相等，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：（件/小时） （2）解：甲机器检修结束后，设与之间的函数解析式为， 由图知，过点，， 有，解得， 与之间的函数解析式为； （3）解：①甲检修前， 甲乙每小时工生产零件件数：（件/小时）， 则甲维修前每小时工生产零件件数：（件/小时）， 则此阶段不存在甲机器与乙机器加工的零件个数相等的情况； ②在甲检修期间， 乙机器的工作效率大于甲机器的工作效率，则此阶段不存在甲机器与乙机器加工的零件个数相等的情况； ③在甲检修完后，此时甲机器提高工作效率， 甲机器与乙机器加工的零件个数相等． ， 解得， 答：乙机器的加工时间为小时． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，发现单层部分的长度与双层部分的长度之间满足一次函数关系，部分数据如下， 双层部分长度 0 2 7 单层部分长度 156 152 142 (1)求与之间的函数表达式； (2)按小文的身高和习惯，当背带双层部分的长度调到时最舒服．请计算此时单层部分的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数是解题关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入关系式求出y的值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由题知，， 解得，， ∴与的函数关系式为． （2）解：当时，， 所以此时单层部分的长度为． 4．（2025·陕西榆林·一模） 探索烘焙温度和烘焙时间之间的关系 学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于150℃且小于220℃时，烘焙温度和烘焙时间之间存在关系，对这种关系进行探索． 素材1 设置不同的烘焙温度，则对应的烘焙时间如下： 烘焙温度 ．．． 160 170、180 190、200．．． 烘焙时间 ．．． 30 27.5、25 22.5、20．．． 素材2 同学们制作了平面直角坐标系，把如上表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点并连线，发现这些点都在某条直线上． 问题解决 任务1 猜想与满足 函数关系（填“一次”、“二次”或“反比例”）； 任务2 求出与的函数关系式； 任务3 已知某次烘焙时间是，求该次烘焙温度． 根据以上素材，探索完成任务． 【答案】任务1：一次；任务2：；任务3：烘焙温度为 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式，一次函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任务1：根据一次函数的定义即可得到答案； 任务2：设与的函数关系式为，把代入，求出，得到与的函数关系式为； 任务3：令，则，求解即可． 【详解】解：任务1∶根据题意得与满足一次函数关系， 故答案为：一次； 任务2，设与的函数关系式为， 把点代入得， ， 解得： 与的函数关系式为； 任务3，令，则， 解得：， 烘焙时间是，烘焙温度为． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期中）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费； ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元． 暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，与之间的函数关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点的坐标； (3)请根据函数图象，直接写出当取何值时，选择银卡消费更合算． 【答案】(1)选择银卡消费：；选择普通票消费：． (2)点A坐标为，点坐标为，点坐标为 (3)当时，选择银卡消费更合算 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意和读懂函数图象是解题的关键． （1）根据总费用单次票价次数，可以直接列出普通票消费时y与x的函数关系；银卡用户根据：总费用银卡费用单次票价次数，直接列出函数表达式； （2）由函数图像可知，射线为普通消费方式，为银卡消费方式，过这一点且平行于x轴的为金卡消费方式；因为A点在y轴上，故，求出纵坐标，得到A点坐标；联立银卡与普通票消费时的函数表达式，即可求出B点坐标；由图像可知C点纵坐标为600，且在AC这条直线上，将代入此函数表达式，即可得到C点坐标； （3）根据函数图象找到银卡函数图象在其它两种消费对应的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，选择银卡消费：；选择普通票消费：． （2）解：在中，当时，， 点坐标为． 联立，解得． 点坐标为． 将时代入，解得， 点坐标为． （3）解：由函数图象可知，当时，选择银卡消费更合算． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）沈阳某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间x 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 50 80 110 140 170 自东向西交通量（辆/分钟） 125 110 95 80 65 (1)请用一次函数直接表示出与x、与x之间的函数关系．（不写自变量范围） ； ． (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为 ，车流量大的方向交通量为v．经查阅资料得：当 需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】(1)， (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于x的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：设， 把 分别代入得： ，解得， 与的函数关系式为， 设 ， 把分别代入得： ，解得， 与的函数关系式为； 故答案为：， （2）解：， 情况：当时，即 解得， 情况：当时，即 解得， 故时到时，可变车道行车方向必须自东向西，时到时，可变车道行车方向必须自西向东． 7．（2025·广西钦州·一模）综合与实践 现有三个款式的杯子，它们的高度不同．数学兴趣小组对杯子叠放的总高度与杯子数量之间的数学问题开展研究． 【实践操作】 （1）把A款杯子按如图①所示的方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，已知一只A款杯子的高度为，且叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，请求出的值； （2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为，已知一只B款杯子的高度为，请求出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； （3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为，8只杯子叠放的总高度为，请直接写出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； 【知识运用】 （4）已知杯子摆放区的高度为，若把款杯子叠放成一摞放入杯子摆放区，请问一摞最多能叠放多少只杯子？ 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）最多能叠放17只杯子 【分析】本题考查了一次函数实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把时，代入即可求解； （2）运用待定系数法求解； （3）运用待定系数法求解； （4）由题意得，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 解得： （2）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为， 当时，，时，， ∴， 解得：， ∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为； （3）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为， 当；， ∴， 解得：， ∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为； （4）解：由题意，， 解得：， ∴最多能叠放17只杯子． 8．（2025·陕西西安·一模）某医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果按绸定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（时）的变化情况如图所示． (1)求与之间的关系式； (2)若每毫升血液中含药量为4微克及以上时治疗疾病最有效，求这个有效时间的范围． 【答案】(1) (2)5小时 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分段函数的表示，解题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式． （1）根据图象信息，利用待定系数法求出分段函数的解析式即可； （2）根据分段函数解析式以及点的纵坐标求出横坐标，进而求出有效时间． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， 解得：， 即当时，与的函数关系式为； 当时，设关于的函数解析式是， ∵点，在该函数图象上，利用待定系数法可得， 解得， 即当时，关于的函数解析式是； 综上可得，； （2）解：由（1）可知，或， 将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：； 这个新药的有效时长是（小时）， 即这个新药的有效时间是5小时． 9．（24-25九年级下·吉林长春·期中）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的关系如图所示 (1)进水速度为_____________，出水速度为_____________． (2)求时，与的函数关系式． (3)若水量在某一段时间内刚好用6分钟上升了，直接写出这段时间开始时的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解图象，求出函数解析式是解题的关键． （1）由函数图象可得前5分钟只进水，5-15分钟既进水又出水，则前5分钟的水量除以时间即为进水速度，用进水速度减去5-15分钟既进水又出水时净速度即为出水速度，即可求解； （2）运用待定系数法求解； （3）分两种情况讨论，当时，由题意得：，解方程即可；当时，，故不可能进水． 【详解】（1）解：由题意得，进水速度为，出水速度为：， 故答案为：； （2）解：设与的函数关系式为， 由图象可得： 解得：， ∴解析式为：； （3）解：当时， 由题意得：， 解得：； 当时，，故不可能进水， ∴． 10．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，一个高为厘米的长方形水槽，被两个垂直底面且高度相同的挡板分割成甲、乙、丙三个区域，其中甲、丙两个区域的底面积相等，在三个区域中，只有甲区域内有水．从某一时刻开始，分别以相同的速度，匀速向乙、丙两个区域注水，乙区域中水位高度（厘米）与注水时间（分）的部分函数图象如图②所示． (1)挡板的高度为_____厘米，乙、丙两区域底面积的比值为_____． (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)当甲、乙两区域中，一个区域与另一个区域的水位高度差为厘米时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)分或分 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）由图②知：在至分之间，厘米且保持不变，即可确定挡板的高度；设甲、乙、丙区域底面积分别为、、，根据题意可得，可得结论； （2）当时，设，由图②知：当时，；当时，；构造方程组求解即可； （3）分两种情况求解即可； 解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式、利用分类讨论的思想解决问题． 【详解】（1）解：由图②知：在至分之间，厘米且保持不变， ∴挡板的高度为厘米， 设甲、乙、丙区域底面积分别为、、， 由图②知：与分之间，的变化不一样， ∴当分时，丙区域的水位高度为厘米且乙区域的水位高度为厘米，以致于分注入丙区域的水开始流向乙区域， ∵从某一时刻开始，分别以相同的速度匀速向乙、丙两个区域注水， ∴， ∴， ∴乙、丙两区域底面积的比值为； 故答案为：；； （2）当时，设， ∵当时，；当时，； ∴， 解得：， ∴， ∴当时，与之间的函数关系式为； （3）由图②知：当分时，注入丙区域的尿也流向乙区域，使得乙区域中的水位高度从厘米涨至厘米， ∴分钟内外部注入的水量共立方厘米， ∴每分钟内外部注入的水量共立方厘米即立方厘米， 由图②知：当分时，乙区域中水位高度保持厘米， ∴在此期间，外部注入的水均流入了甲区域，水量为立方厘米， ∴甲区域内水位升高了厘米， ∵挡板的高度为厘米， ∴甲区域内原有的水位高度为厘米， 1）当甲区域的水位高度比乙区域的水位高度高厘米时， 则乙区域的水位高庶为厘米， 当时，设， ∵当时，； ∴， 解得：， ∴当时，与之间的函数关系式为， ∴当时，； 2）当乙区域的水位高度比甲区域的水位高度高厘米时， 则乙区域的水位高庶为厘米， 由（2）知：当时，， ∴当时，； 综上所述，当甲、乙两区域中，一个区域与另一个区域的水位高度差为厘米时，的值为分或分． 梯度计费问题 1．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式； (2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算． 【答案】(1)，；， (2)当，甲合算 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据表格中两家公式给出的租车收费方式，可得出、与x之间的关系式； （2）求出当时x的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，； ，． （2）解： 当， 解得：， ∴当时，选择甲公司合算． 2．（2025·陕西渭南·一模）2025年3月1日，陕西省《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元． (1)求关于的函数表达式； (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 【答案】(1) (2)该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可分用水量在13立方米以内和超过13立方米，然后分别列出函数关系式即可； （2）根据（1）中函数关系式可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：当时，则； 当时，则有； 综上所述：关于的函数表达式为； （2）解：由（1）可知：当时，则，解得：； 当时，则，解得：； ∴（立方米）； 答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携克的月球背面土壤样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格； (2)如果购买挂件盒，则购买印章_______盒（用含有的式子表示）恰好能够配套分发； (3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费元，求关于的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 【答案】(1)40元，30元 (2) (3)，元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分段函数及一次函数的应用，能够根据题意列出准确的方程组，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键． （1）设每盒挂件 元，每盒印章 元，根据每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章，再建立方程组解题即可； （2）根据给每位学生分发1个挂件和1个印章再列式计算即可； （3）根据累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折的优惠，分段可求得解析式，据此即可解答． 【详解】（1）解：设每盒挂件 元，每盒印章 元． 根据题意得： ， 解得 ． 答：每盒挂件 40 元，每盒印章 30 元． （2）解：∵给每位学生分发1个挂件和1个印章， ∴购买挂件盒，则购买印章盒恰好能够配套分发； （3）解：当，即 解得：， ∴． 当，即时， ． 当有660名学生参加活动，则需购买挂件（盒）． 当时， ∴（元）． 4．（24-25八年级下·全国·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米2.5元收费． (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？ (2)写出每户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (3)自来水公司到琪琪家收水费，爸爸、妈妈不在家，琪琪自己手里有30元的零花钱，他最多能交多少立方米的水费？（水量x为整数） 【答案】(1)17.6元；32元 (2) (3)最多能交13立方米 【分析】本题考查了有理数的混合运算、一次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）根据题意，分两种情况：当时，，当时，，分别求解即可； （3）令，求解即可． 【详解】（1）解：∵某户某月用水8立方米，小于立方米， ∴用水8立方米，应交水费（元）； ∵用水14立方米，大于立方米， ∴用水14立方米，应交水费（元）； （2）解：由题意可得：当时，， 当时，， 故； （3）解：∵， ∴令， 解得：， ∵水量x为整数， ∴最多能交13立方米． 5．（24-25七年级上·山东东营·期末）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水吨，应交水费元． (1)若，请写出与的函数关系式． (2)若，请写出与的函数关系式． (3)如果该户居民这个月交水费20元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【答案】(1) (2) (3)这个月该户用了11吨水 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据数量关系找出函数关系式是解题关键． （1）当时，根据水费=用水量，即可求出y与x的函数关系式； （2）当时，根据“每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费”，把两部分费用相加即可求出y与x的函数关系式； （3）当时，，由此可知这个月该户用水量超过6吨，将代入（2）中所求的关系式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： 当时，； （2）解：根据题意可知： 当时，； （3）解：∵当时，， 的最大值为（元），， 该户当月用水超过6吨． 令中，则， 解得：． 答：这个月该户用了11吨水． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一次函数的应用问题 分配方案问题 1．（23-24八年级下·山西运城·期中）为贯彻落实2024年教育部提出的：保障学生每天1小时体育锻炼和充足的课间活动，着力解决小眼镜、小胖墩和学生心理健康问题，某校计划为学生购买一批羽毛球，甲、乙两商店的羽毛球拍均标价60元/副，羽毛球标价3元/个，现甲商店和乙商店各推出以下活动： 甲商店：羽毛球和羽毛球拍均打八折； 乙商店：羽毛球拍打八五折，买一副羽毛球拍送5个羽毛球，超出的羽毛球按原价购买．学校计划买副羽毛球拍和200个羽毛球，从甲商店购买的费用记为（元），从乙商店购买费用记为（元）． (1)请直接写出、与之间的函数表达式； (2)该校购买羽毛球拍的个数在什么范围时在乙商店购买费用更少？请说明理由． 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）即墨区某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价300元，领带每条定价50元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案． 方案一：购买一套服装赠送一条领带； 方案二：服装和领带均按定价的九折出售． 城阳区某服装店老板现要到服装厂采购服装30套，领带条． (1)采用方案一和方案二的采购费用分别为元和元，分别求出，与x的函数关系式； (2)请根据x的不同取值，帮助服装店老板选择最省钱的方案． 3．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学九年级名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有，两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金元，型客车每辆租金元．” 小强：“七年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 小国：“八年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆型客车和型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用，两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？ 4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷数量不低于购买A种型号帐篷数量的3倍，请设计出最省钱的购置方案，并求出最少的费用． 5．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）【综合与应用】某校在冬季运动会来临之际准备购进一批奖杯用于鼓励运动员，现了解到甲、乙商场对两种奖杯推出了不同的优惠活动，那么选择到哪个商场按何种方案更优惠呢？某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的奖杯购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A种奖杯和4个B种奖杯共需180元；购买1个A种奖杯和2个B种奖杯共需80元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场：A、B两种奖杯均按原价的9折销售． 乙商场：①购买A种奖杯的数量不超过10个时，按原价销售；数量超过10个时，超过的部分按原价的8折销售．②购买B种奖杯不打折． 问题解决 任务一 （1）求A、B两种奖杯的原价． 任务二 （2）学校打算购买A、B两种奖杯共100个，若设购买A种奖杯个，选择在甲商场购买的总费用为元，选择在乙商场购买的总费用为元．请直接写出和关于的函数表达式，并为学校设计比较合算的购买方案． 6．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． (1)该学校有几种购买方案？ (2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 7．（23-24八年级下·广东梅州·期中）实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折销售； B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题： (1)分别写出与x之间的关系式： (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案． 最大利润问题 1．（2025·广西桂林·一模）为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买，已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． (1)求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． (2)若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． (1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ (2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 3．（2025·广西防城港·一模）为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． (1)求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． (2)若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 4．（24-25九年级下·陕西西安·期中）年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧 某文具店果断订购了印有影片图案的、B两种书签．经统计：订购张种书签与张种书签，成本共计元；而订购张种书签和张种书签，则需花费元． (1)求、两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文具店计划购进、两种书签共张，由于种书签更契合消费者喜好，种书签的购进数量不超过种书签数量三分之一，已知、两种书签的销售单价分别为元和元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 5．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，如表是前两月两种型号水杯的销售情况： 时间 销售数量（个） 销售收入（元） 甲种型号 乙种型号 第一月 22 8 1100 第二月 38 24 2460 (1)求甲、乙两种型号水杯的售价； (2)第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下，该超市如何购进甲、乙两种型号水杯才能使第三个月的利润最大，并求出第三月的最大利润． 6．（2025·山东济南·一模）“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 泥塑兔子王 15 25 清照团扇 10 17.5 (1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？ (2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？ 7．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．用2000元购进品种柑橘礼盒数与用2500元购进品种柑橘礼盒数相同． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 行程问题 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明和小亮喜欢骑自行车，某个周末，两人相约从绿博园北门出发前往开封金明广场．小明骑车的速度较快，如果两人同时出发，小明肯定先到达．现在小明先让小亮骑若干千米，小明在上午出发．图中，分别表示两人行驶的路程与小明行驶时间的关系． (1)小亮先骑了 ， 先到达目的地， （填“”或“”）表示小明行驶的路程与行驶时间之间的关系； (2)请分别求出小明和小亮在这段时间内，与之间的函数表达式； (3)若图中，交点坐标为，的实际意义是什么？ (4)请直接写出小明和小亮在什么时间两人相距？ 2．（2025·天津南开·一模）如图①所示，李华的家、公园、超市依次在同一条直线上，公园距离李华家，超市距离李华家．李华从家里出发，匀速步行了到公园，他在公园停留了一段时间，之后他匀速步行了到超市，在超市停留购买商品后，再匀速骑行了返回家．下面图②中（单位：）表示李华离开家的时间，（单位：）表示李华离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：km） 0 (2)填空： ①超市到公园的距离为_____km； ②李华在公园停留的时间为_____； ③李华从超市返回家的速度为_____； ④当时，请直接写出李华离家的距离关于时间的函数解析式； (3)当李华离开家时，他的妈妈从超市出发匀速步行了直接返回家中，那么妈妈在回家途中，两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 3．（2025·天津河东·一模）某无人机表演公司进行无人机表演训练，甲无人机从地而起飞匀速上升，8秒时到达距离地面48米的高度，并停止上升开始第一次表演，完成表演规定动作后，按原速继续飞行上升、到达距离地面96米的高度，进行了时长为20秒的第二次表演，表演完成后立即匀速返回地面．如图，图中表示甲无人机飞行的时间，表示甲无人机所在的位置距离地面的高度．图象反映了这个过程中甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 无人机飞行的时间（单位：秒） 1 8 13 30 无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米） ___ 48 ＿ __ ②填空：甲无人机返回地面的速度为_________米/秒； ③当时，请直接写出甲无人机所在的位置距离地面的高度关于甲无人机飞行时间的函数解析式； (2)当甲无人机从地面起飞时，乙无人机同时从距离地面27米高的楼顶起飞，与甲无人机同时匀速上升，并与甲无人机同时到达距离地面96米的高度进行联合表演，表演完成后甲乙两架无人机以相同的速度大小同时返回地面，那么两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出结果即可） 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示． (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)求乙到达A地时，甲距B地的距离； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 5．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图1，甲、乙两人在一条笔直的公路上同向匀速而行，甲从A点开始追赶乙，甲超过乙之前，甲、乙两人之间的距离与追赶的时间的关系如图2所示，已知乙的速度为． (1)求甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式； (2)甲从A点追赶乙，经过，求甲前行了多少米？ (3)甲追赶后，甲、乙相距多少米？若此时甲速度增加，提速后甲追上乙还需要多少秒？ 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小明、小亮两家相约周末从学校出发，自驾沿同一路线去湿地公园游玩，小明家先出发匀速前往，后，小亮从家出发，匀速行驶一段时间后，小亮家联系发现已经超过了小明家，于是在途中休息半小时，并且将速度减少了，结果与小明家同时到达B地，两家距学校的路程与小亮家车子行驶时间之间的函数图象如图所示． (1) ，学校到公园的距离为 ； (2)写出C点的坐标，并说出C点表示的实际意义是什么； (3)求出线段对应的函数表达式； (4)小亮家出发后两车距离最远时相距多少千米？ 7．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）周末小佳和小乐相约去农庄游玩，小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变，根据图中信息，解答下列问题： (1)小佳骑电动车的速度为______． (2)求线段所在直线的函数表达式并写出自变量的取值范围． (3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程． 8．（24-25九年级下·陕西汉中·阶段练习）为了提升中小学生的自理能力，创新精神和实践能力，某校八年级开展了研学旅行活动，甲，乙两个班学生分别乘坐两辆不同型号的大巴车从学校出发，沿着同一条高速公路前往革命圣地延安开展研学活动，并以各自的速度匀速行驶，到达目的地停止，途中乙班学生乘坐的大巴车停了一段时间，然后又继续前行．甲，乙两班学生乘坐的大巴车各自行驶的路程与所用时间之间的函数图象如图所示． (1)求乙班学生乘坐的大巴车停止后所行的路程与之间的函数关系式； (2)两大巴车相遇时，距离革命圣地延安还有多远？ 9．（2025·吉林长春·一模）某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件．甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离y（千米）与甲车出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)乙车的行驶速度为__________千米／小时，__________； (2)甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式； (3)若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为__________小时． 10．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． (2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 函数图像或表格获取信息问题 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）某实践小组观察记录了莴笋的成长过程，如图表示一种莴笋的高度与观察时间（天）之间的函数图象（平行于轴）．由图象可知，这种莴笋第60天时的高度是 ． 2．（2025·吉林长春·一模）用甲、乙两个机器同时开始加工一批零件．加工一段时间后，甲机器停工进行检修，乙机器以原来的效率继续加工，乙机器工作效率始终不变．检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，共用了5小时完成任务．两个机器加工的零件总数y（件）与乙机器加工时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)乙机器的工作效率是 件/时． (2)甲机器检修结束后，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围 (3)在整个加工过程中，当甲机器与乙机器加工的零件个数相等时，求乙机器的加工时间． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，发现单层部分的长度与双层部分的长度之间满足一次函数关系，部分数据如下， 双层部分长度 0 2 7 单层部分长度 156 152 142 (1)求与之间的函数表达式； (2)按小文的身高和习惯，当背带双层部分的长度调到时最舒服．请计算此时单层部分的长度． 4．（2025·陕西榆林·一模） 探索烘焙温度和烘焙时间之间的关系 学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于150℃且小于220℃时，烘焙温度和烘焙时间之间存在关系，对这种关系进行探索． 素材1 设置不同的烘焙温度，则对应的烘焙时间如下： 烘焙温度 ．．． 160 170、180 190、200．．． 烘焙时间 ．．． 30 27.5、25 22.5、20．．． 素材2 同学们制作了平面直角坐标系，把如上表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点并连线，发现这些点都在某条直线上． 问题解决 任务1 猜想与满足 函数关系（填“一次”、“二次”或“反比例”）； 任务2 求出与的函数关系式； 任务3 已知某次烘焙时间是，求该次烘焙温度． 根据以上素材，探索完成任务． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期中）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费； ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元． 暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，与之间的函数关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点的坐标； (3)请根据函数图象，直接写出当取何值时，选择银卡消费更合算． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）沈阳某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间x 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 50 80 110 140 170 自东向西交通量（辆/分钟） 125 110 95 80 65 (1)请用一次函数直接表示出与x、与x之间的函数关系．（不写自变量范围） ； ． (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为 ，车流量大的方向交通量为v．经查阅资料得：当 需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 7．（2025·广西钦州·一模）综合与实践 现有三个款式的杯子，它们的高度不同．数学兴趣小组对杯子叠放的总高度与杯子数量之间的数学问题开展研究． 【实践操作】 （1）把A款杯子按如图①所示的方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，已知一只A款杯子的高度为，且叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，请求出的值； （2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为，已知一只B款杯子的高度为，请求出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； （3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为，8只杯子叠放的总高度为，请直接写出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； 【知识运用】 （4）已知杯子摆放区的高度为，若把款杯子叠放成一摞放入杯子摆放区，请问一摞最多能叠放多少只杯子？ 8．（2025·陕西西安·一模）某医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果按绸定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（时）的变化情况如图所示． (1)求与之间的关系式； (2)若每毫升血液中含药量为4微克及以上时治疗疾病最有效，求这个有效时间的范围． 9．（24-25九年级下·吉林长春·期中）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的关系如图所示 (1)进水速度为_____________，出水速度为_____________． (2)求时，与的函数关系式． (3)若水量在某一段时间内刚好用6分钟上升了，直接写出这段时间开始时的值． 10．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，一个高为厘米的长方形水槽，被两个垂直底面且高度相同的挡板分割成甲、乙、丙三个区域，其中甲、丙两个区域的底面积相等，在三个区域中，只有甲区域内有水．从某一时刻开始，分别以相同的速度，匀速向乙、丙两个区域注水，乙区域中水位高度（厘米）与注水时间（分）的部分函数图象如图②所示． (1)挡板的高度为_____厘米，乙、丙两区域底面积的比值为_____． (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)当甲、乙两区域中，一个区域与另一个区域的水位高度差为厘米时，直接写出的值． 梯度计费问题 1．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式； (2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算． 2．（2025·陕西渭南·一模）2025年3月1日，陕西省《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元． (1)求关于的函数表达式； (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携克的月球背面土壤样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格； (2)如果购买挂件盒，则购买印章_______盒（用含有的式子表示）恰好能够配套分发； (3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费元，求关于的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 4．（24-25八年级下·全国·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米2.5元收费． (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？ (2)写出每户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (3)自来水公司到琪琪家收水费，爸爸、妈妈不在家，琪琪自己手里有30元的零花钱，他最多能交多少立方米的水费？（水量x为整数） 5．（24-25七年级上·山东东营·期末）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水吨，应交水费元． (1)若，请写出与的函数关系式． (2)若，请写出与的函数关系式． (3)如果该户居民这个月交水费20元，那么这个月该户用了多少吨水？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$